第一章
,0 时?x xxx s in,,3 2都是无穷小,
第七节引例,
x
x
x 3
lim
2
0?,0?
20
si nlim
x
x
x?,
x
x
x 3
si nlim
0?
,1?
但可见无穷小趋于 0 的速度是多样的,
机动 目录 上页 下页 返回 结束无穷小的比较
,0l i m Ck
定义,
,0lim若 则称? 是比? 高阶 的无穷小,)( o?
,lim若若若
,1lim若
~
~
,0lim C
或
,设 是自变量同一变化过程中的无穷小,
记作则称? 是比? 低阶 的无穷小 ;
则称? 是? 的 同阶 无穷小 ;
则称? 是关于? 的 k 阶 无穷小 ;
则称? 是? 的 等价 无穷小,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束例如,当
)(o? ～
0?x 时
3x 26x xsin; x xta n; ～ x
xarcsin～ x
20
c o s1l i m
x
x
x
2
2
0
si n2lim x
x?
又如,
22)(4 x 2
1?
故 时 是关于 x 的二阶无穷小,
xcos1? 221x～
且机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,证明,当 时,～
证,
～
nn ba )( ba? 1(?na ba n 2 )1 nb?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
～
～
定理 1,)( o
证,1lim
,0)1l i m ( 0l i m即
,)( o 即 )( o
例如,,0 时?x ～,ta n xx～ 故
,0 时?x )(ta n xoxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2,设 且 存在,则
lim
证,?
lim?


l i m

lim?
lim
lim
lim
例如,x
x
x 5si n
2ta nlim
0? x
x
x 5
2lim
0?
52?
机动 目录 上页 下页 返回 结束设对同一变化过程,?,? 为无穷小,说明,
无穷小的性质,
(1) 和差取大规则,
由等价可得简化某些极限运算的下述规则,
若? = o(?),
(2) 和差代替规则,,~,~ 不等价与且若
,~则例如,xx
x
x 3
s i nlim
30 x
x
x
lim
0?
31?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
~?则
,limlim且
.~ 时此结论未必成立但
例如,11
s i n2ta nli m
0
x
xx
x x
xx
x 210
2l i m
2?
(3) 因式代替规则,极限存在或有且若 )(,~ x
界,则 )(lim x )(lim x
例如,
.s i nt a nlim 3
0 x
xx
x
30lim x
xx
x

原式机动 目录 上页 下页 返回 结束
3
2
2
1
0
l i m
x
xx
x
例 1,求
01s i nlim1s i na rc s i nlim
00

x
xxx
xx
解,原式例 2,求,1c o s
1)1(lim 3
12
0?

x
x
x
解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
0
1,无穷小的比较设?,? 对同一自变量的变化过程为无穷小,且
是? 的 高阶 无穷小
是? 的 低阶 无穷小
是? 的 同阶 无穷小
是? 的 等价 无穷小
是? 的 k 阶 无穷小机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,等价无穷小替换定理
～ ～ ～
～ ～
思考与练习
Th 2
P59 题 1,2
作业
P59 3 ; 4 (2),(3),(4) ; 5 (3)
常用等价无穷小,
第八节 目录 上页 下页 返回 结束