三、其他未定式二,型未定式一,型未定式0
0
第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束洛必达法则第 三 章微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限转化
( 或 型 )
本节研究,
洛必达法则洛必达 目录 上页 下页 返回 结束一、
)(
)(l i m)3
xF
xf
ax?
存在 (或为 )
)(
)(l i m
)(
)(l i m
xF
xf
xF
xf
axax?
,)()()()2 内可导在与 axFxf
定理 1.
型未定式
0
0
(洛必达法则 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(?在 x,a 之间 )
证,无妨假设,0)()( aFaf 在指出的邻域内任取则 在以 x,a 为端点的区间上满足柯故
)()(
)()(
)(
)(
aFxF
afxf
xF
xf
)(
)(
F
f
)(
)(l i m
F
f
ax?
)3
定理条件,
西定理条件,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(
)(l i m)3
xF
xf
ax?
存在 (或为 )
,)()()()2 内可导在与 axFxf
推论 1,定理 1 中 ax?换为
, ax
之一,
推论 2,若 )(
)(lim
xF
xf
理 1条件,则条件 2) 作相应的修改,定理 1 仍然成立,
,x
洛必达法则定理 1 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求解,原式 lim
1?
x
型00
26
6lim
1?
x
x
x
3?
注意,不是未定式不能用洛必达法则 !
26
6lim
1 x
x
x
166lim
1
x?
33 2?x
123 2 xx
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求解,原式
lim x
型00
2
2
1
lim
x
x
x?
1?
21
1
x?
2
1
x
1
1lim
2
1
x
x
思考,如何求
nn
n
1
2 a r c t a nlim?
( n 为正整数 )?
型
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、
型未定式
)(
)(l i m)3
xF
xf
ax?
存在 (或为 ∞)
)(
)(lim
xF
xf
ax?
定理 2.
证,)(
)(lim
xF
xf
ax?仅就极限 存在的情形加以证明,
)(
)(l i m
xF
xf
a?
(洛必达法则 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,)()()()2 内可导在与 axFxf
1) 0)(
)(l i m?
xF
xf
ax 的情形
)(
)(lim
xF
xf
ax?
l i m
ax?
)(
1
xF
)(
1
xf
l i m
ax?
)()(12 xFxF
)()(12 xfxf
)(
)(
)(
)(lim 2
xf
xF
xF
xf
ax )(
)(lim
)(
)(lim 2
xf
xF
xF
xf
axax?
)(
)(lim
)(
)(lim1
xf
xF
xF
xf
axax?
)(
)(l i m
)(
)(l i m
xF
xf
xF
xf
axax?
从而型00
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2) 0)(
)(lim?
xF
xf
ax 的情形,取常数,0?k
,0 k
kxF xfax )( )(l i m )( )()(l i m xF xFkxf
ax
)(
)()(lim
xF
xFkxf
ax
)(
)()(l i m
xF
xFkxf
ax?
kxF xf
ax )(
)(l i m
)(
)(lim
)(
)(lim
xF
xf
xF
xf
axax?
可用 1) 中结论机动 目录 上页 下页 返回 结束
3) )(
)(l i m
xF
xf
ax 时,结论仍然成立,( 证明略 )
说明,定理中 ax?换为之一,条件 2) 作相应的修改,定理仍然成立,
, ax, ax,x
x,x
定理 2 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求解,
型
原式 1
1
l i m?
nx
x xn nx xn
1l i m
0?
例 4,求解,(1) n 为正整数的情形,
原式
0?
x
n
x e
xn
1
lim
x
n
x e
xnn
2
2)1(
l i m
xnx e
n
!l im
.)0,0(lim
n
e
x
x
n
x 型?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求,)0,0(lim ne
x
x
n
x
(2) n 不为正整数的情形,
nx
从而 x
n
e
x
x
k
e
x
x
k
e
x
1?
由 (1) 0limlim
1
x
k
xx
k
x e
x
e
x
0lim
x
n
x e
x
用夹逼准则
kx 1 kx
存在正整数 k,使当 x > 1 时,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
.)0(0lnlim
n
x
x
nx
例 3,
例 4.,)0,0(0lim
n
e
x
x
n
x
说明,
1) 例 3,例 4 表明x 时,
,lnx
后者比前者趋于 更快,
例如,
而
)0( xe
用洛必达法则
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3) 若,)()(
)(lim 时不存在
xF
xf
.)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf
例如,x
xx
x
si nl i m?
