第一章二,收敛数列的性质三,极限存在准则一、数列极限的定义第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束数列的极限数学语言描述,
r
一,数列极限的定义引例,设有半径为 r 的圆,
逼近圆面积 S,
n如图所示,可知当 n 无限增大时,无限逼近 S (刘徽割圆术 ),
,0,N正整数? 当 n > N 时,
SA n
用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 目录 上页 下页 返回 结束定义,自变量取正整数的函数称为 数列,记作或 称为 通项 (一般项 ),
若数列 及常数 a 有下列关系,
当 n > N 时,总有记作此时也称数列 收敛,否则称数列 发散,
几何解释,
aa
)(
axa n)( Nn?
即 ),(?ax n )( Nn?
ax nnli m 或 )( nax n
1?Nx 2?Nx
则称该数列 的极限为 a,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例如,,1,,4
3,
3
2,
2
1
n
n
1 n
nx
n )(1 n
n
nx n
n
1)1(
)(1 n
,2,,8,4,2 nn
nx 2? )( n
1)1( nnx 趋势不定收敛发散机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,已知 证明数列 的极限为 1.
证, 1nx
1)1(
n
n n
,0 欲使 即 只要?1?n
因此,取,]
1[
N 则当 Nn? 时,就有 1)1(
n
n n
故 1
)1(limlim
n
nx n
nnn
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,已知 证明证, 0nx 2)1(
1
n 1
1
n
,)1,0( 欲使 只要,11n 即?n
取,]1
1[
N 则当 Nn? 时,就有,0nx
故
0
)1(
)1(limlim
2
n
x
n
nnn
故也可取 ][ 1N
也可由 2)1( 10 nnx
.11
N 与? 有关,但不唯一,
不一定取最小的 N,
说明,取11N
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,设,1?q 证明等比数列证,0?nx
欲使 只要 即亦即因此,取
qN ln
ln1?
,则当 n > N 时,就有
01nq
故 0l i m 1 nn q
.lnln1 qn
的极限为 0,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
23 ba 22 abnab ax
二、收敛数列的性质证,用反证法,及 且,ba?
取 因,lim ax nn 故存在 N1,
从而 2 banx
同理,因,l i m bx nn 故存在 N2,使当 n > N2 时,有
2 ban
1,收敛数列的极限唯一,
使当 n > N1 时,
假设
2 abn bna x? 23 ab
从而 2 banx
矛盾,因此收敛数列的极限必唯一,
则当 n > N 时,,,m a x 21 NNN?取故假设不真 !
nx
满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,证明数列 是发散的,
证,用反证法,
假设数列
nx
收敛,则有唯一极限 a 存在,
取,
2
1 则存在 N,
2
1
2
1 axa n
但因
nx
交替取值 1 与－ 1,
),( 2121 aa 内,
而此二数不可能同时落在长度为 1 的开区间使当 n > N 时,有因此该数列发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,收敛数列一定有界,
证,设 取,1,N?则 当 Nn? 时,
从而有
aax n 1
取,,,,m a x
21 NxxxM a?1
则有,),2,1( nMx
n
由此证明收敛数列必有界,
说明,此性质反过来不一定成立,例如,
1)1( n 虽有界但不收敛,
,1 ax n
有数列机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,收敛数列的保号性,
若 且时,有
,)0(?
.)0(?
证,对 a > 0,取推论,若数列从某项起 )0(?
.)0(? (用反证法证明 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
*********************
, ax kn
4,收敛数列的任一子数列收敛于同一极限,
证,设数列 是数列 的任一子数列,
若 则,0
,N? 当 时,有现取正整数 K,使 于是当 Kk? 时,有
kn N?
从而有 由此证明
.lim ax knk
********************
N
Nx
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,
例如，
1l i m 2 kk x
发散 !
夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西审敛准则,
则原数列一定发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
azy nnnn limlim)2(
1,夹逼准则 (准则 1) (P49)
),2,1()1( nzxy nnn ax
nnlim
证,由条件 (2),,0,1N?
当 时,
当 时,
令,,m a x 21 NNN? 则当 Nn? 时,有由条件 (1) nnn zxya a
即, ax n 故,l i m ax nn
,2N
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,证明证,利用夹逼准则,
nnnnn 222 1211 2
2
n
n
且
2
2
l i m n n
n 21
1lim
n
n
1?
nn lim nnnn 222
1
2
11?
1?
由机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,单调有界数列必有极限 ( 准则 2 ) ( P52 )
)(l i m Max nn
)(l i m mbx nn
( 证明略 )
a
b
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,设 证明数列极限存在,(P52～ P54)
证,利用二项式公式,有
nnnx )1( 1
1 n
n1!1
2
1!2 )1(
n
nn
3
1!3 )2)(1(
n
nnn
nnn
nnnn 1
!
