数量关系 —
第七章第一部分 向量代数第二部分 空间解析几何在三维空间中,
空间形式 — 点,线,面基本方法 — 坐标法 ; 向量法坐标,方程（组）
空间解析几何与向量代数四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影机动 目录 上页 下页 返回 结束向量及其线性运算第 七 章表示法,
向量的模,向量的大小,
一、向量的概念向量,(又称 矢量 ),
1M
2M
既有 大小,又有 方向 的量称为向量向径 (矢径 ):
自由向量,与起点无关的向量,
起点为原点的向量,
单位向量,模为 1 的向量,
零向量,模为 0 的向量,
有向线段 M1 M2,或 a,
机动 目录 上页 下页 返回 结束规定,零向量与任何向量平行 ;
若向量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a 与 b 相等,
记作 a＝ b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行,
a∥ b ;
与 a 的模相同,但方向相反的向量称为 a 的 负向量,
记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量 共线,
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k
个向量 共面,
记作－ a ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、向量的线性运算
1,向量的加法三角形法则,
平行四边形法则,
运算规律,交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
b
b
abba
cba )( )( cba cba
a
b
c
ba?
cb? )( cba cba )(
a
a
ba?
ba?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
s 3
a
4a 5a
2a
1a
54321 aaaaas
2,向量的减法三角不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束
a
aa
3,向量与数的乘法
是一个数,.a
规定,;1 aa
可见;1 aa
与 a 的乘积是一个新向量,记作总之,
运算律,结合律 )( a )( a a
分配律
)( ba ba
a则有单位向量,1 aa 因此 aaa?
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 1,设 a 为非零向量,则
(?为唯一实数 )
证,,,.,取?＝ ±
且再证数? 的唯一性,则
,0故,即
a∥ b
设 a∥ b
取正号,反向时取负号,
,a,b 同向时则 b 与? a 同向,
设又有 b＝? a,0)( a
b?
.ab故机动 目录 上页 下页 返回 结束
,” 则例 1,设 M 为
M BA
CD解,
ABCD 对角线的交点,
b
a
AC MA2
BD MB2
已知 b＝? a,
b＝ 0
a,b 同向
a,b 反向
a∥ b
.,,,MDMCMBMAba 表示与试用
ba
ab
)(21 baMA )(21 abMB
)(21 baMC )(21 abMD
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Ⅶ
ⅡⅢ
Ⅵx
y
z
ⅤⅧ
Ⅳ
三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系,
坐标原点
坐标轴
x轴 (横轴 )
y轴 (纵轴 )
z 轴 (竖轴 )
过空间一定点 o,
o? 坐标面? 卦限 (八个 ) 面xoy
面yoz
1,空间直角坐标系的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束
Ⅰ
x
y
z
o
向径在直角坐标系下
11
坐标轴上的点 P,Q,R ;
坐标面上的点 A,B,C
点 M
特殊点的坐标,
有序数组 ),,( zyx 11
)0,0,( xP
)0,,0( yQ
),0,0( zR
)0,,( yxA
),,0( zyB
),,( zoxC
(称为点 M 的 坐标 )
原点 O(0,0,0) ;
r
r
机动 目录 上页 下页 返回 结束
M
坐标轴,
坐标面,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
z
o
2,向量的坐标表示在空间直角坐标系下,
设点 M
,),,( zyxM 则沿三个坐标轴方向的 分向量,
kzjyixr ),,( zyx?
x
o y
z
M
N
B
C
i? j
k?
A
,,,,,轴上的单位向量分别表示以 zyxkji
的坐标为此式称为向量 r 的 坐标分解式,
r?
