二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式的建立机动 目录 上页 下页 返回 结束三、泰勒公式的应用
— 应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒 ( Taylor )公式第 三 章特点,)(
0xf?
)( 0xf
一、泰勒公式的建立
)(xf
x
y
)( xfy?
o
))(()( 000 xxxfxf
以直代曲
0x
)(1 xp
在微分应用中已知近似公式,
需要解决的问题 如何提高精度?
如何估计误差?
x
x 的一次多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,求 n 次近似多项式 要求,
)( 0!212 xpa n,)(f,? )( 0)(!1 xpa nnnn? )()(f n?
故?)( xpn )( 0xf ))(( 00 xxxf
!21 !
1n
nn xxxf ))(( 00)(!1n
200 ))(( xxxf!21
机动 目录 上页 下页 返回 结束令?)( xpn
则 )( xpn
)( xpn
nan!?)()( xp nn
)( 00 xpa n?,)( 0xf? )( 01 xpa n,)(f
1a )(2 02 xxa 10 )( nn xxan?
2!2 a 20 )()1( nn xxann?
0a nn xxaxxaxxa )()()( 020201
)0( 之间与在 nx
)(
)(
1
0
n
n
xx
xR
)(2)1(
)(
0
)(
xn
R
n
n
n
n
2,余项估计
)()()( xpxfxR nn令 (称为余项 ),
)( 0xRn )( 0xR n 0)( 0)( xR nn?
1
0 )(
)(
n
n
xx
R
n
n
xn
R
))(1(
)(
01
1
))(1(
)(
01
1
n
n
xn
R
1
02
2
)()1(
)(
n
n
xnn
R
!)1(
)()1(
n
R nn?
则有
)( 0xR n?
0?
)( 0xR n 0?
)( 0)( xR nn?
0? x
)01( 之间与在 xx?
)1
02(
之间与在
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)()()( xpxfxR nn
)0( 之间与在 xx?
,0)()1( xp nn?
1
0
)1(
)(!)1(
)(
)(?
n
n
n xxn
f
xR
)()( )1()1( xfxR nnn
时的某邻域内当在 Mxfx n )()1(0
)0( 之间与在 xx?
1
0!)1()(
n
n xxn
MxR
)())(()( 00 xxxxoxR nn
机动 目录 上页 下页 返回 结束公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式,
公式 ② 称为 n 阶泰勒公式的 拉格朗日余项,
泰勒中值定理,
阶的导数,时,有
)( 0xf ))(( 00 xxxf 200 )(!2
)( xxxf
nn
xxn xf )(! )( 00
)(
)( xR
n? ①
其中
1
0
)1(
)(!)1(
)(
)(?
n
n
n xxn
f
xR
②
则当
)0( 之间与在 xx?
泰勒 目录 上页 下页 返回 结束公式 ③ 称为 n 阶泰勒公式的 佩亚诺 (Peano) 余项,
在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为
)( 0xf ))(( 00 xxxf 200 )(!2
)( xxxf
n
n
xxn xf )(! )( 00
)(
])[(
0 nxxo
])[()( 0 nn xxoxR注意到 ③
④
* 可以证明,
④ 式成立机动 目录 上页 下页 返回 结束特例,
(1) 当 n = 0 时,泰勒公式变为
)(xf )( 0xf ))(( 0xxf
(2) 当 n = 1 时,泰勒公式变为给 出拉格朗日中值定理
)(xf )( 0xf ))(( 00 xxxf 20 )(!2
)( xxf
可见误差
)(xf )( 0xf ))(( 00 xxxf
1
0
)1(
)(!)1( )(?
n
n
xxnf?
2
0
0 )(
!2
)( xxxf
n
n
xxn xf )(! )( 00
)(
fd
)0( 之间与在 xx?
)0( 之间与在 x?
)0( 之间与在 xx?
)0( 之间与在 xx?
机动 目录 上页 下页 返回 结束称为 麦克劳林（ Maclaurin ）公式,
,)10(,00 xx 则有
)0(f xf )0( 2!2
)0( xf nn x
n
f
!
)0()(?在泰勒公式中若取
)(xf )( 0xf ))(( 00 xxxf
1
0
)1(
)(!)1( )(?
n
n
xxnf?
