四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面机动 目录 上页 下页 返回 结束曲面及其方程第 七 章一、曲面方程的概念求到两定点 A(1,2,3)和 B(2,-1,4)等距离的点的
222 )3()2()1( zyx
07262 zyx化简得即说明,动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面,
引例,
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程,
222 )4()1()2( zyx
解,设轨迹上的动点为,),,( zyxM,BMAM?则轨迹 方程,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定义 1.
0),,(?zyxF
Sz
yx o
如果曲面 S 与方程 F( x,y,z ) = 0 有下述关系,
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程 ;
则 F( x,y,z ) = 0 叫做 曲面 S 的 方程,
曲面 S 叫做方程 F( x,y,z ) = 0 的 图形,
两个基本问题,
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
求曲面方程,
(2) 已知方程时,研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ),
机动 目录 上页 下页 返回 结束故所求方程为例 1,求动点到定点方程,
特别,当 M0在原点时,球面方程为解,设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹
x
y
z
o
M
0M
表示上 (下 )球面,
Rzzyyxx 202020 )()()(
2202020 )()()( Rzzyyxx
2222 Rzyx
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,研究方程解,配方得
5
,)0,2,1(0?M此方程表示,
说明,如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形,其图形可能是的曲面,
表示 怎样半径为 的球面,
球心为一个 球面,或 点,或 虚轨迹,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定义 2,一条平面曲线二、旋转曲面绕其平面上一条 定直线 旋转一周 所形成的曲面叫做 旋转曲面,该定直线称为 旋转轴,
例如,
机动 目录 上页 下页 返回 结束建立 yoz面上曲线 C 绕 z 轴旋转所成曲面 的 方程,
故旋转曲面方程为
,),,( zyxM
当绕 z 轴旋转时,
0),( 11?zyf
,),,0( 111 CzyM?若点给定 yoz 面上曲线 C,
),,0( 111 zyM
),,( zyxM
1221,yyxzz
则有
0),( 22 zyxf
则有该点转到
0),(?zyf
o
z
yx
C
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考,当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
0),(,?zyfC
o
y
x
z
0),( 22 zxyf
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,试建立顶点在原点,旋转轴为 z 轴,半顶角为的圆锥面方程,
解,在 yoz面上直线 L 的方程为绕 z 轴旋转时,圆锥面的方程为
)( 2222 yxaz
x
y
z
两边平方
L
),,0( zyM
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x y
例 4,求坐标面 xoz 上的双曲线 分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程,
解,绕 x 轴旋转
12
22
2
2

c
zy
a
x
绕 z 轴旋转
12
2
2
22

c
z
a
yx
这两种曲面都叫做 旋转双曲面,
所成曲面方程为所成曲面方程为 z
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x
y
z三、柱面引例,分析方程表示怎样的曲面,
的坐标也满足方程解,在 xoy 面上,表示圆 C,
222 Ryx
沿曲线 C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面 称为 圆故在空间
222 Ryx
过此点作柱面,
对任意 z,平行 z 轴的直线 l,
表示 圆柱面
oC
在圆 C上任取一点,)0,,(1 yxM
l
M
1M
),,( zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,
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x
y
z
x y
z
o
定义 3,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做 柱面,
表示 抛物柱面,
母线平行于 z 轴 ;
准线为 xoy 面上的抛物线,
z 轴的 椭圆柱面,
12
2
2
2
byax?
z 轴的 平面,
0 yx? 表示母线平行于
C
(且 z 轴在平面上 )
表示母线平行于
C 叫做 准线,l 叫做 母线,
x
y
z
o o
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x
z
y
2l
一般地,在三维空间柱面,
柱面,
平行于 x 轴 ;
平行于 y 轴 ;
平行于 z 轴 ;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
母线柱面,
准线 xoy 面上的曲线 l1.
母线准线 yoz 面上的曲线 l2,
母线表示方程 0),(?yxF
表示方程 0),(?zyG
表示方程 0),(?xzH
x y
z
3l
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x y
z
1l
四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍,
研究二次曲面特性的基本方法,截痕法其基本类型有,
椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为 二次曲面,
F z xE y xD x yCzByAx 222
0 JIzHyGx
(二次项系数不全为 0 )
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1,椭球面
),,(12
2
2
2
2
2
为正数cbaczbyax
(1)范围：
czbyax,,
(2)与坐标面的交线：椭圆,
0
12
2
2
2