任意向量 r 可用向径 OM 表示,
NMONOM OCOBOA
机动 目录 上页 下页 返回 结束四、利用坐标作向量的线性运算设 ),,,( zyx aaaa,),,( zyx bbbb 则
ba ),,( zzyyxx bababa
a ),,( zyx aaa
,0 时当a xx ab
yy ab
zz ab
x
x
a
b?
y
y
a
b
z
z
a
b
平行向量对应坐标成比例,
，为实数?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求解以向量为未知元的线性方程组
ayx 35
byx 23
.211,212 ），，（），，（其中 ba
解,
①
②
2×① － 3×②,得
bax 32 )10,1,7(
代入②得
)3(21 bxy )16,2,11(
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,已知两点在 AB直线上求一点 M,使解,设 M 的坐标为 如图所示 A
B
M
o
11
M
A
B
及实数,1
得
11 ),,( 212121 zzyyxx即
AM MB
AM OAOM?
MB OMOB?
AOOM? )( OMOB
OM?OBOA(
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,由得 定比分点公式,
,1 21 xx,1 21 yy
1
21 zz
,1 时当 点 M 为 AB 的中点,于是得
,2 21 xx?,2 21 yy? 2 21 zz?
A
B
M
o
M
A
B
11 ),,( 212121 zzyyxx
中点公式,
机动 目录 上页 下页 返回 结束五、向量的模、方向角、投影
1,向量的模与两点间的距离公式
222 zyx
),,,( zyxr设 则有
OMr
x
o y
z
M
N
Q
R
P由勾股定理得因得两点间的距离公式,
212212212 )()()( zzyyxx
对两点 与
,rOM作
OMr OROQOP
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求证以证,
1M
2M
3M
21 MM? 2)47(? 2)31( 2)12( 14?
32 MM 2)75(? 2)12( 2)23( 6?
31 MM 2)45(? 2)32( 2)13( 6?
3132 MMM
即 321 MMM? 为等腰三角形,
的三角形是等腰三角形,
为顶点机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,在 z 轴上求与两点 等距解,设该点为,),0,0( zM,BMAM?因为
2)4(? 21? 2)7( z 23 25? 2)2( z
解得 故所求点为及
.),0,0( 914M
思考,
(1) 如何求在 xoy 面上与 A,B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与 A,B 等距离之点的轨迹方程?
离的点,
机动 目录 上页 下页 返回 结束提示,
(1) 设动点为,)0,,( yxM 利用,BMAM?得
(2) 设动点为,),,( zyxM 利用,BMAM?得且例 6,已知两点 和解,
求
14
1? )2,1,3(?
142,141,143
BA BABA
机动 目录 上页 下页 返回 结束
o y
z
x
2,方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O,
称? =∠ AOB (0≤?≤? ) 为向量 ba,的夹角,
类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角,
与三坐标轴的夹角?,?,?
r?
为其 方向角,
cos r
x
222 zyx
x
方向角的余弦称为其 方向余弦,
记作机动 目录 上页 下页 返回 结束
o y
z
x
r?
cos r
x
222 zyx
x
cos r
y
222 zyx
y
cos r
z
222 zyx
z
方向余弦的性质,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,已知两点 和的模,方向余弦和方向角,
解,,21?,23? )20?
计算向量
)2,1,1(
222 )2(1)1( 2?
,21c o s 22c o s
,32?,3? 43?
(21?MM
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 8,设点 A 位于第一卦限,
解,已知作业 P300 3,5,13,14,
15,18,19
角依次为,,43 求点 A 的坐标,
,,43 则
222 c o sc o s1c o s41?
因点 A 在第一卦限,故,c o s 21于是
(6?,21,22 )21 )3,23,3(?
故点 A 的坐标为,)3,23,3(
向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
,6?O且
OA?OAAO?
第二节 目录 上页 下页 返回 结束备用题解,因
1,设,853 kjim,742 kjin
求向量 pnma 34在 x 轴上的投影及在 y
轴上的分向量,
13?xa
在 y 轴上的分向量为 jja y 7?
故在 x 轴上的投影为
jip 5
,4k
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设 求以向量行四边形的对角线的长度,
该平行四边形的对角线的长度各为 11,3
对角线的长为解：
为边的平机动 目录 上页 下页 返回 结束
m
n
nm,
|| nm?
)1,1,1( nm?