1
c o s1l i m x
x
极限不存在
)si n1(l i m x x
x
1?
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、其他未定式,
解决方法,
通分转化
0
0
0取倒数 转化
00
1
0?
取对数转化例 5,求 ).0(lnl i m0 nxx nx 型0
解,原式 nx x
x
lnl i m
0
1
1
0
l i m
n
x
x xn
0? )(l i m0 n
x n
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
型,)t a n(se cl i m
2
xxx
解,原式 )c o s
s i n
c o s
1(l i m
2 x
x
xx x
x
x c o s
s i n1l i m
2
x
x
x s i n
c o sl i m
2?
例 6,求机动 目录 上页 下页 返回 结束通分转化
0
0
0取倒数 转化
00
1
0?
取对数转化
例 7,求,lim0
x
x
x?
型00
解,xx x 0lim xxx e ln0l i m
0e? 1?
利用 例 5
例 5 目录 上页 下页 返回 结束通分转化
0
0
0取倒数 转化
00
1
0?
取对数转化
例 8,求,s i n
t a nl i m
20 xx
xx
x
解,注意到 ～
原式 30
t a nl i m
x
xx
x
2
2
0 3
1se cl i m
x
x
x
2
2
0 3
t a nl i m
x
x
x?
xx 22 ta n1s e c
3
1?
型00
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n n nne ln1 1?
例 9,求,)1(l i m nn nn
分析,为用洛必达法则,必须改求,)1(lim
1
21?
xxx
x
法 1 用洛必达法则型0
但对本题用此法计算很繁 !
2
1
l i m
nn
法 2 )1(lim
1
21
nnn
n
1ln1?nne
2
1lim
nn
nnln1
2
1
lnlim
n
n
n
0?
～ u1?ue
原式例 3 目录 上页 下页 返回 结束内容小结洛必达法则型00,1,0
型 型0型0
0
型
g
fgf
1
fg
fggf
11
11
gfy?令取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,设 )(
)(lim
xg
xf
是未定式极限,如果 )(
)(
xg
xf
不存在,是否 )(
)(
xg
xf
的极限也不存在? 举例说明,
极限说明 目录 上页 下页 返回 结束原式 x
xx x
x
12
0
c o ss i n3lim
2
1
)1ln ( x?～ x
)03(21
2
3
分析,
分析,
20 3
c o s1l i m
x
x
x
30
lim
xx
3.
原式 xsin ～ x
1c o slim 0 xxxx sin?
2
2
2
1
0 3
lim
x
x
x?
xcos1? ～ 221x
6
1?
6
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xx
xxx
x 20 s i n
)s i n(c o sl i m
,1xt? 则
20
11221lim
t
tt
t
4,求解,令原式
tt 2
lim
0?
21)21( t 21)1( t
2
)1()21(
lim
2
3
2
3
2
1
0
tt
t 4
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P137
1 (6),(7),(9),(12),(13),(16),
4
第三节 目录 上页 下页 返回 结束求下列极限,
];)11l n ([lim)1 2 xxx
x
解,
tt
tt
1)1l n (1lim
20 20
)1l n (l i m
t
tt
t
.c o ss e c )1l n ()1l n (lim)3
22
0 xx
xxxx
x?
;1l i m)2 2
1
1 0 00
x
x
e
x
])11l n ([lim)1 2 xxx
x
)1(2l i m0 tt
t
t?
备用题
t
t
t 2
1l i m 1 1
0
1
)1( xt?令机动 目录 上页 下页 返回 结束令,
1
2xt? 则
t
t et
50lim
原式 = tx e
t 50lim
0
tt e
t 4950lim
2
1
1 0 00
1l i m)2 x
x
e
x
解,
tt e
!50l im
(用洛必达法则 )
(继续用洛必达法则 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xx
xx
x c o ss e c
])1l n [(l i m 222
0?
xx
xx
x c o ss e c
)1(lnl i m 42
0?
xx
xx
x c o ss e c
l i m
42
0?
0
lim
x
1se c
42
sinlim 2
2
0?
x
x
x
x
x
xx
xxxx
x c o ss e c
)1l n ()1l n (lim)3 22
0?
