第一章一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式,
二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容,
机动 目录 上页 下页 返回 结束函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限
1,时函数极限的定义引例,测量正方形面积,面积为 A )边长为(真值,
边长面积直接观测值间接观测值 任给精度?,要求 Ax 2
确定直接观测值精度?,
0xx
0xA
机动 目录 上页 下页 返回 结束定义 1,设函数 在点 的某去心邻域内有定义,
,0,0 当 00 xx时,有 Axf )(
则称常数 A 为函数 当 时的极限,
Axfxx )(li m
0
或即 当时,有若记作几何解释,
0x
A
A
A
x0x
y )(xfy?
极限存在函数局部有界
(P36定理 2)
这表明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,证明证,Axf?)(
故,0 对任意的,0 当 时,
因此总有机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,证明证,12 x
欲使,0
取,2 则当 10 x时,必有因此只要机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,证明证,Axf?)(
故,0 取, 当 时,必有

2
1
12
x
x
因此 21
1l i m 2
1

x
x
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,证明,当证,
0
0
1 xx
x
欲使,0 且而 可用因此只要
00l i m xxxx
时故取
,,m in 00 xx 则当0 xx时,
保证,
必有
o x0xx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,保号性定理定理 1,若 且 A > 0,
.0)(?xf )0)((?xf
证,已知 即,0 当时,有当 A > 0 时,取正数则在对应的邻域 上
(< 0) )( A
则存在
( A < 0 )
(P37定理 3)
)0(?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
:0?A
:0?A
若取,2
A
则在对应的邻域 上若 则存在 使当时,有推论,
2
3)(
2
AxfA
2)(2
3 AxfA
(P37 推论 )
分析,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2,若在 的某去心邻域内 0)(?xf
)0)((?xf
,且则,0?A
)0(?A
证,用反证法,则由定理 1,
的某去心邻域,使在该邻域内 与已知所以假设不真,.0?A
(同样可证 0)(?xf 的情形 )
思考,若定理 2 中的条件改为,0)(?xf 是否必有?0?A
不能 !
存在如假设 A < 0,
条件矛盾,故机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,左极限与右极限左极限, )( 0xf Axf
xx

)(lim
0
,0,0 当 ),( 00 xxx
时,有右极限, )( 0xf Axf
xx

)(lim
0
,0,0 当 ),( 00 xxx
时,有定理 3,
Axf
xx
)(lim
0
Axfxf
xxxx


)(lim)(lim
00 ( P38 题 8 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,设函数



0,1
0,0
0,1
)(
xx
x
xx
xf
讨论 0?x 时 )(xf 的极限是否存在,
x
y
o 1?
1 xy
1
1 xy
解,利用定理 3,因为
)(lim
0
xf
x
)1(lim0 xx 1
)(lim
0
xf
x
)1(lim
0

x
x
1?
显然,)0()0( ff 所以 )(lim
0
xf
x?
不存在,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
XX?
A
A o x
y )( xfy?
A
二、自变量趋于无穷大时函数的极限定义 2,设函数 大于某一正数时有定义,若
,0 X 则称常数时的极限,Axf
x )(l i m
几何解释,
AxfA )(XxXx 或记作直线 y = A 为曲线 的水平渐近线
,0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
A 为函数例 6,证明,0
1lim?
xx
证,0
1?
x x
1?
取,
1
X
因此注,
就有故,0 欲使 即
o x
y
xy
1?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
1
x?1
1
直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线,
两种特殊情况,
Axfx )(lim,0,0 X 当 时,有
Axf )(
,0,0 X 当 Xx 时,有
Axf )(
几何意义,
例如,
都有水平渐近线 ;0?y
都有水平渐近线,1?y
又如,
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,函数极限的 "" 或 "X 定义及应用
2,函数极限的性质,保号性定理与左右极限等价定理思考与练习
1,若极限 )(lim
0
xfxx? 存在,)()(li m 0
0
xfxfxx
2,设函数?)(xf 且 )(lim1 xfx? 存在,则
,?a 3
例 3
作业
P37 1(4) ; 2(2) ; 5 ; 6 ; 7 ; 9
Th1
Th3
Th2
是否一定有第四节 目录 上页 下页 返回 结束
1,12
1,2

xx
xxa?