*三、向量的混合积第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积机动 目录 上页 下页 返回 结束数量积 向量积 *混合积第 七 章
1M
一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,
W
1,定义设向量 的夹角为?,称记作数量积 (点积 ),
引例,设一物体在常力 F 作用下,
位移为 s,则力 F 所做的功为
c o ssF?
sFW
2M
ba?
的与为 ba
ba,s
机动 目录 上页 下页 返回 结束
上的投影为在 ab
记作故
,0,时当同理b
2,性质为两个非零向量,则有
ba?jrPb
ba ba a?jrP
aa)1(
ba,)2(
0ba?
0 ba则
0,0 ba
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,运算律
(1) 交换律
(2) 结合律
)( ba
)()( ba)( ba
)( ba
(3) 分配律事实上,当 0?c 时,显然成立 ; 时当 0?c
c)( ba?
ba
bc?jrPac?jrP
cbabac jrPc? cba cc jrPjrP?
ac?jrP?c bc?jrP?c c cb
)(jrP bac
机动 目录 上页 下页 返回 结束
A
B
C?a
bc
例 1,证明三角形余弦定理
c o s2222 abbac
证,
则
c o s2222 abbac
如图,设
,aBC?,bAC? cBA?
2c )()( baba aa bb ba 2
2a? 2bc o s2 ba?
ccbbaa,,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4,数量积的坐标表示设 则
0?
zzyyxx bababa
当 为非零向量时,
c o s? zzyyxx bababa
222 zyx aaa 222 zyx bbb
由于?c o sba
,kajaiaa zyx,kbjbibb zyx
)( kajaia zyx )( kbjbib zyx
ji? kj ik
ba?
ba
两向量的夹角公式
,得机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(?MB,)(?MA
BM
例 2,已知三点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1( BAM
AMB,A
解,,1,1 0,1,0 1
则 A M Bc o s
1?0 02 2
A M B
求
MBMA?MAMB
故机动 目录 上页 下页 返回 结束为? ),
求单位时间内流过该平面域的流体的质量 P (流体密度例 3,设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平面域,与该平面域的单位垂直向量
A
解,
单位时间内流过的体积
P
A
的夹角为且
v
v
nv?
为单位向量机动 目录 上页 下页 返回 结束二、两向量的向量积引例,设 O 为杠杆 L 的支点,有一个与杠杆夹角为
OQ
O
LP
Q
符合右手规则
OQ? F? F?sinOP
sinOP
MFOP
OPM?
M
矩是一个向量 M,
的力 F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠杆上的力
F
o PF
M
FM?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,定义定义向量方向,
(叉积 )
记作且符合右手规则模,
向量积,
，的夹角为设?ba,
c,ac? bcc?s i na b
b
a
c
称 c 的与为向量 ba
bac
ba引例中的力矩思考,右图三角形面积
a
bS＝
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,性质为非零向量,则
，0sin 或即 0?
aa?)1( 0?
ba,)2( 0 ba ba∥
,0,0 时当 ba
ba∥
0 ba?s i na b 0?
3,运算律
(2) 分配律
(3) 结合律
(证明略 )
ab
cba )( cbca
ba?)(? )( ba )( ba
ba?)1(
证明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)( kajaia zyx )( kbjbib zyx
4,向量积的坐标表示式设 则,kajaiaa zyx,kbjbibb zyx
)( iiba xx
ibaba yzzy )( jbaba zxxz )(
kbaba xyyx )(
)( jjba yy
)( kkba zz
i j
k
机动 目录 上页 下页 返回 结束向量积的行列式计算法 kji
xa ya za
xb yb zb
,
zx
zx
bb
aa?
ibaba yzzy )(? jbaa zxxz )(
kbaba xyyx )(
kajaiaa zyx
kbjbibb zyx
( 行列式计算见 P339～ P342 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,已知三点,)7,4,2(),5,4,3(,)3,2,1( CBA
角形 ABC 的面积解,如图所示,
CBAS
A
B
C
2
1?
kji
2 2 21 2 4 )(21?,4,6? 2
222 2)6(4
2
1 14?
si n21ABAC
2
1? ACAB?