z
b
y
a
x
,
0
12
2
2
2


x
c
z
b
y


0
12
2
2
2
y
c
z
a
x
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12
2
2
2
2
2
czbyax
与 )( 11 czzz 的交线为椭圆：
1zz?
(4) 当 a＝ b 时为 旋转椭球面 ;
同样 )( 11 byyy 的截痕及也为椭圆,
当 a＝ b＝ c 时为 球面,
(3) 截痕,1
)()( 212
2
2
1
2
2
2
2
2
2?
zc
y
zc
x
c
b
c
a
cba,,( 为正数 )
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z
2,抛物面
zqypx 22
22(1) 椭圆抛物面
( p,q 同号 )
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
zqypx 22
22
z
yx特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面,
( p,q 同号 )
z
yx
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3,双曲面
(1)单叶双曲面
by?1)1
上的截痕为平面 1zz?椭圆,
时,截痕为
2
2
1
2
2
2
2
1
b
y
c
z
a
x
(实轴平行于 x轴；
虚轴平行于 z 轴）1yy?
z
x y
),,(12
2
2
2
2
2
为正数cbaczbyax
1yy?平面 上的截痕情况,
机动 目录 上页 下页 返回 结束双曲线,
虚轴平行于 x 轴）
by?1)2 时,截痕为
0 czax
)( bby 或
by?1)3 时,截痕为
2
2
1
2
2
2
2
1
b
y
c
z
a
x
(实轴平行于 z轴 ;
1yy?
z
x y
z
x y
机动 目录 上页 下页 返回 结束相交直线,
双曲线,
0?
(2) 双叶双曲面
),,(12
2
2
2
2
2
为正数cbaczbyax
上的截痕为平面 1yy?双曲线上的截痕为平面 1xx?
上的截痕为平面 )( 11 czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别,
双曲线
z
x y
o
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
单叶双曲面1
1? 双叶双曲面
P18 目录 上页 下页 返回 结束图形
4,椭圆锥面
),(22
2
2
2
为正数bazbyax
上的截痕为在平面 tz?椭圆在平面 x＝ 0 或 y＝ 0 上的截痕为过原点的两直线,
z
x yo 1
)()( 2
2
2
2

tb
y
ta
x
tz?,
可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上,
①
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到,见书 P316 )
x y
z
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,空间曲面 三元方程 0),,(?zyxF
球面 2202020 )()()( Rzzyyxx
旋转曲面如,曲线
0
0),(
x
zyf
绕 z 轴的旋转曲面,
0),( 22 zyxf
柱面如,曲面 0),(?yxF 表示母线平行 z 轴的柱面,
又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等,
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2,二次曲面 三元二次方程
),( 同号qp
椭球面
抛物面,椭圆抛物面 双曲抛物面 z
q
y
p
x
22
22
双曲面,单叶双曲面
2
2
2
2
b
y
a
x?
1?
双叶双曲面
2
2
2
2
b
y
a
x?
1
椭圆锥面,
2
2
2
2
2
z
b
y
a
x
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5?x
922 yx
1 xy 斜率为 1的直线平面解析几何中 空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面圆心在 (0,0)
半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习
1,指出下列方程的图形,
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2,P318 题 3,10
机动 目录 上页 下页 返回 结束题 10 答案,
在 xoy 面上作业
P318 2 ; 4; 7 ; 8 (1),(5) ; 11
第四节 目录 上页 下页 返回 结束