第一章分析基础函数极限连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁函数与极限第一章二、映射三、函数一、集合第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束映射与函数元素 a 属于集合 M,记作元素 a 不属于集合 M,记作一,集合
1,定义及表示法定义 1,具有某种特定性质的事物的总体称为 集合,
组成集合的事物称为 元素,
不含任何元素的集合称为 空集,记作?,
Ma? ( 或 Ma? ),
.Ma?
注,M 为数集
*M 表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集,
机动 目录 上页 下页 返回 结束表示法,
(1) 列举法,按某种方式列出集合中的全体元素,
例,有限集合naaaA,,,21 niia 1
自然数集,,,2,1,0N nn?
(2) 描述法, xM?x 所具有的特征例,整数集合 Z x?N?x 或 Nx
有理数集 q
p
Q,N,Z qp
p 与 q 互质实数集合 R x?x 为有理数或无理数开区间 ),( xba?bxa
闭区间 ],[ xba?bxa
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(
aa
无限区间点的? 邻域
a
其中,a 称为邻域中心,? 称为邻域半径,
半开区间去心? 邻域左? 邻域,右? 邻域,
机动 目录 上页 下页 返回 结束是 B 的 子集,或称 B 包含 A,
2,集合之间的关系及运算定义 2,则称 A
.BA?
若 且 则称 A 与 B 相等,.BA?
例如,
显然有下列关系,
,,
若 Ax?,Bx?设有集合,,BA
记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回 结束
Ac
AB
B
定义 3,给定两个集合 A,B,
并集 xBA
交集 xBA且差集 \ xBA?Bx?且定义下列运算,
A
B BA?
余集 )(\ ABBAB cA 其中直积 ),( yxBA,Ax? y?
特例,RR? 记 2R
为平面上的全体点集
A
BA\
B
BA?
BA?
机动 目录 上页 下页 返回 结束或二,映射
1,映射的概念某校学生的集合 学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座机动 目录 上页 下页 返回 结束引例 1,
引例 2.
引例 3,(点集 )
(点集 )
向 y 轴投影机动 目录 上页 下页 返回 结束定义 4,设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f,使得 有唯一确定的 与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的 映射,记作,,YXf?
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像,记作 ).( xfy?
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像,
集合 X 称为映射 f 的 定义域 ;
Y 的子集?)( XfXxxf?)( 称为 f 的 值域,
注意,1) 映射的三要素 —定义域,对应规则,值域,
2) 元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一,
X Yf
机动 目录 上页 下页 返回 结束对映射若 YXf?)(,则称 f 为 满射 ;
X Yf )( Xf?
若 有则称 f 为 单射 ;
若 f 既是满射又是单射,则称 f 为 双射 或 一一映射,
X Y
引例 2,3
机动 目录 上页 下页 返回 结束引例 2
引例 2
例 1.
海伦公式例 2,如图所示,
对应阴影部分的面积则在数集 自身之间定义了一种映射 (满射 )
例 3,如图所示,
r
则有
(满射 )
(满射 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
X (数集 或点集 )
说明,
在不同数学分支中有不同的惯用
X (≠? ) Y (数集 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
f f 称为 X 上的 泛函
X (≠? ) X f f 称为 X 上的 变换
R f
f 称为定义在 X 上的 为 函数映射又称为 算子,
名称,例如,
2,逆映射与复合映射
(1) 逆映射的定义定义,若映射 为单射,则存在一新映射使习惯上,Dxxfy,)(
的逆映射记成
)(,)(1 Dfxxfy
例如,映射 其逆映射为
)(DfD
f
1?f
其中称此映射 1?f 为 f 的逆映射,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 复合映射机动 目录 上页 下页 返回 结束
1D
手电筒
D
D
2D
引例,
复合映射定义,
Dx g )()( Dgxgu
1Du f
则当 1)( DDg?由上述映射链可定义由 D 到 Y 的 复
.),( Dxxgf
设有映射链记作合映射,
时,
或
)(Dg
机动 目录 上页 下页 返回 结束注意,构成复合映射的条件 1)( DDg?不可少,
以上定义也可推广到多个映射的情形,
定义域三、函数
1,函数的概念定义 4,设数集,R?D 则称映射 为定义在
D 上的函数,记为
Dxxfy,)(
f ( D ) 称为值域函数图形,
),( yxC? Dx?,)( xfy x
y
)],[( baD?a bx
y
)( DfD
机动 目录 上页 下页 返回 结束自变量因变量
Dx
fDxxfyyDfy ),()(
(对应规则 ) (值域 )(定义域 )
例如,反正弦主值
定义域
对应规律 的表示方法,解析法,图象法,列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合,
定义域 值域又如,绝对值函数定义域值 域机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,已知函数
1,1
10,2)(
xx
xxxfy
求 )(21f 及,)(1tf
解,2121 2)(?f 2?