2
0
0 )(
!2
)( xxxf
n
n
xxn xf )(! )( 00
)(
)0( 之间与在 xx?
)(xf )0(f xf )0(
,)()1( Mxf n则有误差估计式
1
!)1()(
n
n xn
MxR
2
!2
)0( xf nn x
n
f
!
)0()(?
若在公式成立的区间上麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式
,)()( xk exf ),2,1(1)0()( kf k
xe? 1? x? !3
3x
!nx
n
)( xR
n?!2
2x
其中机动 目录 上页 下页 返回 结束
)s in(?x?)()( xf k?
xsin? x? !3
3x
!5
5x
!)12(
12
m
x m
)(2 xR m?
其中?)(2 xR m )s in ( 2 12 mx
2
k
2si n)0(
)(?kf k?
mk 2?,0
12 mk,)1( 1 m ),2,1(m
1)1( m
)10(12?mx !)12(?m )c o s ()1( xm
机动 目录 上页 下页 返回 结束
!)2(
2
m
x m?类似可得
xcos 1? !2
2x
!4
4x
)(
12 xR m
其中
)(12 xR m !)22(?m )c o s ()1( 1 xm )10(
m)1(?
22?mx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)()( xf k?
)1( x x 2x
nx )( xRn?
其中?)( xRn
11)1(
!)1(
)()1(
nn xx
n
n
)10(
kxk )1)(1()1(?
)1()1()0()( kf k
),2,1k
!2
)1(
!
n? )1()1( n
机动 目录 上页 下页 返回 结束已知
)1ln ( x?x? 2
2x
3
3x
nx
n
)(xRn?
其中
)( xRn 1
1
)1(1
)1(
n
nn
x
x
n? )10(
1)1( n
类似可得
)()( xf k k
k
x
k
)1(
!)1()1( 1
),2,1(k
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、泰勒公式的应用
1,在近似计算中的应用误差
1
!)1()(
n
n xn
MxR
M 为 )()1( xf n?在包含 0,x 的某区间上的上界,
需解问题的类型,
1) 已知 x 和误差限,要求确定项数 n ;
2) 已知项数 n 和 x,计算近似值并估计误差 ;
3) 已知项数 n 和误差限,确定公式中 x 的适用范围,
)(xf )0(f xf )0( 2!2
)0( xf nn x
n
f
!
)0()(?
机动 目录 上页 下页 返回 结束已知例 1,计算无理数 e 的近似值,使误差不超过解,
令 x = 1,得 )10(
!)1(!
1
!2
111
n
e
n?
)10(
由于,30 ee?欲使
)1(nR !)1(
3
n 610
由计算可知当 n = 9 时上式成立,因此
e !9
1
!2
111
7 1 8 2 8 1.2?
xe 1? x? !3
3x
!nx
n
!2
2x
的麦克劳林公式为机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,注意舍入误差对计算结果的影响,
本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则各项舍入误差之和不超过,105.07 6
总误差为 6105.07 610 6105
这时得到的近似值 不能保证 误差不超过,10 6?
因此计算时中间结果应比精度要求多取一位,
e !9
1
!2
111
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,用近似公式 计算 cos x 的近似值,
使其精确到 0.005,试确定 x 的适用范围,
解,近似公式的误差 )c o s (
!4
)(
4
3 x
xxR
24
4x
令 005.024
4
x
解得 588.0?x
即当 588.0?x 时,由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,利用泰勒公式求极限例 3,求解,由于
x431243?x
2? )(1 4321 x !21 )1( 2121? 243 )( x )( 2xo?
用洛必塔法则不方便 !
2x用泰勒公式将分子展到 项,
11)1(
!)1(
)()1(
nn xx
n
n)10(
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x34? 2?
20
lim
xx 原式
)( 2216921 xox
329
x43? )( 2216941 xox
2? x43? )( 2216941 xox
11)1(
!)1(
)()1(
nn xx
n
n)10(
3,利用泰勒公式证明不等式例 4,证明证,21)1(1 xx
21
x 2)1
2
1(
2
1
!2
1 x
325)1)(2
2
1)(1
2
1(
2
1
!3
1 xx
)10( 3
2
2
5)1(
16
1
821 xx
xx
)0(8211
2
xxxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,泰勒公式其中余项
))(( 0 nxxo
当 00?x 时为 麦克劳林公式,
)( 0xf ))(( 00 xxxf 200 )(!2
)( xxxf
nn
xxn xf )(! )( 00
)(
)( xR
n?