)1,3,1( nm
3| nm
11| nm
,2 kjn,jim
第七章第一部分 向量代数第二部分 空间解析几何在三维空间中,
空间形式 — 点,线,面基本方法 — 坐标法 ; 向量法坐标,方程（组）
空间解析几何与向量代数四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影机动 目录 上页 下页 返回 结束向量及其线性运算第 七 章表示法,
向量的模,向量的大小,
一、向量的概念向量,(又称 矢量 ),
1M
2M
既有 大小,又有 方向 的量称为向量向径 (矢径 ):
自由向量,与起点无关的向量,
起点为原点的向量,
单位向量,模为 1 的向量,
零向量,模为 0 的向量,
有向线段 M1 M2,或 a,
机动 目录 上页 下页 返回 结束规定,零向量与任何向量平行 ;
若向量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a 与 b 相等,
记作 a＝ b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行,
a∥ b ;
与 a 的模相同,但方向相反的向量称为 a 的 负向量,
记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量 共线,
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k
个向量 共面,
记作－ a ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、向量的线性运算
1,向量的加法三角形法则,
平行四边形法则,
运算规律,交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
b
b
abba
cba )( )( cba cba
a
b
c
ba?
cb? )( cba cba )(
a
a
ba?
ba?
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s 3
a
4a 5a
2a
1a
54321 aaaaas
2,向量的减法三角不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束
a
aa
3,向量与数的乘法
是一个数,.a
规定,;1 aa
可见;1 aa
与 a 的乘积是一个新向量,记作总之,
运算律,结合律 )( a )( a a
分配律
)( ba ba
a则有单位向量,1 aa 因此 aaa?
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 1,设 a 为非零向量,则
(?为唯一实数 )
证,,,.,取?＝ ±
且再证数? 的唯一性,则
,0故,即
a∥ b
设 a∥ b
取正号,反向时取负号,
,a,b 同向时则 b 与? a 同向,
设又有 b＝? a,0)( a
b?
.ab故机动 目录 上页 下页 返回 结束
,” 则例 1,设 M 为
M BA
CD解,
ABCD 对角线的交点,
b
a
AC MA2
BD MB2
已知 b＝? a,
b＝ 0
a,b 同向
a,b 反向
a∥ b
.,,,MDMCMBMAba 表示与试用
ba
ab
)(21 baMA )(21 abMB
)(21 baMC )(21 abMD
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Ⅶ
ⅡⅢ
Ⅵx
y
z
ⅤⅧ
Ⅳ
三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系,
坐标原点
坐标轴
x轴 (横轴 )
y轴 (纵轴 )
z 轴 (竖轴 )
过空间一定点 o,
o? 坐标面? 卦限 (八个 ) 面xoy
面yoz
1,空间直角坐标系的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束
Ⅰ
x
y
z
o
向径在直角坐标系下
11
坐标轴上的点 P,Q,R ;
坐标面上的点 A,B,C
点 M
特殊点的坐标,
有序数组 ),,( zyx 11
)0,0,( xP
)0,,0( yQ
),0,0( zR
)0,,( yxA
),,0( zyB
),,( zoxC
(称为点 M 的 坐标 )
原点 O(0,0,0) ;
r
r
机动 目录 上页 下页 返回 结束
M
坐标轴,
坐标面,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
z
o
2,向量的坐标表示在空间直角坐标系下,
设点 M
,),,( zyxM 则沿三个坐标轴方向的 分向量,
kzjyixr ),,( zyx?
x
o y
z
M
N
B
C
i? j
k?
A
,,,,,轴上的单位向量分别表示以 zyxkji
的坐标为此式称为向量 r 的 坐标分解式,
r?
