第四节一、函数单调性的判定法机动 目录 上页 下页 返回 结束二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与曲线的凹凸性第 三 章一,函数单调性的判定法若定理 1,设函数则 在 I 内单调递增,)0)(( xf (递减 ),
证,无妨设 任取由拉格朗日中值定理得
0?
故 这说明 在 I 内单调递增,
在开区间 I 内可导,
机动 目录 上页 下页 返回 结束证毕例 1,确定函数 的单调区间,
解,12186)( 2 xxxf )2)(1(6 xx
令,0)( xf 得 2,1 xx
x
)(xf?
)(xf
)1,( 2
0 0
1 )2,1( ),2(
2 1
故 的 单调增 区间为,)1,( );,2(
的 单调减 区间为 ).2,1(
12
xo
y
1 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
xo
说明,
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点,
例如,3 2xy?
2) 如果函数在某驻点两边导数同号,
则不改变函数的单调性,
例如,
y
o x
3xy?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,证明 时,成立不等式证,令,
2si n)(
x
xxf
2
s i nc o s)(
x
xxxxf )t a n(c o s
2 xxx
x
1
xtan
x
0?
从而因此且证证明 目录 上页 下页 返回 结束
A
B
定义,设函数 在区间 I 上连续,
(1) 若恒有 则称图形是 凹 的 ;
(2) 若恒有 则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为 拐点,
图形是 凸 的,y
o x
2x1x
2 21
xx?
y
o x
1x
2 21
xx? 2x
y
o x
二、曲线的凹凸与拐点机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2.(凹凸判定法 )
(1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的,
证,利用一阶泰勒公式可得
)()( 1 fxf?2 21 xx?
!2
)( 1?f 21 )(?x 2 21 xx?
)()( 2 fxf?2 21 xx? (f 2 21 xx? )( 2?x 2 21 xx?
!2
)( 2?f 22 )(?x 2 21 xx?
两式相加
)(2)()( 21 fxfxf 2 21 xx? 2
2!2
1 )( 12 xx )]()([ 21 ff
,0)( 时当 xf ),(2 )()( 21 fxfxf2 21 xx? 说明 (1) 成立 ;?
(2)
)(f 2 21 xx? )( 1x 2 21 xx?
机动 目录 上页 下页 返回 结束设函数 在区间 I 上有二阶导数证毕例 3,判断曲线 的凹凸性,
解,,4 3xy
故曲线 在 上是向上凹的,
说明,
1) 若在某点二阶导数为 0,
2) 根据拐点的定义及上述定理,可得 拐点的判别法 如下,
若曲线 或不存在,
但 )(xf 在 两侧 异号,0x 则点 ))(,( 00 xfx 是曲线的一个拐点,
则曲线的凹凸性不变,
在其两侧二阶导数不变号,
x
y
o
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求曲线 的拐点,
解,,3
2
31
xy 35
92
xy
x
y?y
0)0,( ),0(
不存在
0
因此点 ( 0,0 ) 为曲线 的拐点,
凹 凸机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(36 32 xx
例 5,求曲线 的凹凸区间及拐点,
解,1) 求 y?,1212 23 xxy
2) 求拐点可疑点坐标令 0y 得,,0 3221 xx 对应
3) 列表判别
271121,1 yy
)0,( ),0( 32 ),( 32
y?
x
y
32? 0 0
1 2711
故该曲线在 )0,( ),( 32及 上向上凹,
向上凸,点 ( 0,1 ) 及 ),( 271132 均为拐点,
上在 ),0( 32
凹 凹凸机动 目录 上页 下页 返回 结束
32
)1,0( ),(
271132
内容小结
1,可导函数单调性判别
Ixxf,0)( 在 I 上单调递增
Ixxf,0)( 在 I 上单调递减
2.曲线凹凸与拐点的判别
Ixxf,0)(
Ixxf,0)(
+
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
]1,0[ 上,0)( xf 则,)1(,)0( ff )0()1( ff?
或 )1()0( ff?的大小顺序是 ( )
)0()1()0()1()( ffffA
)0()0()1()1()( ffffB
)0()1()0()1()( ffffC
)0()1()0()1()( ffffD
提示,利用 )(xf? 单调增加,
)10()()0()1(fff
及
B
1,设在机动 目录 上页 下页 返回 结束
.
),( 21
)1,( 2121 e
2,曲线 21 xey 的凹区间是凸区间是拐点为提示,)21(2 2
2 xey x
),( 2121?
),( 21 及作业
P151 3 (1),(7) ; 4 (2),(4) ; 8 (3),(6) ;
9 (3) ; 10 ; 12 ; 13 ; 14;
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
1
1
2?
x
xy
有位于一直线的三个拐点,1.求证曲线证明,y
y
22
2
)1(
21
x
xx
32
23
)1(
)133(2
x
xxx
32 )1(
)32)(32)(1(2
x
xxx
备用题
xxx 2)1()1( 2 2)1(?x
42 )1(?x)22( x 22 )1(?x )21( 2xx )1(2 2 x x2?
机动 目录 上页 下页 返回 结束令 0y 得
,11?x
,)1,1(
从而三个拐点为因为
32
所以三个拐点共线,
323x,322x
,)348 31,32( )348 31,32(
321?
1?348 31 1?
1?348
31
机动 目录 上页 下页 返回 结束
证明,20
x
当 时,.
2si n xx
有证明,xxxF?
