习题课一,内容小结二,实 例分析机动 目录 上页 下页 返回 结束空间解析几何第 七 章一,内容小结空间平面一般式点法式截距式 1 c
z
b
y
a
x
三点式
0
131313
121212
111



zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
1,空间直线与平面的方程
),,(,000 zyx点 ),,(,CBAn?法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束为直线的方向向量,
空间直线一般式对称式参数式



0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA




tpzz
tnyy
tmxx
0
0
0
),,( 000 zyx
),,( pnms?
为直线上一点 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束面与面的关系
0212121 CCBBAA
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
平面平面垂直,
平行,
夹角公式,
2.线面之间的相互关系
),,(,0,222222222 CBAnDzCyBxA
021 nn
21
21θc o s
nn
nn
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,
1
1
1
1
1
11
p
zz
n
yy
m
xxL：
直线
0212121 ppnnmm
,
2
2
2
2
2
22
p
zz
n
yy
m
xxL：
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
线与线的关系直线垂直,
平行,
夹角公式,
),,( 1111 pnms?
),,( 2222 pnms?
021 ss
21
21c o s
ss
ss
机动 目录 上页 下页 返回 结束
C
p
B
n
A
m
平面,
垂直：
平行：
夹角公式：
面与线间的关系直线,
),,(,0 CBAnDCzByAx
),,(,pnmsp zzn yym xx
0 ns
0ns
ns
nss i n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,相关的几个问题
(1) 过直线



0
0:
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxAL
的平面束
)( 1111 DzCyBxA
0)( 2222 DzCyBxA
方程
0,21 不全为
1?
2?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)点的距离为到平面?,A x+B y+C z+D = 0 ),,( 0000 zyxM
d
0M
1M
n?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
kji
到直线的距离 为
(3) 点
222
1
pnm
010101 zzyyxx
pnm
d
s
sMMd 10 ),,( pnms?
),,( 1111 zyxM
),,( 0000 zyxM
机动 目录 上页 下页 返回 结束二,实 例分析例 1,求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线提示,所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程
4
3?x
)1,3,4(
3
2 y
1
5 z
平行,且 过点 (–3,2,5) 的直线方程,
21 nns
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求直线 与平面的交点,
提示,化直线方程为参数方程代入平面方程得 1t
从而确定交点为 （ 1,2,2）,
t?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求过点 ( 2,1,3 ) 且与直线垂直相交的直线方程,
提示,先求二直线交点 P,
化已知直线方程为参数方程,代入 ① 式,可得交点最后利用两点式得所求直线方程
4
3
1
1
2
2
zyx
的平面的法向量为 故其方程为
①
),,( 312
),,( 011? ),,( 123?
过已知点且垂直于已知直线
P
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求直线 在平面上的投影直线方程,
提示,过已知直线的平面束方程从中 选择得



0
01
zyx
zy 这是投影平面
0)1(1 zyxzyx?
即使其与已知平面垂直：?
从而得投影直线方程,1
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,设一平面平行于已知直线


05
02
zyx
zx
且垂直于已知平面,0347 zyx 求该平面法线的的方向余弦,
提示,已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量
,513c o s 504c o s,505c o s
1nsn
)4,1,7(1n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
417
211
kji
)4,5,3(2
所求为例 6,求过直线 L:


04
05
zx
zyx
zyx 84且与平面夹成 角的平面方程,
提示,过直线 L 的平面束方程其法向量为已知平面的法向量为
选择 使 43
.012720 zyx从而得所求平面方程
n?
1n
4
012
1
1
4c o s nn
nn
}.1,5,1{1n
}8,4,1{n
机动 目录 上页 下页 返回 结束思路,先求交点例 7,求过点 且与两直线都相交的直线 L.
提示,
的方程化为参数方程
L
1L
2L
0M
1M
2M
设 L 与它们的交点分别为
.)12,43,( 2222 tttM
再写直线方程,;,21 MM
),1,2,( 1111?tttM
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,0 21 tt
)3,2,2(,)1,0,0( 21 MM
2
1
1
1
1
1, zyxL
210,,MMM 三点共线
2010 // MMMM
L
1L
2L
0M
1M
2M
机动 目录 上页 下页 返回 结束
r
例 8.直线 绕 z 轴旋转一周,求此旋转转曲面的方程,
提示,在 L 上任取一点旋转轨迹上任一点,
L
x
o
z
y
0M
M
则有z?
22 yx?
得旋转曲面方程
1222 zyx
r
机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
,2)1( 2 xy?抛物柱面 0?z平面 ;1224 zyx及
P338 题 21 画出下列各曲面所围图形,
,1)2( 2 zx抛物柱面 ;10,0 yxzy 及平面
,,)4( 222 xyzyx 柱面旋转抛物面 0?z平面
.1?x及
P338 题 21(1)
机动 目录 上页 下页 返回 结束解答,
x y
z
o
xy?22
0?z
1224 zyx
)0,1,2()0,2,8(? 4x y
z
o
2
x y
z
1
1
1
1?
x y
z P338 21 (2)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
1
1
1?
o
zx 12
1 yx
0?y 0?z
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 )1,1()1,1(?
z
x
yo
zyx 22
xy?2 0?z
1?x
P338 21(4)
作业
P336 11; 13; 15
P338 15; 16; 17; 18