1
0
)1(
)(!)1(
)(
)(?
n
n
n xxn
f
xR
)0( 之间与在 xx?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 )
,xe,)1ln ( x?,sin x,cos x?)1( x?
3,泰勒公式的应用
(1) 近似计算
(3) 其他应用 求极限,证明不等式 等,
(2) 利用多项式逼近函数,xsi n例如例如 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习计算
)(!211 4422 xoxxe x
)(!4!21c o s 5
42
xoxxx
)()!412!21(3c o s2 442 xoxxe x
12
7)(lim
4
44
12
7
0
x
xox
x
解,
原式第四节 目录 上页 下页 返回 结束作业
P143 1 ;
4 ; 5 ; 7 ; 8;
10(1),(2)
,]1,0[)( 上具有三阶连续导数在设函数 xf
,0)(,2)1(,1)0( 21 fff
.24)(, f使一点
)(xf
)( 21 之间与在其中 x?
由题设对证,
备用题 1.
3
2
1 ))((
!3
1 xf?)(21f 221 )(?x )(!2
1
2
1f有
)(21f? 221 )(?x )(!2
1
2
1f 3
2
1 ))((
!3
1 xf?
且得分别令,1,0?x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3
2
11 )(
!3
)(f
3
2
12 )(
!3
)(?f
)(21f? 2212
1
)(!2 )( f
2
2
12
1
)(!2 )(f
1
下式减上式,得
)()(481 12 ff)()(481 12 ff
)(241?f )10(
令 ))(,)((m a x)( 12 fff
24)(f
机动 目录 上页 下页 返回 结束
e )10(!)1(!
1
!2
111
n
e
n?
两边同乘 n !
en! = 整数 + )10(1
n
e
假设 e 为有理数 q
p
( p,q 为正整数 ),
则当 时,qn? 等式左边为整数 ;
矛盾 !
2,证明 e 为无理数,
证,
2?n 时,当故 e 为无理数,
等式右边不可能为整数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
— 应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒 ( Taylor )公式第 三 章特点,)(
0xf?
)( 0xf
一、泰勒公式的建立
)(xf
x
y
)( xfy?
o
))(()( 000 xxxfxf
以直代曲
0x
)(1 xp
在微分应用中已知近似公式,
需要解决的问题 如何提高精度?
如何估计误差?
x
x 的一次多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,求 n 次近似多项式 要求,
)( 0!212 xpa n,)(f,? )( 0)(!1 xpa nnnn? )()(f n?
故?)( xpn )( 0xf ))(( 00 xxxf
!21 !
1n
nn xxxf ))(( 00)(!1n
200 ))(( xxxf!21
机动 目录 上页 下页 返回 结束令?)( xpn
则 )( xpn
)( xpn
nan!?)()( xp nn
)( 00 xpa n?,)( 0xf? )( 01 xpa n,)(f
1a )(2 02 xxa 10 )( nn xxan?
2!2 a 20 )()1( nn xxann?
0a nn xxaxxaxxa )()()( 020201
)0( 之间与在 nx
)(
)(
1
0
n
n
xx
xR
)(2)1(
)(
0
)(
xn
R
n
n
n
n
2,余项估计
)()()( xpxfxR nn令 (称为余项 ),
)( 0xRn )( 0xR n 0)( 0)( xR nn?
1
0 )(
)(
n
n
xx
R
n
n
xn
R
))(1(
)(
01
1
))(1(
)(
01
1
n
n
xn
R
1
02
2
)()1(
)(
n
n
xnn
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!)1(
)()1(
n
R nn?
则有
)( 0xR n?
0?
)( 0xR n 0?
)( 0)( xR nn?
0? x
)01( 之间与在 xx?
)1
02(
之间与在
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)()()( xpxfxR nn
)0( 之间与在 xx?
,0)()1( xp nn?
1
0
)1(
)(!)1(
)(
)(?
n
n
n xxn
f
xR
)()( )1()1( xfxR nnn
时的某邻域内当在 Mxfx n )()1(0
)0( 之间与在 xx?