2si n)(
令,0)0(?F,则
)( xF?
)( xF
)( xF? 是 凸 函数
)( xF
即 xx?
2si n?
2,
0)2(F
2c o s?x
0?
)2(),0(m i n?FF0?
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(自证 )
证,无妨设 任取由拉格朗日中值定理得
0?
故 这说明 在 I 内单调递增,
在开区间 I 内可导,
机动 目录 上页 下页 返回 结束证毕例 1,确定函数 的单调区间,
解,12186)( 2 xxxf )2)(1(6 xx
令,0)( xf 得 2,1 xx
x
)(xf?
)(xf
)1,( 2
0 0
1 )2,1( ),2(
2 1
故 的 单调增 区间为,)1,( );,2(
的 单调减 区间为 ).2,1(
12
xo
y
1 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
xo
说明,
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点,
例如,3 2xy?
2) 如果函数在某驻点两边导数同号,
则不改变函数的单调性,
例如,
y
o x
3xy?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,证明 时,成立不等式证,令,
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x
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2
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x
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2 xxx
x
1
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x
0?
从而因此且证证明 目录 上页 下页 返回 结束
A
B
定义,设函数 在区间 I 上连续,
(1) 若恒有 则称图形是 凹 的 ;
(2) 若恒有 则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为 拐点,
图形是 凸 的,y
o x
2x1x
2 21
xx?
y
o x
1x
2 21
xx? 2x
y
o x
二、曲线的凹凸与拐点机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2.(凹凸判定法 )
(1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的,
证,利用一阶泰勒公式可得
)()( 1 fxf?2 21 xx?
!2
)( 1?f 21 )(?x 2 21 xx?
)()( 2 fxf?2 21 xx? (f 2 21 xx? )( 2?x 2 21 xx?
!2
)( 2?f 22 )(?x 2 21 xx?
两式相加
)(2)()( 21 fxfxf 2 21 xx? 2
2!2
1 )( 12 xx )]()([ 21 ff
,0)( 时当 xf ),(2 )()( 21 fxfxf2 21 xx? 说明 (1) 成立 ;?
(2)
)(f 2 21 xx? )( 1x 2 21 xx?
机动 目录 上页 下页 返回 结束设函数 在区间 I 上有二阶导数证毕例 3,判断曲线 的凹凸性,
解,,4 3xy
故曲线 在 上是向上凹的,
说明,
1) 若在某点二阶导数为 0,
2) 根据拐点的定义及上述定理,可得 拐点的判别法 如下,
若曲线 或不存在,
但 )(xf 在 两侧 异号,0x 则点 ))(,( 00 xfx 是曲线的一个拐点,
则曲线的凹凸性不变,
在其两侧二阶导数不变号,
x
y
o
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求曲线 的拐点,
解,,3
2
31
xy 35
92
xy
x
y?y
0)0,( ),0(
不存在
0
因此点 ( 0,0 ) 为曲线 的拐点,
凹 凸机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(36 32 xx
例 5,求曲线 的凹凸区间及拐点,
解,1) 求 y?,1212 23 xxy
2) 求拐点可疑点坐标令 0y 得,,0 3221 xx 对应
3) 列表判别
271121,1 yy
)0,( ),0( 32 ),( 32
y?
x
y
32? 0 0
1 2711
故该曲线在 )0,( ),( 32及 上向上凹,
向上凸,点 ( 0,1 ) 及 ),( 271132 均为拐点,
上在 ),0( 32
凹 凹凸机动 目录 上页 下页 返回 结束
32
)1,0( ),(
271132
内容小结
1,可导函数单调性判别
Ixxf,0)( 在 I 上单调递增
Ixxf,0)( 在 I 上单调递减
2.曲线凹凸与拐点的判别
Ixxf,0)(
Ixxf,0)(
+
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
]1,0[ 上,0)( xf 则,)1(,)0( ff )0()1( ff?
或 )1()0( ff?的大小顺序是 ( )
)0()1()0()1()( ffffA
)0()0()1()1()( ffffB
)0()1()0()1()( ffffC
)0()1()0()1()( ffffD
提示,利用 )(xf? 单调增加,
)10()()0()1(fff
及
B
1,设在机动 目录 上页 下页 返回 结束
.
),( 21
)1,( 2121 e
2,曲线 21 xey 的凹区间是凸区间是拐点为提示,)21(2 2
2 xey x
),( 2121?
),( 21 及作业
P151 3 (1),(7) ; 4 (2),(4) ; 8 (3),(6) ;
9 (3) ; 10 ; 12 ; 13 ; 14;
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
1
1
2?
x
xy
有位于一直线的三个拐点,1.求证曲线证明,y
y
22
2
)1(
21
x
xx
32
23
)1(
)133(2
x
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32 )1(
)32)(32)(1(2
x
xxx
备用题
xxx 2)1()1( 2 2)1(?x
42 )1(?x)22( x 22 )1(?x )21( 2xx )1(2 2 x x2?
机动 目录 上页 下页 返回 结束令 0y 得
,11?x
,)1,1(
从而三个拐点为因为
32
所以三个拐点共线,
323x,322x
,)348 31,32( )348 31,32(
321?
1?348 31 1?
1?348
31
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证明,20
x
当 时,.
2si n xx
有证明,xxxF?
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令,0)0(?F,则
)( xF?
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)( xF? 是 凸 函数
)( xF
即 xx?
2si n?
2,
0)2(F
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(自证 )