)( 1tf
10 t,11 t?
1?t,2t
时0?t
函数无定义并写出定义域及值域,
定义域 ),0[D
值 域 ),0[)(Df
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,函数的几种特性设函数,,)( Dxxfy 且有区间,DI?
(1) 有界性
,Dx,0 M 使,)( Mxf?称 )(xf
,Ix,0 M 使,)( Mxf?称 )(xf
说明,还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )
(2) 单调性为 有界函数,
在 I 上有界,
,Dx? 使若对任意正数 M,均存在,)( Mxf?
则称 f ( x ) 无界,
称 为 有上界称 为 有下界
,)(,Mxf
),(,xfM
当,,21 Ixx 21 xx?时,,)()(
21 xfxf?若 称 )(f 为 I 上的
,)()( 21 xfxf?若 称 )(f 为 I 上的单调增函数 ;
单调减函数,
x
y
1x 2x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
o xx?
(3) 奇偶性
,Dx 且有,Dx
若 则称 f (x) 为 偶函数 ;
若 则称 f (x) 为 奇函数,
说明,若 )(xf 在 x = 0 有定义,
.0)0(?f)(xf 为 奇函数 时,
则当必有例如,
2)(
xx ee
xfy
xch?
偶函数
x
y
o
xexe?
xy ch?
双曲余弦记机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
o
又如,2)(
xx ee
xfy
奇函数 xexe? xy sh?
xsh? 双曲正弦记再如,
x
xy
ch
sh? xx
xx
ee
ee
奇函数
o
y
x
1
1?
xth? 双曲正切记 xy th?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(4) 周期性
,0, lDx 且,Dlx
则称 )(xf 为 周期函数,
x? o?2?
y
2?
若称 l 为 周期 ( 一般指 最小正周期 ).
周期为? 周期为注,周期函数不一定存在最小正周期,
例如,常量函数 Cxf?)(
狄里克雷函数
x 为有理数
x 为无理数
,1
,0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质若函数 为单射,则存在逆映射习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成
)(,)(1 Dfxxfy
称此映射 1?f 为 f 的 反函数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束其反函数(减 )
(减 ),
1) y＝ f (x) 单调递增且也单调递增性质,
2) 函数 与其反函数的图形关于直线对称,
例如,
),(, xey x
对数函数 互为反函数,
它们都单调递增,其图形关于直线 对称,
)(xfy?
xy?
),( abQ
x
y
o
机动 目录 上页 下页 返回 结束指数函数
(2) 复合函数
1),( Duufy
1)( DDg?且则设有函数链称为由①,② 确定的 复合函数,
①
机动 目录 上页 下页 返回 结束
— 复合映射的特例
②
u 称为 中间变量,
注意,构成复合函数的条件 1)( DDg?不可少,
例如,函数链,,a r c s in uy?
函数但函数链 22,a rc s i n xuuy 不能构成复合函数,
可定义复合机动 目录 上页 下页 返回 结束两个以上函数也可构成复合函数,例如,
0, uuy
可定义复合函数,
Zn?