求三机动 目录 上页 下页 返回 结束一点 M 的线速度例 5,设刚体以等角速度? 绕 l 轴旋转,导出刚体上的表示式,
M
l
解,在轴 l 上引进一个角速度向量 使
a
其在 l 上任取一点 O,
O
作
它与 则点 M离开转轴的距离
a?
且 符合右手法则的夹角为?,
s i n r
,,?
rv
方向与旋转方向符合右手法则,
向径机动 目录 上页 下页 返回 结束
*三,向量的混合积
1,定义 已知三向量 称数量混合积,
记作几何意义为棱作平行六面体,
底面积 高
h
故平行六面体体积为
hAV
cba )(cba
,,,cba
的为 cba,,
,?A ba? c
cba,,以 则其
cba )(
cba
ba?
c b
a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
zyx
zyx
bbb
aaa
xc y
c zc
kji
2,混合积的坐标表示设
xa ya za
xb yb zb
zx
zx
bb
aa?
yx
yx
bb
aa?
cba )(
ba
,),,( zyx aaaa?
cba zy
zy
b
aa?
,),,( zyx bbbb? ),,( zyx cccc?
,
zy
zy
bb
aa
,
zx
zx
bb
aa?
yx
yx
bb
aa
xc yc zc
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,性质
(1) 三个非零向量 共面的充要条件是
0?
(2) 轮换对称性,
][
(可用三阶行列式推出 )
cba cba,,
a b c ][? ab c ][? a bc
a
b c
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,已知一四面体的顶点
4 ),求该四面体体积,
1A
2A
3A
4A
解,已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的 故
6
1
12 xx? 12 yy? 12 zz?
13 xx? 13 yy? 13 zz?
14 xx? 14 yy? 14 zz?
,21AA,31AA 41AA
][ 413121 AAAAAA
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例 7,证明四点,)3,3,2(),6,5,4(,)1,1,1( CBA
共面,
解,因
0?
)17,15,10(D
A
B
C
D3 4 5
1 2 2
9 14 16
故 A,B,C,D 四点共面,
][ ADACAB
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结设
1,向量运算加减,
数乘,
点积,
),,( zzyyxx babababa
),,( zyx aaaa
zzyyxx babababa
),,(,),,(,),,( zyxzyxzyx ccccbbbbaaaa
叉积,
kji
xa ya za
xb yb zb
ba
机动 目录 上页 下页 返回 结束混合积,
2,向量关系,?
x
x
a
b?
y
y
a
b
z
z
a
b
0 zzyyxx bababa
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
cba )(cba
共面cba,,0?
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
0)( cba
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0 ba
思考与练习
1,设 计算 并求夹角?的正弦与余弦,
)3,1,1(?
,32 1c o s 1211s i n
答案,
2,用向量方法证明正弦定理,
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
ba,
,1ba ba?
,,2 jibkjia,baba 及
B
a
b
c
A C
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,由三角形面积公式
Acb s in
Bac s in
B
b
A
a
si nsi n?所以 C
c
sin?
Cba s in
因 B
a
b
c
A C
ABACS A B C 21
BCBA 21 CACB 21
ABAC?
CACB?
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P310 3,4,6,7,
9(1) ; (2),10,12
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
22 3
4
3c o s322)2(
17?
备用题
1,已知向量 的夹角 且解：
,43ba,,2||?a,3||?b
)()( baba
aa bb
22 c o s2 bbaa
17 ba
机动 目录 上页 下页 返回 结束
222 00)2(
2
1 1?
A
B
CD
在顶点为三角形中,
,)2,1,1(?A )0,1,1(B 的和 )1,3,1(?C
求 AC 边上的高 BD,
解,)3,4,0(AC
,5)3(4 22|| AC
)2,2,0(AB
三角形 ABC 的面积为
||21 ABACS
2
1?S || AC || BD?
