二,两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则第六节机动 目录 上页 下页 返回 结束极限存在准则及两个重要极限第一章一,函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
1,函数极限与数列极限的关系定理 1,
Axf
xx
)(lim
0
:nx?,0xxn? 有定义,
),(0 nxx n Axf n
n )(lim
为确定起见,仅讨论 的情形,0xx?
有
)( nxf
x
nx
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 1,Axfxx )(li m
0 )(,0 nn xfxx?
有定义,且设,)(li m
0
Axfxx 即,0,0 当有,)( Axf
:nx? )(,0 nn xfxx? 有定义,且对上述?,时,有于是当 Nn? 时,)( Axf n
故 Axf nn )(l im
可用反证法证明,(略 )
.)(li m Axf nn有证：
当
x
y
A
,N?
,”
,” 0x
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 1,Axfxx )(lim
0
)(,0 nn xfxx? 有定义且,)(li m Axf nn有说明,此定理常用于判断函数极限不存在,
法 1 找一个数列,0xxn?
不存在,)(l i m nn xf使法 2 找两个趋于 的不同数列nx 及,nx? 使
)(lim nn xf )(l i m nn xf
)(x
)(nx
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,证明 不存在,
证,取两个趋于 0 的数列
nxn 2
1?
及
22
1
nx n
有 nn x
1s inlim
nn x
1s inlim
由定理 1 知 不存在,
),2,1(n
02s inl imnn
1)2s i n (li m 2nn
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,函数极限存在的夹逼准则定理 2.,),( 0 时当?xx
Axhxg xxxx )(lim)(lim
00
,)()( xhxg)(xf
Axfxx )(lim
0
)0( Xx
)(x )(x
)(x
且
( 利用定理 1及数列的夹逼准则可证 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1si nc o s x xx
圆扇形 AOB的面积二,两个重要极限证,当即?xsin21 xtan21?
亦即 )0(ta ns in 2 xxxx
),0( 2x 时，
)0( 2 x显然有
△ AOB 的面积 ＜ ＜△ AOD的面积
D
C
B
Ax
1
o
故有注注 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求解,x
x
x
ta nlim
0
xx
x
x c o s
1s i nl i m
0
x
x
x
si nlim
0?
x
x c o s
1lim
0?
1?
例 3,求解,令,a r c s in xt? 则,sin tx? 因此原式 t
t
t si n
lim
0?
t
tsin 1?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n
n
n
R?
c o ssinl i m 2
R
n
例 4,求解,原式 = 2
2
2
0
s i n2l i m
x
x
x?
21
2
1
例 5,已知圆内接正 n 边形面积为证明,
证,nn Alim
n
nnn RnA c o ss in2?
说明,计算中注意利用
2
0
s i nl i m
x2
x
2x2
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.
证,当 0?x 时,设,1 nxn 则
xx)1( 1? 11 )1( nn nn )1( 11
n
nn )1(l i m 11
lim
n
111 )1( nn
111 n
e?
11 )1(l i m?
n
nn ]1)1[(lim 11 ）（ n
n
nn e?
exxx )1(l i m 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束当,)1( tx 则 从而有
)1(
11 )1(li m
t
tt
)1(
1 )(lim
t
t tt 11 )1(l i m ttt
)]1()1[(l im 11 tttt e?
故 e
x
xx )1(lim 1
说明,此极限也可写为 ez zz
1)1(l i m
0
时,令机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,求解,令,xt 则
t
tt
)1(l i m
1
1l i m
t
说明,若利用,)1(lim )()(1)( exxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束则原式 111 )1(lim exxx
例 7,求解,原式 = 2])c o s[( sinlim
211 x
xxx
2)si n1(l i m 2
x
xx
)s in1( 2x?
e?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x2sin
1
的不同数列内容小结
1,函数极限与数列极限关系的应用
(1) 利用数列极限判别函数极限不存在
(2) 数列极限存在的夹逼准则法 1 找一个数列:nx,0xxn? )(0 nxx n且使 )(lim nn xf
法 2 找两个趋于 0xnx 及,nx? 使
)(lim nn xf )(l i m nn xf
不存在,
函数极限存在的夹逼准则机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,两个重要极限或注,代表相同的表达式机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习填空题 ( 1～ 4 );_____sinlim.1?
x
x
x;____1sinlim.2?
x
x
x;_ _ _ _1s i nlim.3
0
x
x
x;_ _ _ _)11(lim.4
n
n n
0 1
0 1?e
作业
P55 1 (4),(5),(6) ;
2 (2),(3),(4) ;
4 (4),(5)
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
1,函数极限与数列极限的关系定理 1,
Axf
xx
)(lim
0
:nx?,0xxn? 有定义,
),(0 nxx n Axf n
n )(lim
为确定起见,仅讨论 的情形,0xx?