1
0!)1()(
n
n xxn
MxR
)())(()( 00 xxxxoxR nn
机动 目录 上页 下页 返回 结束公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式,
公式 ② 称为 n 阶泰勒公式的 拉格朗日余项,
泰勒中值定理,
阶的导数,时,有
)( 0xf ))(( 00 xxxf 200 )(!2
)( xxxf
nn
xxn xf )(! )( 00
)(
)( xR
n? ①
其中
1
0
)1(
)(!)1(
)(
)(?
n
n
n xxn
f
xR
②
则当
)0( 之间与在 xx?
泰勒 目录 上页 下页 返回 结束公式 ③ 称为 n 阶泰勒公式的 佩亚诺 (Peano) 余项,
在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为
)( 0xf ))(( 00 xxxf 200 )(!2
)( xxxf
n
n
xxn xf )(! )( 00
)(
])[(
0 nxxo
])[()( 0 nn xxoxR注意到 ③
④
* 可以证明,
④ 式成立机动 目录 上页 下页 返回 结束特例,
(1) 当 n = 0 时,泰勒公式变为
)(xf )( 0xf ))(( 0xxf
(2) 当 n = 1 时,泰勒公式变为给 出拉格朗日中值定理
)(xf )( 0xf ))(( 00 xxxf 20 )(!2
)( xxf
可见误差
)(xf )( 0xf ))(( 00 xxxf
1
0
)1(
)(!)1( )(?
n
n
xxnf?
2
0
0 )(
!2
)( xxxf
n
n
xxn xf )(! )( 00
)(
fd
)0( 之间与在 xx?
)0( 之间与在 x?
)0( 之间与在 xx?
)0( 之间与在 xx?
机动 目录 上页 下页 返回 结束称为 麦克劳林（ Maclaurin ）公式,
,)10(,00 xx 则有
)0(f xf )0( 2!2
)0( xf nn x
n
f
!
)0()(?在泰勒公式中若取
)(xf )( 0xf ))(( 00 xxxf
1
0
)1(
)(!)1( )(?
n
n
xxnf?
2
0
0 )(
!2
)( xxxf
n
n
xxn xf )(! )( 00
)(
)0( 之间与在 xx?
)(xf )0(f xf )0(
,)()1( Mxf n则有误差估计式
1
!)1()(
n
n xn
MxR
2
!2
)0( xf nn x
n
f
!
)0()(?
若在公式成立的区间上麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式
,)()( xk exf ),2,1(1)0()( kf k
xe? 1? x? !3
3x
!nx
n
)( xR
n?!2
2x
其中机动 目录 上页 下页 返回 结束
)s in(?x?)()( xf k?
xsin? x? !3
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5x
!)12(
12
m
x m
)(2 xR m?
其中?)(2 xR m )s in ( 2 12 mx
2
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2si n)0(
)(?kf k?
mk 2?,0
12 mk,)1( 1 m ),2,1(m
1)1( m
)10(12?mx !)12(?m )c o s ()1( xm
机动 目录 上页 下页 返回 结束
!)2(
2
m
x m?类似可得
xcos 1? !2
2x
!4
4x
)(
12 xR m
其中
)(12 xR m !)22(?m )c o s ()1( 1 xm )10(
m)1(?
22?mx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)()( xf k?
)1( x x 2x
nx )( xRn?
其中?)( xRn
11)1(
!)1(
)()1(
nn xx
n
n
)10(
kxk )1)(1()1(?
)1()1()0()( kf k
),2,1k
!2
)1(
!
n? )1()1( n
机动 目录 上页 下页 返回 结束已知
)1ln ( x?x? 2
2x
3
3x
nx
n
)(xRn?
其中
)( xRn 1
1
)1(1
)1(
n
nn
x
x
n? )10(
1)1( n
类似可得
)()( xf k k
k
x
k
)1(
!)1()1( 1
),2,1(k
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、泰勒公式的应用
1,在近似计算中的应用误差
1
!)1()(
n
n xn
MxR
M 为 )()1( xf n?在包含 0,x 的某区间上的上界,
需解问题的类型,
1) 已知 x 和误差限,要求确定项数 n ;
2) 已知项数 n 和 x,计算近似值并估计误差 ;
3) 已知项数 n 和误差限,确定公式中 x 的适用范围,
)(xf )0(f xf )0( 2!2
)0( xf nn x
n
f
!