解,原式 =
342 xx?
xx ta ns e c
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
0
第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束洛必达法则第 三 章微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限转化
( 或 型 )
本节研究,
洛必达法则洛必达 目录 上页 下页 返回 结束一、
)(
)(l i m)3
xF
xf
ax?
存在 (或为 )
)(
)(l i m
)(
)(l i m
xF
xf
xF
xf
axax?
,)()()()2 内可导在与 axFxf
定理 1.
型未定式
0
0
(洛必达法则 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(?在 x,a 之间 )
证,无妨假设,0)()( aFaf 在指出的邻域内任取则 在以 x,a 为端点的区间上满足柯故
)()(
)()(
)(
)(
aFxF
afxf
xF
xf
)(
)(
F
f
)(
)(l i m
F
f
ax?
)3
定理条件,
西定理条件,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(
)(l i m)3
xF
xf
ax?
存在 (或为 )
,)()()()2 内可导在与 axFxf
推论 1,定理 1 中 ax?换为
, ax
之一,
推论 2,若 )(
)(lim
xF
xf
理 1条件,则条件 2) 作相应的修改,定理 1 仍然成立,
,x
洛必达法则定理 1 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求解,原式 lim
1?
x
型00
26
6lim
1?
x
x
x
3?
注意,不是未定式不能用洛必达法则 !
26
6lim
1 x
x
x
166lim
1
x?
33 2?x
123 2 xx
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求解,原式
lim x
型00
2
2
1
lim
x
x
x?
1?
21
1
x?
2
1
x
1
1lim
2
1
x
x
思考,如何求
nn
n
1
2 a r c t a nlim?
( n 为正整数 )?
型
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、
型未定式
)(
)(l i m)3
xF
xf
ax?
存在 (或为 ∞)
)(
)(lim
xF
xf
ax?
定理 2.
证,)(
)(lim
xF
xf
ax?仅就极限 存在的情形加以证明,
)(
)(l i m
xF
xf
a?
(洛必达法则 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,)()()()2 内可导在与 axFxf
1) 0)(
)(l i m?
xF
xf
ax 的情形
)(
)(lim
xF
xf
ax?
l i m
ax?
)(
1
xF
)(
1
xf
l i m
ax?
)()(12 xFxF
)()(12 xfxf
)(
)(
)(
)(lim 2
xf
xF
xF
xf
ax )(
)(lim
)(
)(lim 2
xf
xF
xF
xf
axax?
)(
)(lim
)(
)(lim1
xf
xF
xF
xf
axax?
)(
)(l i m
)(
)(l i m
xF
xf
xF
xf
axax?
从而型00
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2) 0)(
)(lim?
xF
xf
ax 的情形,取常数,0?k
,0 k
kxF xfax )( )(l i m )( )()(l i m xF xFkxf
ax
)(
)()(lim
xF
xFkxf
ax
)(
)()(l i m
xF
xFkxf
ax?
kxF xf
ax )(
)(l i m
)(
)(lim
)(
)(lim
xF
xf
xF
xf
axax?
可用 1) 中结论机动 目录 上页 下页 返回 结束
3) )(
)(l i m
xF
xf
ax 时,结论仍然成立,( 证明略 )
说明,定理中 ax?换为之一,条件 2) 作相应的修改,定理仍然成立,
, ax, ax,x
x,x
定理 2 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求解,
型
原式 1
1
l i m?
nx
x xn nx xn
1l i m
0?
例 4,求解,(1) n 为正整数的情形,
原式
0?
x
n
x e
xn
1
lim
x
n
x e
xnn
2
2)1(
l i m
xnx e
n
!l im
.)0,0(lim
n
e
x
x
n
x 型?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求,)0,0(lim ne
x
x
n
x
(2) n 不为正整数的情形,
nx
从而 x
n
e
x
x
k
e
x
x
k
e
x
1?
由 (1) 0limlim
1
x
k
xx
k
x e
x
e
x
0lim
x
n
x e
x
用夹逼准则
kx 1 kx
存在正整数 k,使当 x > 1 时,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
.)0(0lnlim
n
x
x
nx
例 3,
例 4.,)0,0(0lim
n
e
x
x
n
x
说明,
1) 例 3,例 4 表明x 时,
,lnx
后者比前者趋于 更快,
例如,
而
)0( xe
用洛必达法则
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3) 若,)()(
)(lim 时不存在
xF
xf
.)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf
例如,x
xx
x
si nl i m?