有
)( nxf
x
nx
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 1,Axfxx )(li m
0 )(,0 nn xfxx?
有定义,且设,)(li m
0
Axfxx 即,0,0 当有,)( Axf
:nx? )(,0 nn xfxx? 有定义,且对上述?,时,有于是当 Nn? 时,)( Axf n
故 Axf nn )(l im
可用反证法证明,(略 )
.)(li m Axf nn有证：
当
x
y
A
,N?
,”
,” 0x
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 1,Axfxx )(lim
0
)(,0 nn xfxx? 有定义且,)(li m Axf nn有说明,此定理常用于判断函数极限不存在,
法 1 找一个数列,0xxn?
不存在,)(l i m nn xf使法 2 找两个趋于 的不同数列nx 及,nx? 使
)(lim nn xf )(l i m nn xf
)(x
)(nx
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,证明 不存在,
证,取两个趋于 0 的数列
nxn 2
1?
及
22
1
nx n
有 nn x
1s inlim
nn x
1s inlim
由定理 1 知 不存在,
),2,1(n
02s inl imnn
1)2s i n (li m 2nn
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,函数极限存在的夹逼准则定理 2.,),( 0 时当?xx
Axhxg xxxx )(lim)(lim
00
,)()( xhxg)(xf
Axfxx )(lim
0
)0( Xx
)(x )(x
)(x
且
( 利用定理 1及数列的夹逼准则可证 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1si nc o s x xx
圆扇形 AOB的面积二,两个重要极限证,当即?xsin21 xtan21?
亦即 )0(ta ns in 2 xxxx
),0( 2x 时，
)0( 2 x显然有
△ AOB 的面积 ＜ ＜△ AOD的面积
D
C
B
Ax
1
o
故有注注 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求解,x
x
x
ta nlim
0
xx
x
x c o s
1s i nl i m
0
x
x
x
si nlim
0?
x
x c o s
1lim
0?
1?
例 3,求解,令,a r c s in xt? 则,sin tx? 因此原式 t
t
t si n
lim
0?
t
tsin 1?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n
n
n
R?
c o ssinl i m 2
R
n
例 4,求解,原式 = 2
2
2
0
s i n2l i m
x
x
x?
21
2
1
例 5,已知圆内接正 n 边形面积为证明,
证,nn Alim
n
nnn RnA c o ss in2?
说明,计算中注意利用
2
0
s i nl i m
x2
x
2x2
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.
证,当 0?x 时,设,1 nxn 则
xx)1( 1? 11 )1( nn nn )1( 11
n
nn )1(l i m 11
lim
n
111 )1( nn
111 n
e?
11 )1(l i m?
n
nn ]1)1[(lim 11 ）（ n
n
nn e?
exxx )1(l i m 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束当,)1( tx 则 从而有
)1(
11 )1(li m
t
tt
)1(
1 )(lim
t
t tt 11 )1(l i m ttt
)]1()1[(l im 11 tttt e?
故 e
x
xx )1(lim 1
说明,此极限也可写为 ez zz
1)1(l i m
0
时,令机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,求解,令,xt 则
t
tt
)1(l i m
1
1l i m
t
说明,若利用,)1(lim )()(1)( exxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束则原式 111 )1(lim exxx
例 7,求解,原式 = 2])c o s[( sinlim
211 x
xxx
2)si n1(l i m 2
x
xx
)s in1( 2x?
e?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x2sin
1
的不同数列内容小结
1,函数极限与数列极限关系的应用
(1) 利用数列极限判别函数极限不存在
(2) 数列极限存在的夹逼准则法 1 找一个数列:nx,0xxn? )(0 nxx n且使 )(lim nn xf
法 2 找两个趋于 0xnx 及,nx? 使
)(lim nn xf )(l i m nn xf
不存在,
函数极限存在的夹逼准则机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,两个重要极限或注,代表相同的表达式机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习填空题 ( 1～ 4 );_____sinlim.1?
x
x
x;____1sinlim.2?
x
x
x;_ _ _ _1s i nlim.3
0
x
x
x;_ _ _ _)11(lim.4
n
n n
0 1
0 1?e
作业
P55 1 (4),(5),(6) ;
2 (2),(3),(4) ;
4 (4),(5)
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
