第五节一,平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角机动 目录 上页 下页 返回 结束平面及其方程第 七 章
z
yxo
0M
n
①
一、平面的点法式方程
),,( 0000 zyxM设一平面通过已知点 且垂直于非零向
0)()()( 000 zzCyyBxxA
M
称 ①式 为平面?的 点法式方程,
求该平面?的 方程,
,),,(zyx任取点法向量,
量,),,( CBAn?
nMM?0
00 nMM
则有故的为平面称?n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
kji
例 1.求过三点
,1M又
)1,9,14(
即
1M
2M
3M
解,取该平面?的法向量为的平面? 的方程,
利用点法式得平面? 的方程
3? 4 6?
2? 3 1?
n
n 3121 MMMM
机动 目录 上页 下页 返回 结束此平面的 三点式方程 也可写成
0
132
643?
412 zyx
一般情况,过三点 )3,2,1(),,(?kzyxM kkkk
的平面方程为说明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的 截距式方程,
1 czbyax
时,
)0,,(?cba
bcax )(? cay )( 0 baz
ab cbzaac ybc x
平面方程为分析,利用三点式按第一行展开得即
0?
ax? y z
a? b 0
a? 0 c
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为 平面的一般
0 DzCyBxA
任取一组满足上述方程的数,,,000 zyx 则
0000 DzCyBxA
显然方程 ②与此点法式方程等价,
)0( 222 CBA ②
),,( CBAn? 的平面,
因此方程 ② 的图形是法向量为方程,
机动 目录 上页 下页 返回 结束特殊情形
当 D = 0 时,A x + B y + C z = 0 表示 通过原点 的平面 ;
当 A = 0 时,B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴 ;
A x+C z+D = 0 表示
A x+B y+D = 0 表示
C z + D = 0 表示
A x + D =0 表示
B y + D =0 表示
0 DCzByAx )0( 222 CBA
平行于 y 轴 的平面 ;
平行于 z 轴 的平面 ;
平行于 xoy 面 的平面 ;
平行于 yoz 面 的平面；
平行于 zox 面 的平面,
,),,0( iCBn
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求通过 x 轴和点 ( 4,– 3,– 1) 的平面方程,
例 3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程,
解,因平面通过 x 轴,0 DA故设所求平面方程为
0 zCyB
代入已知点 )1,3,4(得化简,得所求平面方程
(P327 例 4,自己练习 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、两平面的夹角设平面 ∏1的法向量为平面 ∏2的法向量为则两平面夹角? 的余弦为
c o s即 212121 CCBBAA
222222 CBA 212121 CBA
两平面法向量的夹角 (常为锐角 )称为 两平面的夹角,
1?
2?
2n1n
),,( 1111 CBAn?
),,( 2222 CBAn?
21
21c o s
nn
nn
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2?
特别有下列结论：
21)1(
0212121 CCBBAA
21 //)2(
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
),,(:
),,(:
22222
11111
CBAn
CBAn
1?
1?
2?
21
21c o s
nn
nn
21 nn?
21 // nn
2n
1n
2n
1n
机动 目录 上页 下页 返回 结束因此有例 4,一平面通过两点垂直于平面 ∏,x + y + z = 0,求其方程,
解,设所求平面的法向量为
,020 CBA 即的法向量,0 CBA
)0(0)1()1()1(2 CzCyCxC
约去 C,得 0)1()1()1(2 zyx
即 02 zyx
0)1()1()1( zCyBxA
)1,1,1(1M,)1,1,0(2?M和则所求平面故方程为
n
21 MMn?
且机动 目录 上页 下页 返回 结束外一点,求例 5,设
222
101010 )()()(
CBA
zzCyyBxxA
222
000
CBA
DzCyBxAd
解,设平面法向量为
),,( 1111 zyxP
在平面上取一点是平面到平面的距离 d,0P
,则 P0 到平面的距离为
01P rj PPd n n
nPP 01
0P
1P
n
d
,),,( CBAn?
(点到平面的距离公式 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
z
o 0M
例 6.
解,设球心为求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且?
222
000
111
1zyx
00 331 xx,1000 zyx?
因此所求球面方程为
000 zyx
,),,( 000 zyxM
四面体的球面方程,
从而
)(半径R?
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1.平面 基本方程,
一般式点法式截距式
0 DCzByAx )0( 222 CBA
1 czbyax
三点式
0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx )0(?abc
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0212121 CCBBAA
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
2.平 面 与平面 之间的关系平面平面垂直,
平行,
夹角公式,
21
21c o s
nn
nn
021 nn
,0,22222 DzCyBxA ),,( 2222 CBAn?