任意向量 r 可用向径 OM 表示,
NMONOM OCOBOA
机动 目录 上页 下页 返回 结束四、利用坐标作向量的线性运算设 ),,,( zyx aaaa,),,( zyx bbbb 则
ba ),,( zzyyxx bababa
a ),,( zyx aaa
,0 时当a xx ab
yy ab
zz ab
x
x
a
b?
y
y
a
b
z
z
a
b
平行向量对应坐标成比例,
，为实数?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求解以向量为未知元的线性方程组
ayx 35
byx 23
.211,212 ），，（），，（其中 ba
解,
①
②
2×① － 3×②,得
bax 32 )10,1,7(
代入②得
)3(21 bxy )16,2,11(
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,已知两点在 AB直线上求一点 M,使解,设 M 的坐标为 如图所示 A
B
M
o
11
M
A
B
及实数,1
得
11 ),,( 212121 zzyyxx即
AM MB
AM OAOM?
MB OMOB?
AOOM? )( OMOB
OM?OBOA(
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,由得 定比分点公式,
,1 21 xx,1 21 yy
1
21 zz
,1 时当 点 M 为 AB 的中点,于是得
,2 21 xx?,2 21 yy? 2 21 zz?
A
B
M
o
M
A
B
11 ),,( 212121 zzyyxx
中点公式,
机动 目录 上页 下页 返回 结束五、向量的模、方向角、投影
1,向量的模与两点间的距离公式
222 zyx
),,,( zyxr设 则有
OMr
x
o y
z
M
N
Q
R
P由勾股定理得因得两点间的距离公式,
212212212 )()()( zzyyxx
对两点 与
,rOM作
OMr OROQOP
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求证以证,
1M
2M
3M
21 MM? 2)47(? 2)31( 2)12( 14?
32 MM 2)75(? 2)12( 2)23( 6?
31 MM 2)45(? 2)32( 2)13( 6?
3132 MMM
即 321 MMM? 为等腰三角形,
的三角形是等腰三角形,
为顶点机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,在 z 轴上求与两点 等距解,设该点为,),0,0( zM,BMAM?因为
2)4(? 21? 2)7( z 23 25? 2)2( z
解得 故所求点为及
.),0,0( 914M
思考,
(1) 如何求在 xoy 面上与 A,B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与 A,B 等距离之点的轨迹方程?
离的点,
机动 目录 上页 下页 返回 结束提示,
(1) 设动点为,)0,,( yxM 利用,BMAM?得
(2) 设动点为,),,( zyxM 利用,BMAM?得且例 6,已知两点 和解,
求
14
1? )2,1,3(?
142,141,143
BA BABA
机动 目录 上页 下页 返回 结束
o y
z
x
2,方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O,
称? =∠ AOB (0≤?≤? ) 为向量 ba,的夹角,
类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角,
与三坐标轴的夹角?,?,?
r?
为其 方向角,
cos r
x
222 zyx
x
方向角的余弦称为其 方向余弦,
记作机动 目录 上页 下页 返回 结束
o y
z
x
r?
cos r
x
222 zyx
x
cos r
y
222 zyx
y
cos r
z
222 zyx
z
方向余弦的性质,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,已知两点 和的模,方向余弦和方向角,
解,,21?,23? )20?
计算向量
)2,1,1(
222 )2(1)1( 2?
,21c o s 22c o s
,32?,3? 43?
(21?MM
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 8,设点 A 位于第一卦限,
解,已知作业 P300 3,5,13,14,
15,18,19
角依次为,,43 求点 A 的坐标,
,,43 则
222 c o sc o s1c o s41?
因点 A 在第一卦限,故,c o s 21于是
(6?,21,22 )21 )3,23,3(?
故点 A 的坐标为,)3,23,3(
向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
,6?O且
OA?OAAO?
第二节 目录 上页 下页 返回 结束备用题解,因
1,设,853 kjim,742 kjin
求向量 pnma 34在 x 轴上的投影及在 y
轴上的分向量,
13?xa
在 y 轴上的分向量为 jja y 7?
故在 x 轴上的投影为
jip 5
,4k
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设 求以向量行四边形的对角线的长度,
该平行四边形的对角线的长度各为 11,3
对角线的长为解：
为边的平机动 目录 上页 下页 返回 结束
m
n
nm,
|| nm?
)1,1,1( nm?
)1,3,1( nm
3| nm
11| nm
,2 kjn,jim
