一、连续函数的运算法则第九节二、初等函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束连续函数的运算与初等函数的连续性第一章定理 2,连续单调递增 函数的反函数在其定义域内连续一、连续函数的运算法则定理 1.在某点连续的 有限个 函数经 有限次 和,差,积,
( 利用极限的四则运算法则证明 )
商 (分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数,
例如,
例如,xy sin? 在 上连续单调递增，
其反函数 xy a r c s in?
(递减 ),(证明略 )
在 [－ 1,1] 上也连续单调递增,
递增
(递减 ) 也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 3,连续函数的复合函数是连续的,
在 上连续 单调 递增,
其反函数 在 上也连续单调递增,
证,设函数,)( 00 ux
于是 )(lim
0
ufuu? )]([ 0xf
故复合函数又如,
且即机动 目录 上页 下页 返回 结束例如,是由连续函数链
*R?x
因此 在 *R?x 上连续,复合而成,
x
y
o x
y 1si n?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,设 均在 上连续,证明函数也在 上连续,
证,)()( xgxf?
)()( xgxf
根据连续函数运算法则,可知 也在 上连续,
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在 定义区间内连续例如,
21 xy 的连续区间为 (端点为单侧连续 )
xy s inln? 的连续区间为
1c o s xy 的定义域为因此它无连续点而机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求解,原式例 3,求解,令,1 xat 则,)1(lo g tx a
原式 )1(l o glim 0 t
t
at?
说明,当 时,有
~)1ln ( x? ~1?xex x
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求解,原式 )21l n (si n
3 xx?
x3
说明,若,0)(li m
0
xuxx 则有
)()(1l i m
0
xv
xx xu
,)(lim
0
xvxx
e
e? )()(lim 0 xuxvxx?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x2?



1,4
1,)(
xx
xxx?
例 5,设解,
讨论复合函数 的连续性,
1,2?xx 1,2 xx
故此时连续 ; 而
)]([l i m1 xfx 2
1
lim x
x
1?
)]([l i m1 xfx )2(l i m1 xx 3
故 x = 1为第一类间断点,
1)(),(2?xx
1)(,)(2 xx
,)]([1 为初等函数时 xfx
在点 x = 1 不连续,
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结基本初等函数 在定义区间内 连续连续函数的 四则运算 的结果连续连续函数的 反函数 连续连续函数的 复合函数 连续初等函数在定义区间内连续说明,分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性,
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习续?
反例
x 为有理数
x 为无理数处处间断,处处连续,
反之是否成立?
作业
P68 3 (5),(6),(7) ;
4 (4),(5),(6) ; 5
提示,,反之” 不成立,
第十节 目录 上页 下页 返回 结束