，称为这 个元素的一个 排列,
定义 把 组成的有序数组称为一个 阶排列,通常用 表示,
1、排列 把 个不同的元素按一定的顺序排成一行课前复习我们规定各元素之间有一个标准次序,个不同的自然数，规定由小到大的排列为 标准排列,
2、排列的逆序数中，若数1 i njpppp
jip p?
在一个排列
，则称这两个数构成一个逆序,一个排列的逆序总数称为 这个排列的逆序数,记作 12()nt p p p
12 np p p
1,2,,n n
n
2n? n
n
定义逆序数为奇数的排列称为 奇排列 ;
逆序数为偶数的排列称为 偶排列,
3、排列的奇偶性定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换,
将相邻两个元素对调，叫做 相邻对换,
4、对换一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性定理在全部 阶排列中,奇偶排列各占一半,即各有 个,
定理 ( 2)nn?
!
2
n
用消元法解二元线性方程组
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
,
.
a x a x b
a x a x b
1
2
,1 22a?,2212221212211 abxaaxaa
,2 12a?,1222221212112 abxaaxaa
两式相减消去,得2x
一、二阶行列式
1、引入;212221121122211 baabxaaaa ）（
类似的，消去,得1x
,211211221122211 abbaxaaaa ）（
方程组的解为
，
21122211
212221
1 aaaa
baabx
）（ 3.
21122211
211211
2 aaaa
abbax
由方程组的四个系数确定,
11 22 12 21 0a a a a当 时，
2、定义
Def 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
11 12
21 22
aa
aa 所确定的表达式称列）的数表 11 22 12 21a a a a?
11 12
21 22
aa
aa称为 二阶行列式,记为
,
2221
1211
aa
aaD?
11a 21a
22a21a
主对角线副对角线
2211aa?
若记
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
,
.
a x a x b
a x a x b
对于二元线性方程组系数行列式
.2112 aa?
3、计算
1）对角线法则 行标列标
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
11 12
21 22
,aaD aa?
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
,
.
a x a x b
a x a x b
11 12
21 22
,aaD aa?
.
221
111
2 ba
baD?
记1 121
2 22
,baD ba?记则二元线性方程组的解为
1 1 2
2 2 21
1
1 1 1 2
2 1 2 2
,
ba
baD
x
aaD
aa
11 1
21 22
2
11 12
21 22
.
ab
abD
x
aaD
aa
系数行列式系数行列式
52
25D?
今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，
问牛羊各直几金？
例 1
12
12
5 2 1 0,
2 5 8,
xx
xx
52
25D? 25 4 2 1 0,
1D 34,? 20,?
D
Dx 1
1
34,
21 D
Dx 2
2?
20.
21?
解,牛羊分别直 12,xx金，记
10
8
52
25D?2D
10
8
1、定义二、三阶行列式
（ 6）式称为数表（ 5）所确定称为 三阶行列式,11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
记为
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
构成数表 （ 5）
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2a a a a a a a a a（ 6）
确定一个表达式，
由九个数排成三行三列（横排称行、竖排称列）
1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1a a a a a a a a a
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
3231
2221
1211
aa
aa
aa
.312213332112322311 aaaaaaaaa
2)沙路法
322113312312332211 aaaaaaaaaD
2、计算
1)对角线法则
332211 aaa?
.322311 aaa?
322113 aaa? 312312 a?
312213 aaa? 332112 aa?
以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式,
1 2 3
456
7 8 9
D?
解 按对角线法则，有
1 5 9 2 6 7 3 4 8
3 5 7 2 4 9 1 6 8
D
例 2 求行列式
2
1 1 1
2 3 0
49
x
x
解 按对角线法则，有
2,,3x o r x
例 3 求解方程
12291843 22 xxxxD 2 5 6 0xx
所以
0?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
若系数行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
,0?
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?
3,三元线性方程组
.
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
D?
则,11 DDx?,22 DDx?,33 DDx?
例 4 解线性方程组
.0
,132
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 由于方程组的系数行列式为
111
312
121
D
1 1 1D132 121
111122 131
5,0?
且同理可得
110
311
122
1
D
,5
101
312
121
2
D
,10
011
112
221
3
D
,5
故方程组的解为,
,111 DDx
,222 DDx
.133 DDx
其中 为将系数行列式的第 i列分别用常数项来代替而得的新的行列式,
1 2 3,,D D D
1、概念的引入
11 12
21 22
aaD
aa?