02c o t,22 xkxk 时
),2,1,0(,c o t kkvvu?),(,
2 x
xv
4,初等函数
(1) 基本初等函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数
(2) 初等函数由常数及基本初等函数否则称为 非初等函数,
例如,,2xy
y 0,?xx
0, xx
并可用 一个式子 表示的函数,
经过 有限次 四则运算和复合步骤所构成,称为 初等函数,
可表为 故为初等函数,
又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数,
( 自学,P17 – P21 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束非初等函数举例,
符号函数 当 x > 0
当 x = 0
当 x < 0 x
y
o
1
1?
取整函数当
x
y
o 1 3 421?2?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,求?y 的反函数及其定义域,
解,01 x当 时,2xy?
则 ]1,0(, yyx
10 x当 时,xy ln?
则 ]0,(, yex y
21 x当 时,12 xey
则 ]2,2(,ln1 2 eyx y
反函数?y 定义域为 ]2,2(]1,( e
21,2
10,ln
01,
1
2
xe
xx
xx
x
2
1 2
e2
1?
y
o x
1
,]1,0(?
,]0,(
,]2,2( e?
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,集合及映射的概念定义域对应规律
3,函数的特性 有界性,单调性,
奇偶性,周期性
4,初等函数的结构作业
P21 6 (5),(8),(10); 8; 10; 11;
15 ; 18; 19; 20
2,函数的定义及函数的二要素第二节 目录 上页 下页 返回 结束且备用题证明证,令,1xt? 则,1tx? tctfbfa t )()( 1
由 xcxfbfa
x )()( 1
消去 ),(1xf 得时 其中
a,b,c 为常数,且 为奇函数,
为奇函数,
1,设机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设函数 ),(,)( xxfy 的图形与,ax?
均对称,求证 )( xfy? 是周期函数,)( baby
证,由
)( xaf
)(xf 的对称性知
),( xaf )( xbf )( xbf?
于是?)(xf)( axaf
)2( xaf
故 )(xf 是周期函数,周期为机动 目录 上页 下页 返回 结束
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁函数与极限第一章二、映射三、函数一、集合第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束映射与函数元素 a 属于集合 M,记作元素 a 不属于集合 M,记作一,集合
1,定义及表示法定义 1,具有某种特定性质的事物的总体称为 集合,
组成集合的事物称为 元素,
不含任何元素的集合称为 空集,记作?,
Ma? ( 或 Ma? ),
.Ma?
注,M 为数集
*M 表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集,
机动 目录 上页 下页 返回 结束表示法,
(1) 列举法,按某种方式列出集合中的全体元素,
例,有限集合naaaA,,,21 niia 1
自然数集,,,2,1,0N nn?
(2) 描述法, xM?x 所具有的特征例,整数集合 Z x?N?x 或 Nx
有理数集 q
p
Q,N,Z qp
p 与 q 互质实数集合 R x?x 为有理数或无理数开区间 ),( xba?bxa
闭区间 ],[ xba?bxa
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(
aa
无限区间点的? 邻域
a
其中,a 称为邻域中心,? 称为邻域半径,
半开区间去心? 邻域左? 邻域,右? 邻域,
机动 目录 上页 下页 返回 结束是 B 的 子集,或称 B 包含 A,
2,集合之间的关系及运算定义 2,则称 A
.BA?
若 且 则称 A 与 B 相等,.BA?
例如,
显然有下列关系,
,,
若 Ax?,Bx?设有集合,,BA
记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回 结束
Ac
AB
B
定义 3,给定两个集合 A,B,
并集 xBA
交集 xBA且差集 \ xBA?Bx?且定义下列运算,
A
B BA?
余集 )(\ ABBAB cA 其中直积 ),( yxBA,Ax? y?
特例,RR? 记 2R
为平面上的全体点集
A
BA\
B
BA?
BA?
机动 目录 上页 下页 返回 结束或二,映射
1,映射的概念某校学生的集合 学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座机动 目录 上页 下页 返回 结束引例 1,
引例 2.