1
c o s1l i m x
x
极限不存在
)si n1(l i m x x
x
1?
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、其他未定式,
解决方法,
通分转化
0
0
0取倒数 转化
00
1
0?
取对数转化例 5,求 ).0(lnl i m0 nxx nx 型0
解,原式 nx x
x
lnl i m
0
1
1
0
l i m
n
x
x xn
0? )(l i m0 n
x n
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
型,)t a n(se cl i m
2
xxx
解,原式 )c o s
s i n
c o s
1(l i m
2 x
x
xx x
x
x c o s
s i n1l i m
2
x
x
x s i n
c o sl i m
2?
例 6,求机动 目录 上页 下页 返回 结束通分转化
0
0
0取倒数 转化
00
1
0?
取对数转化
例 7,求,lim0
x
x
x?
型00
解,xx x 0lim xxx e ln0l i m
0e? 1?
利用 例 5
例 5 目录 上页 下页 返回 结束通分转化
0
0
0取倒数 转化
00
1
0?
取对数转化
例 8,求,s i n
t a nl i m
20 xx
xx
x
解,注意到 ～
原式 30
t a nl i m
x
xx
x
2
2
0 3
1se cl i m
x
x
x
2
2
0 3
t a nl i m
x
x
x?
xx 22 ta n1s e c
3
1?
型00
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n n nne ln1 1?
例 9,求,)1(l i m nn nn
分析,为用洛必达法则,必须改求,)1(lim
1
21?
xxx
x
法 1 用洛必达法则型0
但对本题用此法计算很繁 !
2
1
l i m
nn
法 2 )1(lim
1
21
nnn
n
1ln1?nne
2
1lim
nn
nnln1
2
1
lnlim
n
n
n
0?
～ u1?ue
原式例 3 目录 上页 下页 返回 结束内容小结洛必达法则型00,1,0
型 型0型0
0
型
g
fgf
1
fg
fggf
11
11
gfy?令取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,设 )(
)(lim
xg
xf
是未定式极限,如果 )(
)(
xg
xf
不存在,是否 )(
)(
xg
xf
的极限也不存在? 举例说明,
极限说明 目录 上页 下页 返回 结束原式 x
xx x
x
12
0
c o ss i n3lim
2
1
)1ln ( x?～ x
)03(21
2
3
分析,
分析,
20 3
c o s1l i m
x
x
x
30
lim
xx
3.
原式 xsin ～ x
1c o slim 0 xxxx sin?
2
2
2
1
0 3
lim
x
x
x?
xcos1? ～ 221x
6
1?
6
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xx
xxx
x 20 s i n
)s i n(c o sl i m
,1xt? 则
20
11221lim
t
tt
t
4,求解,令原式
tt 2
lim
0?
21)21( t 21)1( t
2
)1()21(
lim
2
3
2
3
2
1
0
tt
t 4
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P137
1 (6),(7),(9),(12),(13),(16),
4
第三节 目录 上页 下页 返回 结束求下列极限,
];)11l n ([lim)1 2 xxx
x
解,
tt
tt
1)1l n (1lim
20 20
)1l n (l i m
t
tt
t
.c o ss e c )1l n ()1l n (lim)3
22
0 xx
xxxx
x?
;1l i m)2 2
1
1 0 00
x
x
e
x
])11l n ([lim)1 2 xxx
x
)1(2l i m0 tt
t
t?
备用题
t
t
t 2
1l i m 1 1
0
1
)1( xt?令机动 目录 上页 下页 返回 结束令,
1
2xt? 则
t
t et
50lim
原式 = tx e
t 50lim
0
tt e
t 4950lim
2
1
1 0 00
1l i m)2 x
x
e
x
解,
tt e
!50l im
(用洛必达法则 )
(继续用洛必达法则 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xx
xx
x c o ss e c
])1l n [(l i m 222
0?
xx
xx
x c o ss e c
)1(lnl i m 42
0?
xx
xx
x c o ss e c
l i m
42
0?
0
lim
x
1se c
42
sinlim 2
2
0?
x
x
x
x
x
xx
xxxx
x c o ss e c
)1l n ()1l n (lim)3 22
0?
解,原式 =
342 xx?
xx ta ns e c
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
