第 七 章一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组
2S L 0),,(?zyxF 0),,(?zyxG 1S
例如,方程组表示圆柱面与平面的交线 C,
x
z
y1
o
C2
机动 目录 上页 下页 返回 结束又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线 C,y
x
z
a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z
yx
o
二、空间曲线的参数方程将曲线 C上的动点坐标 x,y,z表示成参数 t 的函数,
称它为空间曲线的参数方程,
例如,圆柱螺旋线

vbt,令
bh?2?
的参数方程为上升高度,称为 螺距,
M
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,将下列曲线化为参数方程表示,
解,(1) 根据第一方程引入参数,
(2) 将第二方程变形为 故所求为得所求为机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求空间曲线?,绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程,
解,点 M1绕 z 轴旋转,
转过角度?后到点 则机动 目录 上页 下页 返回 结束这就是旋转曲面满足的参数方程,
例如,直线 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为消去 t 和?,得 旋转曲面方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为又如,xoz 面上的半圆周说明,一般曲面的参数方程含两个参数,形如机动 目录 上页 下页 返回 结束三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则 C 在 xoy 面上的投影曲线 C′为消去 x 得 C 在 yoz 面上的投影曲线方程消去 y 得 C 在 zox 面上的投影曲线方程

0
0),(
z
yxH

0
0),(
x
zyR

0
0),(
y
zxT
z
y
x
C
C?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z
y
x
C
1o
例如,
在 xoy 面上的投影曲线方程为


0
022 22
z
yyx


1)1()1(
1:
222
222
zyx
zyxC
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z
x
y
o
1C
又如,
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为,
上半球面 和锥面在 xoy 面上的 投影曲线二者交线
.0,122 zyx所围圆域,
二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域,
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
空间曲线 三元方程组或参数方程
求投影曲线
(如,圆柱螺线 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
P324 题 1,2,7（ 展示空间图形 ）
P324 题 1
(2)
o
z
y
x
o
1
2
1?x
2?y(1)
224 yxz
0 xy
x
z
yo 2
答案,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3)
z
x
y
o
a
a
222 azx
222 ayx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P324 题 2 (1)
o
z
y
15 xy
3 xy
15 xy
3 xy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
z
2x 3
思考,by?对平面交线情况如何?
交线情况如何?
P324 题 2(2)
194
22
yx
3?y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P325 题 7


0
22
z
axyx

0
)0,0(222
y
zxazx
y
x
z
a y
x
z
a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P324 3,4,5,6,8
作业第五节 目录 上页 下页 返回 结束
22 yxz



1
22
zyx
yxz


0
122
z
yxyx
备用题 求曲线 绕 z 轴旋转的曲面与平面的交线在 xoy 平面的投影曲线方程,1 zyx
解,? 旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
,它与所给平面的机动 目录 上页 下页 返回 结束