5211 || BD? 52|| BD
2.
而故有机动 目录 上页 下页 返回 结束
1M
一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,
W
1,定义设向量 的夹角为?,称记作数量积 (点积 ),
引例,设一物体在常力 F 作用下,
位移为 s,则力 F 所做的功为
c o ssF?
sFW
2M
ba?
的与为 ba
ba,s
机动 目录 上页 下页 返回 结束
上的投影为在 ab
记作故
,0,时当同理b
2,性质为两个非零向量,则有
ba?jrPb
ba ba a?jrP
aa)1(
ba,)2(
0ba?
0 ba则
0,0 ba
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,运算律
(1) 交换律
(2) 结合律
)( ba
)()( ba)( ba
)( ba
(3) 分配律事实上,当 0?c 时,显然成立 ; 时当 0?c
c)( ba?
ba
bc?jrPac?jrP
cbabac jrPc? cba cc jrPjrP?
ac?jrP?c bc?jrP?c c cb
)(jrP bac
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A
B
C?a
bc
例 1,证明三角形余弦定理
c o s2222 abbac
证,
则
c o s2222 abbac
如图,设
,aBC?,bAC? cBA?
2c )()( baba aa bb ba 2
2a? 2bc o s2 ba?
ccbbaa,,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4,数量积的坐标表示设 则
0?
zzyyxx bababa
当 为非零向量时,
c o s? zzyyxx bababa
222 zyx aaa 222 zyx bbb
由于?c o sba
,kajaiaa zyx,kbjbibb zyx
)( kajaia zyx )( kbjbib zyx
ji? kj ik
ba?
ba
两向量的夹角公式
,得机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(?MB,)(?MA
BM
例 2,已知三点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1( BAM
AMB,A
解,,1,1 0,1,0 1
则 A M Bc o s
1?0 02 2
A M B
求
MBMA?MAMB
故机动 目录 上页 下页 返回 结束为? ),
求单位时间内流过该平面域的流体的质量 P (流体密度例 3,设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平面域,与该平面域的单位垂直向量
A
解,
单位时间内流过的体积
P
A
的夹角为且
v
v
nv?
为单位向量机动 目录 上页 下页 返回 结束二、两向量的向量积引例,设 O 为杠杆 L 的支点,有一个与杠杆夹角为
OQ
O
LP
Q
符合右手规则
OQ? F? F?sinOP
sinOP
MFOP
OPM?
M
矩是一个向量 M,
的力 F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠杆上的力
F
o PF
M
FM?
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1,定义定义向量方向,
(叉积 )
记作且符合右手规则模,
向量积,
，的夹角为设?ba,
c,ac? bcc?s i na b
b
a
c
称 c 的与为向量 ba
bac
ba引例中的力矩思考,右图三角形面积
a
bS＝
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,性质为非零向量,则
，0sin 或即 0?
aa?)1( 0?
ba,)2( 0 ba ba∥
,0,0 时当 ba
ba∥
0 ba?s i na b 0?
3,运算律
(2) 分配律
(3) 结合律
(证明略 )
ab
cba )( cbca
ba?)(? )( ba )( ba
ba?)1(
证明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)( kajaia zyx )( kbjbib zyx
4,向量积的坐标表示式设 则,kajaiaa zyx,kbjbibb zyx
)( iiba xx
ibaba yzzy )( jbaba zxxz )(
kbaba xyyx )(
)( jjba yy
)( kkba zz
i j
k
机动 目录 上页 下页 返回 结束向量积的行列式计算法 kji
xa ya za
xb yb zb
,
zx
zx
bb
aa?
ibaba yzzy )(? jbaa zxxz )(
kbaba xyyx )(
kajaiaa zyx
kbjbibb zyx
( 行列式计算见 P339～ P342 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,已知三点,)7,4,2(),5,4,3(,)3,2,1( CBA
角形 ABC 的面积解,如图所示,
CBAS
A
B
C
2
1?
kji
2 2 21 2 4 )(21?,4,6? 2
222 2)6(4
2
1 14?
si n21ABAC
2
1? ACAB?