)1()1(
11
) 1( 1!1 nn ) ( 2n? ) 1( 1nn
)1( 1!21 n )1( 1!31 n )1( 2n?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
11nx
) 1( 1!1 nn ) ( 2n? ) 1( 1nn
)1( 1!21 n )1( 1!31 n )1( 2n?
111nx )1( 11!21 n )1)(1( 1211!31 nn
)1()1)(1( 11211!)1( 1 n nnnn?
大 大正
),2,1(1 nxx nn
11)1( 1 nnnx又比较可知机动 目录 上页 下页 返回 结束根据准则 2 可知数列nx
记此极限为 e,
ennn )1(l i m 1
e 为无理数,其值为
5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 4.2?e
即有极限,
原题 目录 上页 下页 返回 结束
11)1( 1 nnnx
11
又
3? 12 13 n
*3,柯西极限存在准则 (柯西审敛原理 ) (P55)
数列 极限存在的充要条件是,
,0 存在正整数 N,使当 NnNm,时,
mn xx
证,,必要性”,设,lim ax nn 则时,有使当
,2 ax n 2 ax m
因此 mn xx
ax n axm
“充分性” 证明从略,
有柯西 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,数列极限的,? – N,定义及应用
2,收敛数列的性质,
唯一性 ; 有界性 ; 保号性 ;
任一子数列收敛于同一极限
3,极限存在准则,
夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,如何判断极限不存在?
方法 1,找一个趋于 ∞的子数列 ;
方法 2,找两个收敛于不同极限的子数列,
2,已知 ),2,1(21,1 11 nxxx nn,求
nn xlim
时,下述作法是否正确? 说明理由,
设,lim ax
nn
由递推式两边取极限得
aa 21 1a
不对 ! 此处
nn xlim
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P30 3 (2),(3),4,6
P56 4 (1),(3)
4 (3) 提示,
可用数学归纳法证第三节 目录 上页 下页 返回 结束故极限存在，
备用题
1.设 )(2
1
1
n
nn x
axx
),2,1(n
,0?a
,01?x,且求,lim nn x
解：
设 Ax nnlim
则由递推公式有 )(2
1
A
aAA aA
)(211
n
nn x
axx
nx
nx
a?
a?
n
n
x
x 1? )1(
2
1
2
nx
a )1(
2
1
a
a 1?
∴ 数列单调递减有下界，
,01?x? 故 ax nnlim
利用极限存在准则
,0 nx
机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设证,显然,1 nn xx
证明下述数列有极限,
即 单调增,又
1( 1)?
)1()1(
1
1 kaa?
存在
“拆项相消” 法
r
一,数列极限的定义引例,设有半径为 r 的圆,
逼近圆面积 S,
n如图所示,可知当 n 无限增大时,无限逼近 S (刘徽割圆术 ),
,0,N正整数? 当 n > N 时,
SA n
用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 目录 上页 下页 返回 结束定义,自变量取正整数的函数称为 数列,记作或 称为 通项 (一般项 ),
若数列 及常数 a 有下列关系,
当 n > N 时,总有记作此时也称数列 收敛,否则称数列 发散,
几何解释,
aa
)(
axa n)( Nn?
即 ),(?ax n )( Nn?
ax nnli m 或 )( nax n
1?Nx 2?Nx
则称该数列 的极限为 a,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例如,,1,,4
3,
3
2,
2
1
n
n
1 n
nx
n )(1 n
n
nx n
n
1)1(
)(1 n
,2,,8,4,2 nn
nx 2? )( n
1)1( nnx 趋势不定收敛发散机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,已知 证明数列 的极限为 1.
证, 1nx
1)1(
n
n n
,0 欲使 即 只要?1?n
因此,取,]
1[
N 则当 Nn? 时,就有 1)1(
n
n n
故 1
)1(limlim
n
nx n
nnn
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,已知 证明证, 0nx 2)1(
1
n 1
1
n
,)1,0( 欲使 只要,11n 即?n
取,]1
1[
N 则当 Nn? 时,就有,0nx
故
0
)1(
)1(limlim
2
n
x
n
nnn
故也可取 ][ 1N
也可由 2)1( 10 nnx
.11
N 与? 有关,但不唯一,
不一定取最小的 N,
说明,取11N
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,设,1?q 证明等比数列证,0?nx
欲使 只要 即亦即因此,取
qN ln
ln1?
,则当 n > N 时,就有
01nq
故 0l i m 1 nn q
.lnln1 qn
的极限为 0,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
23 ba 22 abnab ax
二、收敛数列的性质证,用反证法,及 且,ba?
