第一章二,无穷大三,无穷小与无穷大的关系一,无穷小第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束无穷小与无穷大当一,无穷小定义 1,若 时,函数 则称函数例如,
函数 当 时为无穷小 ;
函数 时为无穷小 ;
函数 当
)x(或为 时的 无穷小,
时为无穷小,
)x(或机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,除 0 以外任何 很小的常数 都 不是无穷小 !
因为当 时,
显然 C 只能是 0 !
C
C
时,函数(或 )x
则称函数 为定义 1,若
(或 )x
则时的 无穷小,
机动 目录 上页 下页 返回 结束其中?为
0xx?
时的无穷小量,
定理 1,( 无穷小与函数极限的关系 )
Axf
xx
)(lim
0
Axf )(,?
证,Axf
xx
)(lim
0
,0,0 当 00 xx 时,有
Axf )(
Axf )(?
0lim
0
xx
对自变量的其它变化过程类似可证,
机动 目录 上页 下页 返回 结束二,无穷大定义 2,若 任给 M > 0,
一切满足不等式 的 x,总有则称函数 当 时为无穷大,
使对若在定义中将 ① 式改为
①
则记作
))(l i m(
)( 0


xf
x
xx
)( Xx?
)(x
))(li m( xfx
(正数 X ),
记作
,))(( Mxf
总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束注意,
1,无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态,
2,函数为无穷大,必定无界,但反之不真 !
例如,函数当但所以 时,不是无穷大 !
机动 目录 上页 下页 返回 结束例,证明证,任给正数 M,要使 即只要取,
1
M 则对满足 的一切 x,有所以若 则直线 0xx?
为曲线 的铅直渐近线,渐近线说明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、无穷小与无穷大的关系若 为无穷大,)(
1
xf 为无穷小 ;
若 为无穷小,且,0)(?xf 则 )(
1
xf 为无穷大,
则
(自证 )
据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论,
定理 2.在自变量的同一变化过程中,
说明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,无穷小与无穷大的定义
2,无穷小与函数极限的关系 Th1
3,无穷小与无穷大的关系 Th2
思考与练习 P41 题 1,3
P41 题 3 提示,
作业
P41 2 (1),(2) ; 7
第五节 目录 上页 下页 返回 结束