)0()(?
机动 目录 上页 下页 返回 结束已知例 1,计算无理数 e 的近似值,使误差不超过解,
令 x = 1,得 )10(
!)1(!
1
!2
111
n
e
n?
)10(
由于,30 ee?欲使
)1(nR !)1(
3
n 610
由计算可知当 n = 9 时上式成立,因此
e !9
1
!2
111
7 1 8 2 8 1.2?
xe 1? x? !3
3x
!nx
n
!2
2x
的麦克劳林公式为机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,注意舍入误差对计算结果的影响,
本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则各项舍入误差之和不超过,105.07 6
总误差为 6105.07 610 6105
这时得到的近似值 不能保证 误差不超过,10 6?
因此计算时中间结果应比精度要求多取一位,
e !9
1
!2
111
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,用近似公式 计算 cos x 的近似值,
使其精确到 0.005,试确定 x 的适用范围,
解,近似公式的误差 )c o s (
!4
)(
4
3 x
xxR
24
4x
令 005.024
4
x
解得 588.0?x
即当 588.0?x 时,由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,利用泰勒公式求极限例 3,求解,由于
x431243?x
2? )(1 4321 x !21 )1( 2121? 243 )( x )( 2xo?
用洛必塔法则不方便 !
2x用泰勒公式将分子展到 项,
11)1(
!)1(
)()1(
nn xx
n
n)10(
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x34? 2?
20
lim
xx 原式
)( 2216921 xox
329
x43? )( 2216941 xox
2? x43? )( 2216941 xox
11)1(
!)1(
)()1(
nn xx
n
n)10(
3,利用泰勒公式证明不等式例 4,证明证,21)1(1 xx
21
x 2)1
2
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2
1
!2
1 x
325)1)(2
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2
1(
2
1
!3
1 xx
)10( 3
2
2
5)1(
16
1
821 xx
xx
)0(8211
2
xxxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,泰勒公式其中余项
))(( 0 nxxo
当 00?x 时为 麦克劳林公式,
)( 0xf ))(( 00 xxxf 200 )(!2
)( xxxf
nn
xxn xf )(! )( 00
)(
)( xR
n?
1
0
)1(
)(!)1(
)(
)(?
n
n
n xxn
f
xR
)0( 之间与在 xx?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 )
,xe,)1ln ( x?,sin x,cos x?)1( x?
3,泰勒公式的应用
(1) 近似计算
(3) 其他应用 求极限,证明不等式 等,
(2) 利用多项式逼近函数,xsi n例如例如 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习计算
)(!211 4422 xoxxe x
)(!4!21c o s 5
42
xoxxx
)()!412!21(3c o s2 442 xoxxe x
12
7)(lim
4
44
12
7
0
x
xox
x
解,
原式第四节 目录 上页 下页 返回 结束作业
P143 1 ;
4 ; 5 ; 7 ; 8;
10(1),(2)
,]1,0[)( 上具有三阶连续导数在设函数 xf
,0)(,2)1(,1)0( 21 fff
.24)(, f使一点
)(xf
)( 21 之间与在其中 x?
由题设对证,
备用题 1.
3
2
1 ))((
!3
1 xf?)(21f 221 )(?x )(!2
1
2
1f有
)(21f? 221 )(?x )(!2
1
2
1f 3
2
1 ))((
!3
1 xf?
且得分别令,1,0?x
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3
2
11 )(
!3
)(f
3
2
12 )(
!3
)(?f
)(21f? 2212
1
)(!2 )( f
2
2
12
1
)(!2 )(f
1
下式减上式,得
)()(481 12 ff)()(481 12 ff
)(241?f )10(
令 ))(,)((m a x)( 12 fff
24)(f
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e )10(!)1(!
1
!2
111
n
e
n?
两边同乘 n !
en! = 整数 + )10(1
n
e
假设 e 为有理数 q
p
( p,q 为正整数 ),
则当 时,qn? 等式左边为整数 ;
矛盾 !
2,证明 e 为无理数,
证,
2?n 时,当故 e 为无理数,
等式右边不可能为整数,
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