取 因,lim ax nn 故存在 N1,
从而 2 banx
同理,因,l i m bx nn 故存在 N2,使当 n > N2 时,有
2 ban
1,收敛数列的极限唯一,
使当 n > N1 时,
假设
2 abn bna x? 23 ab
从而 2 banx
矛盾,因此收敛数列的极限必唯一,
则当 n > N 时,,,m a x 21 NNN?取故假设不真 !
nx
满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,证明数列 是发散的,
证,用反证法,
假设数列
nx
收敛,则有唯一极限 a 存在,
取,
2
1 则存在 N,
2
1
2
1 axa n
但因
nx
交替取值 1 与－ 1,
),( 2121 aa 内,
而此二数不可能同时落在长度为 1 的开区间使当 n > N 时,有因此该数列发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,收敛数列一定有界,
证,设 取,1,N?则 当 Nn? 时,
从而有
aax n 1
取,,,,m a x
21 NxxxM a?1
则有,),2,1( nMx
n
由此证明收敛数列必有界,
说明,此性质反过来不一定成立,例如,
1)1( n 虽有界但不收敛,
,1 ax n
有数列机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,收敛数列的保号性,
若 且时,有
,)0(?
.)0(?
证,对 a > 0,取推论,若数列从某项起 )0(?
.)0(? (用反证法证明 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
*********************
, ax kn
4,收敛数列的任一子数列收敛于同一极限,
证,设数列 是数列 的任一子数列,
若 则,0
,N? 当 时,有现取正整数 K,使 于是当 Kk? 时,有
kn N?
从而有 由此证明
.lim ax knk
********************
N
Nx
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,
例如，
1l i m 2 kk x
发散 !
夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西审敛准则,
则原数列一定发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
azy nnnn limlim)2(
1,夹逼准则 (准则 1) (P49)
),2,1()1( nzxy nnn ax
nnlim
证,由条件 (2),,0,1N?
当 时,
当 时,
令,,m a x 21 NNN? 则当 Nn? 时,有由条件 (1) nnn zxya a
即, ax n 故,l i m ax nn
,2N
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,证明证,利用夹逼准则,
nnnnn 222 1211 2
2
n
n
且
2
2
l i m n n
n 21
1lim
n
n
1?
nn lim nnnn 222
1
2
11?
1?
由机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,单调有界数列必有极限 ( 准则 2 ) ( P52 )
)(l i m Max nn
)(l i m mbx nn
( 证明略 )
a
b
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,设 证明数列极限存在,(P52～ P54)
证,利用二项式公式,有
nnnx )1( 1
1 n
n1!1
2
1!2 )1(
n
nn
3
1!3 )2)(1(
n
nnn
nnn
nnnn 1
!
)1()1(
11
) 1( 1!1 nn ) ( 2n? ) 1( 1nn
)1( 1!21 n )1( 1!31 n )1( 2n?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
11nx
) 1( 1!1 nn ) ( 2n? ) 1( 1nn
)1( 1!21 n )1( 1!31 n )1( 2n?
111nx )1( 11!21 n )1)(1( 1211!31 nn
)1()1)(1( 11211!)1( 1 n nnnn?
大 大正
),2,1(1 nxx nn
11)1( 1 nnnx又比较可知机动 目录 上页 下页 返回 结束根据准则 2 可知数列nx
记此极限为 e,
ennn )1(l i m 1
e 为无理数,其值为
5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 4.2?e
即有极限,
原题 目录 上页 下页 返回 结束
11)1( 1 nnnx
11
又
3? 12 13 n
*3,柯西极限存在准则 (柯西审敛原理 ) (P55)
数列 极限存在的充要条件是,
,0 存在正整数 N,使当 NnNm,时,
mn xx
证,,必要性”,设,lim ax nn 则时,有使当
,2 ax n 2 ax m
因此 mn xx
ax n axm
“充分性” 证明从略,
有柯西 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,数列极限的,? – N,定义及应用
2,收敛数列的性质,
唯一性 ; 有界性 ; 保号性 ;
任一子数列收敛于同一极限
3,极限存在准则,
夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,如何判断极限不存在?
方法 1,找一个趋于 ∞的子数列 ;
方法 2,找两个收敛于不同极限的子数列,
2,已知 ),2,1(21,1 11 nxxx nn,求
nn xlim
时,下述作法是否正确? 说明理由,
设,lim ax
nn
由递推式两边取极限得
aa 21 1a
不对 ! 此处
nn xlim
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P30 3 (2),(3),4,6
P56 4 (1),(3)
4 (3) 提示,
可用数学归纳法证第三节 目录 上页 下页 返回 结束故极限存在，
备用题
1.设 )(2
1
1
n
nn x
axx
),2,1(n
,0?a
,01?x,且求,lim nn x
解：
设 Ax nnlim
则由递推公式有 )(2
1
A
aAA aA
)(211
n
nn x
axx
nx
nx
a?
a?
n
n
x
x 1? )1(
2
1
2
nx
a )1(
2
1
a
a 1?
∴ 数列单调递减有下界，
,01?x? 故 ax nnlim
利用极限存在准则
,0 nx
机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设证,显然,1 nn xx
证明下述数列有极限,
即 单调增,又
1( 1)?
)1()1(
1
1 kaa?
存在
“拆项相消” 法