,0,11111 DzCyBxA
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),,( 111 CBAn?
思考与练习
P330 题 4,5,8
第六节 目录 上页 下页 返回 结束作业
P330 2,6,7,9
)5,15,10(?
0)1(5)1(15)1(10 zyx
0632 zyx
备用题求过点 且垂直于 二 平面 和的平面方程,
)1,1,1(
解,已知二平面的法向量为取所求平面的法向量则所求平面方程为化简得
),1,1,1(1n )12,2,3(2n
21 nnn
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z
yxo
0M
n
①
一、平面的点法式方程
),,( 0000 zyxM设一平面通过已知点 且垂直于非零向
0)()()( 000 zzCyyBxxA
M
称 ①式 为平面?的 点法式方程,
求该平面?的 方程,
,),,(zyx任取点法向量,
量,),,( CBAn?
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则有故的为平面称?n
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例 1.求过三点
,1M又
)1,9,14(
即
1M
2M
3M
解,取该平面?的法向量为的平面? 的方程,
利用点法式得平面? 的方程
3? 4 6?
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n
n 3121 MMMM
机动 目录 上页 下页 返回 结束此平面的 三点式方程 也可写成
0
132
643?
412 zyx
一般情况,过三点 )3,2,1(),,(?kzyxM kkkk
的平面方程为说明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的 截距式方程,
1 czbyax
时,
)0,,(?cba
bcax )(? cay )( 0 baz
ab cbzaac ybc x
平面方程为分析,利用三点式按第一行展开得即
0?
ax? y z
a? b 0
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机动 目录 上页 下页 返回 结束二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为 平面的一般
0 DzCyBxA
任取一组满足上述方程的数,,,000 zyx 则
0000 DzCyBxA
显然方程 ②与此点法式方程等价,
)0( 222 CBA ②
),,( CBAn? 的平面,
因此方程 ② 的图形是法向量为方程,
机动 目录 上页 下页 返回 结束特殊情形
当 D = 0 时,A x + B y + C z = 0 表示 通过原点 的平面 ;
当 A = 0 时,B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴 ;
A x+C z+D = 0 表示
A x+B y+D = 0 表示
C z + D = 0 表示
A x + D =0 表示
B y + D =0 表示
0 DCzByAx )0( 222 CBA
平行于 y 轴 的平面 ;
平行于 z 轴 的平面 ;
平行于 xoy 面 的平面 ;
平行于 yoz 面 的平面；
平行于 zox 面 的平面,
,),,0( iCBn
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求通过 x 轴和点 ( 4,– 3,– 1) 的平面方程,
例 3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程,
解,因平面通过 x 轴,0 DA故设所求平面方程为
0 zCyB
代入已知点 )1,3,4(得化简,得所求平面方程
(P327 例 4,自己练习 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、两平面的夹角设平面 ∏1的法向量为平面 ∏2的法向量为则两平面夹角? 的余弦为
c o s即 212121 CCBBAA
222222 CBA 212121 CBA
两平面法向量的夹角 (常为锐角 )称为 两平面的夹角,
1?
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特别有下列结论：
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机动 目录 上页 下页 返回 结束因此有例 4,一平面通过两点垂直于平面 ∏,x + y + z = 0,求其方程,
解,设所求平面的法向量为
,020 CBA 即的法向量,0 CBA
)0(0)1()1()1(2 CzCyCxC
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即 02 zyx
0)1()1()1( zCyBxA
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21 MMn?
且机动 目录 上页 下页 返回 结束外一点,求例 5,设
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解,设平面法向量为
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在平面上取一点是平面到平面的距离 d,0P
,则 P0 到平面的距离为
01P rj PPd n n
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(点到平面的距离公式 )
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x
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例 6.
解,设球心为求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且?
222
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00 331 xx,1000 zyx?
因此所求球面方程为
000 zyx
,),,( 000 zyxM
四面体的球面方程,
从而
)(半径R?
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1.平面 基本方程,
一般式点法式截距式
0 DCzByAx )0( 222 CBA
1 czbyax
三点式
0
131313
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111
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2.平 面 与平面 之间的关系平面平面垂直,
平行,
夹角公式,
21
21c o s
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,0,11111 DzCyBxA
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),,( 111 CBAn?
思考与练习
P330 题 4,5,8
第六节 目录 上页 下页 返回 结束作业
P330 2,6,7,9
)5,15,10(?
0)1(5)1(15)1(10 zyx
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备用题求过点 且垂直于 二 平面 和的平面方程,
)1,1,1(
解,已知二平面的法向量为取所求平面的法向量则所求平面方程为化简得
),1,1,1(1n )12,2,3(2n
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