引例 3,(点集 )
(点集 )
向 y 轴投影机动 目录 上页 下页 返回 结束定义 4,设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f,使得 有唯一确定的 与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的 映射,记作,,YXf?
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像,记作 ).( xfy?
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像,
集合 X 称为映射 f 的 定义域 ;
Y 的子集?)( XfXxxf?)( 称为 f 的 值域,
注意,1) 映射的三要素 —定义域,对应规则,值域,
2) 元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一,
X Yf
机动 目录 上页 下页 返回 结束对映射若 YXf?)(,则称 f 为 满射 ;
X Yf )( Xf?
若 有则称 f 为 单射 ;
若 f 既是满射又是单射,则称 f 为 双射 或 一一映射,
X Y
引例 2,3
机动 目录 上页 下页 返回 结束引例 2
引例 2
例 1.
海伦公式例 2,如图所示,
对应阴影部分的面积则在数集 自身之间定义了一种映射 (满射 )
例 3,如图所示,
r
则有
(满射 )
(满射 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
X (数集 或点集 )
说明,
在不同数学分支中有不同的惯用
X (≠? ) Y (数集 )
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f f 称为 X 上的 泛函
X (≠? ) X f f 称为 X 上的 变换
R f
f 称为定义在 X 上的 为 函数映射又称为 算子,
名称,例如,
2,逆映射与复合映射
(1) 逆映射的定义定义,若映射 为单射,则存在一新映射使习惯上,Dxxfy,)(
的逆映射记成
)(,)(1 Dfxxfy
例如,映射 其逆映射为
)(DfD
f
1?f
其中称此映射 1?f 为 f 的逆映射,
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(2) 复合映射机动 目录 上页 下页 返回 结束
1D
手电筒
D
D
2D
引例,
复合映射定义,
Dx g )()( Dgxgu
1Du f
则当 1)( DDg?由上述映射链可定义由 D 到 Y 的 复
.),( Dxxgf
设有映射链记作合映射,
时,
或
)(Dg
机动 目录 上页 下页 返回 结束注意,构成复合映射的条件 1)( DDg?不可少,
以上定义也可推广到多个映射的情形,
定义域三、函数
1,函数的概念定义 4,设数集,R?D 则称映射 为定义在
D 上的函数,记为
Dxxfy,)(
f ( D ) 称为值域函数图形,
),( yxC? Dx?,)( xfy x
y
)],[( baD?a bx
y
)( DfD
机动 目录 上页 下页 返回 结束自变量因变量
Dx
fDxxfyyDfy ),()(
(对应规则 ) (值域 )(定义域 )
例如,反正弦主值
定义域
对应规律 的表示方法,解析法,图象法,列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合,
定义域 值域又如,绝对值函数定义域值 域机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,已知函数
1,1
10,2)(
xx
xxxfy
求 )(21f 及,)(1tf
解,2121 2)(?f 2?
)( 1tf
10 t,11 t?
1?t,2t
时0?t
函数无定义并写出定义域及值域,
定义域 ),0[D
值 域 ),0[)(Df
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2,函数的几种特性设函数,,)( Dxxfy 且有区间,DI?
(1) 有界性
,Dx,0 M 使,)( Mxf?称 )(xf
,Ix,0 M 使,)( Mxf?称 )(xf
说明,还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )
(2) 单调性为 有界函数,
在 I 上有界,
,Dx? 使若对任意正数 M,均存在,)( Mxf?
则称 f ( x ) 无界,
称 为 有上界称 为 有下界
,)(,Mxf
),(,xfM
当,,21 Ixx 21 xx?时,,)()(
21 xfxf?若 称 )(f 为 I 上的
,)()( 21 xfxf?若 称 )(f 为 I 上的单调增函数 ;
单调减函数,
x
y
1x 2x
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x
y
o xx?