求三机动 目录 上页 下页 返回 结束一点 M 的线速度例 5,设刚体以等角速度? 绕 l 轴旋转,导出刚体上的表示式,
M
l
解,在轴 l 上引进一个角速度向量 使
a
其在 l 上任取一点 O,
O
作
它与 则点 M离开转轴的距离
a?
且 符合右手法则的夹角为?,
s i n r
,,?
rv
方向与旋转方向符合右手法则,
向径机动 目录 上页 下页 返回 结束
*三,向量的混合积
1,定义 已知三向量 称数量混合积,
记作几何意义为棱作平行六面体,
底面积 高
h
故平行六面体体积为
hAV
cba )(cba
,,,cba
的为 cba,,
,?A ba? c
cba,,以 则其
cba )(
cba
ba?
c b
a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
zyx
zyx
bbb
aaa
xc y
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kji
2,混合积的坐标表示设
xa ya za
xb yb zb
zx
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aa?
yx
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ba
,),,( zyx aaaa?
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,),,( zyx bbbb? ),,( zyx cccc?
,
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bb
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,
zx
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bb
aa?
yx
yx
bb
aa
xc yc zc
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,性质
(1) 三个非零向量 共面的充要条件是
0?
(2) 轮换对称性,
][
(可用三阶行列式推出 )
cba cba,,
a b c ][? ab c ][? a bc
a
b c
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,已知一四面体的顶点
4 ),求该四面体体积,
1A
2A
3A
4A
解,已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的 故
6
1
12 xx? 12 yy? 12 zz?
13 xx? 13 yy? 13 zz?
14 xx? 14 yy? 14 zz?
,21AA,31AA 41AA
][ 413121 AAAAAA
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例 7,证明四点,)3,3,2(),6,5,4(,)1,1,1( CBA
共面,
解,因
0?
)17,15,10(D
A
B
C
D3 4 5
1 2 2
9 14 16
故 A,B,C,D 四点共面,
][ ADACAB
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结设
1,向量运算加减,
数乘,
点积,
),,( zzyyxx babababa
),,( zyx aaaa
zzyyxx babababa
),,(,),,(,),,( zyxzyxzyx ccccbbbbaaaa
叉积,
kji
xa ya za
xb yb zb
ba
机动 目录 上页 下页 返回 结束混合积,
2,向量关系,?
x
x
a
b?
y
y
a
b
z
z
a
b
0 zzyyxx bababa
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
cba )(cba
共面cba,,0?
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
0)( cba
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0 ba
思考与练习
1,设 计算 并求夹角?的正弦与余弦,
)3,1,1(?
,32 1c o s 1211s i n
答案,
2,用向量方法证明正弦定理,
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
ba,
,1ba ba?
,,2 jibkjia,baba 及
B
a
b
c
A C
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,由三角形面积公式
Acb s in
Bac s in
B
b
A
a
si nsi n?所以 C
c
sin?
Cba s in
因 B
a
b
c
A C
ABACS A B C 21
BCBA 21 CACB 21
ABAC?
CACB?
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P310 3,4,6,7,
9(1) ; (2),10,12
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
22 3
4
3c o s322)2(
17?
备用题
1,已知向量 的夹角 且解：
,43ba,,2||?a,3||?b
)()( baba
aa bb
22 c o s2 bbaa
17 ba
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222 00)2(
2
1 1?
A
B
CD
在顶点为三角形中,
,)2,1,1(?A )0,1,1(B 的和 )1,3,1(?C
求 AC 边上的高 BD,
解,)3,4,0(AC
,5)3(4 22|| AC
)2,2,0(AB
三角形 ABC 的面积为
||21 ABACS
2
1?S || AC || BD?
5211 || BD? 52|| BD
2.
而故有机动 目录 上页 下页 返回 结束