11 22aa? 12 21aa?
三,n阶行列式二阶行列式
12
12
() 12( 1 ) t p p ppaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
11 22 33 12 23 31 13 21 32a a a a a a a a a
1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3a a a a a a a a a
三阶行列式
1 2 31 2 3( 1 )
t p p pa a a
分析
（ 1）二阶行列式共有 项，即 项．2 2!
（ 2）每项都是位于不同行不同列的（二）三个元素的乘积．
（ 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的（二）三个元素的下标排列．
三阶行列式共有 项，即 项．6 !3
例
12 21aa 列标排列的逆序数为奇
322113 aaa 列标排列的逆序数为偶
11 23 32a a a列标排列的逆序数为奇
负号
正号
负号
n
阶行列式猜想
11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
D
a a a
阶行列式是 项的代数和 ;n !n
阶行列式的每项都是位于不同行、不同列的 个元素的乘积 ;
n
n
12
1212( 1 )
n
n
t p p pn p p n pD a a a猜的符号为每项 1212 np p n pa a a121 nt p p p?
2、定义
11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
D
a a a
由 个数组成 n阶行列式等于所有取自不同行列的2n
1212( 1 ) n
t p p n pa a an个元素的乘积的代数和记作：
简记作 (),.ij ijoe rD t a aija，数 称为行列式的 元素,
12
1212( 1 )
n
n
t p p p p p n pa a a
其中 12 np p p为自然数 12 n，,,的一个排列,t
为这个排列的逆序数。
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的；
2,阶行列式是 项的代数和；n !n
3,阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积；
n
n
5,一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆,aa?
的符号为 ；4、每项 1212 np p n pa a a121 nt p p p?
3、应用例 5 六阶行列式的项 23 31 42 56 14 65a a a a a a的符号为 ____.?
解法一 23 31 42 56 14 65a a a a a a
行标 234516的逆序数为 000040t4,?
所以 前边应带正号,651456423123 aaaaaa
23 31 42 56 14 65a a a a a a
431265的逆序数为
012201t,6?
所以 前边应带正号,651456423123 aaaaaa
,6556423123 aaaaaa?解法二列标 312645的逆序数为 0 1 1 0 1 1t4,?
例 6 计算行列式
1
2
n
1
2
n
1） 2）
分析 1）显然得 12 nD i
2）易见，只有项
( 1 )
2 12( 1 )
nn
nD
( 1 )
2( 1 )
nn
i?
1 2,1 1( 1 ) 0t n n na a a
所以例 7 计算行列式
11 12 1
22 2
n
n
nn
a a a
aa
a
1
2,1 2
1 1,1
n
nn
n n n nn
a
aa
a a a
1） 2）
分析 1）显然得 11 22 nnD a a a?
iia
2）易见，只有项
( 1 )
2 1 2,1 1( 1 )
nn
n n nD a a a
( 1 )
2,1( 1 )
nn
i n ia
1 2,1 1( 1 ) 0t n n na a a
所以例 8 计算行列式
1
2,1 2
1 1,1
n
nn
n n n nn
a
aa
a a a
1） 2）
1 1 1,1naa?
11 12 1
22 2
n
n
nn
a a a
aa
a
21
1n
a
a
3）
11
21 22
12n n n n
a
aa
a a a
12 1 naa
11 1,1 1
21 2,1
1
nn
n
n
a a a
aa
a
4）
2n
nn
a
a
几种特殊的行列式这一系列格式行列式的值为
1 1 2 2 nnD a a a?
这一系列格式行列式的值为
( 1 )2 1 2,1 11 nn n n nD a a a
几种特殊的行列式例 9 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0
0 0 2 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0
n
D
n
n
nnnnntn aaaaD 1,12,21,11解
nnt 1211?
1221 !,nn n
322113312312332211 aaaaaaaaa
332112322311312213 aaaaaaaaa
11 12
11 22 12 21
21 22
.aaD a a a aaa
四、小结
12
12
11 12 1
21 22 2
12
12
( 1 ) n
n
n
j j jn
j j n j
n n n n
a a a
a a a
D a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
D a a a
a a
五、思考题已知
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
3x所以 的系数为解 含 的项有两项,即3x
对应于 4334221112341 aaaat 443322111 aaaat?
1.?
31 1 2 2 3 3 4 41 t a a a a x
1234 31 1 2 2 3 4 4 312t a a a a x
