322113312312332211 aaaaaaaaa
332112322311312213 aaaaaaaaa
11 12
11 22 12 21
21 22
.aaD a a a aaa
课前复习
12
12
11 12 1
21 22 2
12
12
( 1 ) n
n
n
t p p pn
p p n p
n n n n
a a a
a a a
D a a a
a a a

11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
D a a a
a a
TD
nn
a
a
a
22
11
行列式 称为行列式 的转置行列式,TD D
记
nna
a
a
22
11
n
n
a
aa
2
112
21
12nn
a
aa
D
2
121
n
n
a
aa
nn
aa
a
21
12
一、行列式的性质性质 1 行列式与它的转置行列式相等,
证明 令 d e t( )ijDa?
则 的转置行列式为de t ijDade tT jiDa?
按定义
12121 n
tT
p p p nD a a a 121 n
t
p p npa a a
故,TDD?
于是
111 1 i j n
ts
p jp ip n pD a a a a

1 1,t s t
1,DD故
ijrr 111 1 i j nts p jp ip n pD a a a a
1 i j np p p pt 仍然为排列 的逆序数
1 j i n为 的逆序数，易见为奇，s
性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
证明 设行列式 11( 1 ) i j nt p ip jp n pD a a a a
1 i j np p p pt 为排列 的逆序数
1 i j n其中 为标准排列性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数ｋ，等于用数ｋ乘此行列式,
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
推论 行列式中如果有两行（列）元素成比例，
则此行列式为零．
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零,
证明 互换相同的两行，有
.0 D
,DD
请问若给 行列式的每一个元素都乘以同一数
ｋ，等于用 乘以此行列式,
性质 4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D




)(
)(
)(
21
2222221
1111211



则行列式等于下列两个行列式之和：
nnnin
ni
ni
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D









1
2221
1111
1
2221
1111例性质 5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行列式不变．
njnjnin
jji
nji
aaaa
aaaa
aaaa




1
22221
11111
njnjnjnin
jjji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
krr




)(
)(
)(
1
222221
111111
k例如例 1
计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
ji krr?
二、应用举例
1 0 3 1 0 0 2 0 4
1 9 9 2 0 0 3 9 5
3 0 1 3 0 0 6 0 0
解 1
c
D
拆
1 0 0 1 0 0 2 0 4
2 0 0 2 0 0 3 9 5
3 0 0 3 0 0 6 0 0
3 1 0 0 2 0 4
1 2 0 0 3 9 5
1 3 0 6 0 0

3 1 0 0 2 0 0
1 2 0 0 4 0 0
1 3 0 0 6 0 0
3
0
c
拆
3 1 0 0 4
1 2 0 0 5
1 3 0 0 0

3 100 204
1 200 395
1 300 600
3 1 0 0 2 0 0
1 2 0 0 4 0 0
1 3 0 0 6 0 0

03 0 0 4
1 2 0 0 5
1 3 0 0 0
3c拆
3 1 4
1 0 0 1 2 5
1 3 0

2
100
c
3 8 4
1 0 0 1 5 5
1 0 0
213cc?
3 8 4
1 0 0 1 5 0
1 0 0

32cc?
100 20 2000?
例 2
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
x
x
x
x




1 1 1 1
00
00
00
x
xx
xx
xx

1
2,3,4
irrD
i
解
1 1 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
x
x
x
x
4
1,2,3
icc
i
4x?
例 3
n
x a a
a x a
D
a a x
1
2,3,4
irrD
i
解
0
0
x a a
a x x a
a x x a


( 1 )
00
00
x n a a a
xa
xa

1
2,,
icc
in
1( 1 ) nx n a x a
23
13
12
1 2 3
.
n
n
n
x a a a
a x a a
a a x aD
a a a x
例 4
1
2,3,4
irrD
i
解
23
12
13
1
00
00
00
n
n
x a a a
a x x a
a x x a
a x x a



1,,
i
i
c
xa
in

32
1 2 3
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
n
n
i
aaxa
x a x a x a x a
xa

1
2,,
icc
in

32
23
1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
in
in
i
a a aa
x a x a x a x a
xa

1 ii
i
axa
xa




计算行列式技巧：
1、分析，探求行列式的结构
2、化零，尽可能把行列式化为爪型
4、靠边，把行列式化为三角形行列式
3、对角化,边化1 1?
5、求出行列式
6、整理思路三、小结