(3) 奇偶性
,Dx 且有,Dx
若 则称 f (x) 为 偶函数 ;
若 则称 f (x) 为 奇函数,
说明,若 )(xf 在 x = 0 有定义,
.0)0(?f)(xf 为 奇函数 时,
则当必有例如,
2)(
xx ee
xfy
xch?
偶函数
x
y
o
xexe?
xy ch?
双曲余弦记机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
o
又如,2)(
xx ee
xfy
奇函数 xexe? xy sh?
xsh? 双曲正弦记再如,
x
xy
ch
sh? xx
xx
ee
ee
奇函数
o
y
x
1
1?
xth? 双曲正切记 xy th?
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(4) 周期性
,0, lDx 且,Dlx
则称 )(xf 为 周期函数,
x? o?2?
y
2?
若称 l 为 周期 ( 一般指 最小正周期 ).
周期为? 周期为注,周期函数不一定存在最小正周期,
例如,常量函数 Cxf?)(
狄里克雷函数
x 为有理数
x 为无理数
,1
,0
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3,反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质若函数 为单射,则存在逆映射习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成
)(,)(1 Dfxxfy
称此映射 1?f 为 f 的 反函数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束其反函数(减 )
(减 ),
1) y＝ f (x) 单调递增且也单调递增性质,
2) 函数 与其反函数的图形关于直线对称,
例如,
),(, xey x
对数函数 互为反函数,
它们都单调递增,其图形关于直线 对称,
)(xfy?
xy?
),( abQ
x
y
o
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(2) 复合函数
1),( Duufy
1)( DDg?且则设有函数链称为由①,② 确定的 复合函数,
①
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— 复合映射的特例
②
u 称为 中间变量,
注意,构成复合函数的条件 1)( DDg?不可少,
例如,函数链,,a r c s in uy?
函数但函数链 22,a rc s i n xuuy 不能构成复合函数,
可定义复合机动 目录 上页 下页 返回 结束两个以上函数也可构成复合函数,例如,
0, uuy
可定义复合函数,
Zn?
02c o t,22 xkxk 时
),2,1,0(,c o t kkvvu?),(,
2 x
xv
4,初等函数
(1) 基本初等函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数
(2) 初等函数由常数及基本初等函数否则称为 非初等函数,
例如,,2xy
y 0,?xx
0, xx
并可用 一个式子 表示的函数,
经过 有限次 四则运算和复合步骤所构成,称为 初等函数,
可表为 故为初等函数,
又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数,
( 自学,P17 – P21 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束非初等函数举例,
符号函数 当 x > 0
当 x = 0
当 x < 0 x
y
o
1
1?
取整函数当
x
y
o 1 3 421?2?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,求?y 的反函数及其定义域,
解,01 x当 时,2xy?
则 ]1,0(, yyx
10 x当 时,xy ln?
则 ]0,(, yex y
21 x当 时,12 xey
则 ]2,2(,ln1 2 eyx y
反函数?y 定义域为 ]2,2(]1,( e
21,2
10,ln
01,
1
2
xe
xx
xx
x
2
1 2
e2
1?
y
o x
1
,]1,0(?
,]0,(
,]2,2( e?
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,集合及映射的概念定义域对应规律
3,函数的特性 有界性,单调性,
奇偶性,周期性
4,初等函数的结构作业
P21 6 (5),(8),(10); 8; 10; 11;
15 ; 18; 19; 20
2,函数的定义及函数的二要素第二节 目录 上页 下页 返回 结束且备用题证明证,令,1xt? 则,1tx? tctfbfa t )()( 1
由 xcxfbfa
x )()( 1
消去 ),(1xf 得时 其中
a,b,c 为常数,且 为奇函数,
为奇函数,
1,设机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设函数 ),(,)( xxfy 的图形与,ax?
均对称,求证 )( xfy? 是周期函数,)( baby
证,由
)( xaf
)(xf 的对称性知
),( xaf )( xbf )( xbf?
于是?)(xf)( axaf
)2( xaf
故 )(xf 是周期函数,周期为机动 目录 上页 下页 返回 结束
