二,导数应用习题课一,微分中值定理及其应用机动 目录 上页 下页 返回 结束中值定理及导数的应用第 三 章拉格朗日中值定理 )()( bfaf?
一,微分中值定理及其应用
1,微分中值定理及其相互关系罗尔定理
0)(f
x
y
o a
b
)(xfy?
)(
)(
)()(
)()(
F
f
aFbF
afbf
ab
afbff
)()()(?
)()(
)(
bfaf
xxF
10)1(!)1( 1 ))(( nnn xxf?
柯西中值定理
xxF?)(
x
y
o
a b
)(xfy?
泰勒中值定理
))(()()( 000 xxxfxfxf
nnn xxxf ))(( 00)(!1
0?n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,微分中值定理的主要应用
(1) 研究函数或导数的性态
(2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,有关中值问题的解题方法利用 逆向思维,设辅助函数,一般解题方法,
(1)证明含一个中值的等式或根的存在,
(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数,
(3) 若结论中含两个或两个以上的中值,
可用原函数法找辅助函数,
多用 罗尔定理,
可考虑用柯西中值定理,
必须 多次应用中值定理,
(4) 若已知条件中含高阶导数,多考虑用 泰勒公式,
(5) 若结论为不等式,要注意 适当 放大 或 缩小 的技巧,
有时也可考虑 对导数用中值定理,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,设函数 在 内可导,且证明 在 内有界,
证,取点,),(0 bax?再取异于 0x 的点,),( bax? 对为端点的区间上用拉氏中值定理,得
))(()()( 00 xxfxfxf
))(()()( 00 xxfxfxf
00 )()( xxfxf
)()( 0 abMxf K? (定数 )
可见对任意,),( bax?,)( Kxf?即得所证,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,设 在 内可导,且证明至少存在一点 使上连续,在证,问题转化为证,0)(2)( ff
设辅助函数 )()( 2 xfxx
显然 在 [ 0,1 ] 上满足罗尔定理条件,故至使
0)()(2)( 2 ff
即有少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,且试证存在证,欲证,2
)()(
f
ba
f
因 f ( x ) 在 [ a,b ] 上满足拉氏中值定理条件,故有
),(,))(()()( baabfafbf
,],[)( 2 上满足柯西定理条件在及又因 baxxf
将 ①代入②,化简得故有
①
②
),(2)( fbaf ),(,ba
即要证,2
)())((
22?
f
ab
abf
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,设实数 满足下述等式
012 10 n aaa n?
证明方程 在 ( 0,1) 内至少有一个实根,
证,令,)( 10 nn xaxaaxF则可设 12
10
12)(
nn x
n
axaxaxF?
且?)0(F
由罗尔定理知存在一点,)1,0( 使即,10010?内至少有一个实根），（在 nn xaxaa?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,0)1(?F
例 5.
机动 目录 上页 下页 返回 结束设函数 f (x) 在 [0,3] 上连续,在 (0,3) 内可导,且
,1)3(,3)2()1()0( ffff 使,)3,0(
.0)(f
分析,所给条件可写为 1)3(,13 )2()1()0( ffff
(03考研 )
试证必存在想到找一点 c,使 3 )2()1()0()( fffcf
证,因 f (x) 在 [0,3]上连续,所以在 [0,2]上连续,且在
[0,2]上有最大值 M 与最小值 m,故
Mfffm )2(),1(),0( Mm fff 3 )2()1()0(
由 介值定理,至少存在一点 使,]2,0[?c
3 )2()1()0()( fffcf1?
,1)3()( fcf?,)3,(,]3,[)( 内可导在上连续在且 ccxf
由 罗尔定理 知,必存在,0)(,)3,0()3,( fc 使例 6,设函数 在 上二阶可导,
且 证明证,,]1,0[ x 由泰勒公式得
)0(f
)1(f
两式相减得 221221 )()1)(()(0 xfxfxf
221221 )()1)(()( xfxfxf
221221 )()1()( xfxf
)1(21 xx ]1,0[,1 x
)(xf? xxf )( 221 )( xf )10(
)10()1)(()1)(()( 221 xfxxfxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束二,导数应用
1,研究函数的性态,
增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率
2,解决最值问题
目标函数的建立与简化
最值的判别问题
3,其他应用,求不定式极限 ; 几何应用 ;
相关变化率 ; 证明不等式 ; 研究方程实根等,
4,补充定理 (见下页 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束设函数 )(,)( xgxf 在 上具有 n 阶导数,
且 )1,,2,1,0()()()1( )()( nkagaf kk?
则当 时证,令,)()()( xgxfx 则;)1,,1,0(0)()( nkak )(0)()( axxn
利用 在 处的 n － 1 阶泰勒公式得
)(x?
因此 ax? 时,)()( xgxf?
n
n
axn )(! )(
)(
定理,
机动 目录 上页 下页 返回 结束的连续性及导函数例 7,填空题
(1) 设函数其导数图形如图所示,
机动 目录 上页 下页 返回 结束单调减区间为 ;
极小值点为 ;
极大值点为,
)(xf? ),0(),,( 21 xx
),(),0,( 21xx
21,xx
0?x
提示,
的正负作 f (x) 的示意图,
单调增区间为 ;
o 2x1x
y
x
o x
)(xf
1x 2x
o
)(xf
x
.
在区间 上是凸弧 ;
拐点为
),0(),,( 21 xx
))0(,0(,))(,(,))(,( 2211 fxfxxfx
提示,
的正负作 f (x) 的示意图,
形在区间 上是凹弧 ;
则函数 f (x) 的图
(2) 设函数的图形如图所示,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),(),0,( 21xx )(xfo 2x1x
y
x
2x1x
]ln)1l n ([)()(1 xxxfxf
例 8,证明 在 上单调增加,
证,)1ln ()(ln 1xxxf
]ln)1ln([ xxx
令,ln)( ttF?在 [ x,x +1 ]上利用拉氏中值定理,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
]11 1[ xxx
)10(1ln)1l n ( xxxx
故当 x > 0 时,从而 在 上单调增,
得例 9,设 在 上可导,且证明 f ( x ) 至多只有一个零点,
证,设 )()( xfex x
则 ])()([)( xfxfex x 0?
故 在 上连续单调递增,从而至多只有一个零点,
又因,0?xe 因此 )(xf 也 至多只有一个零点,
思考,若题中 改为,0)()( xfxf
其它不变时,如何设辅助函数? )()( xfex x
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 10.求数列 的最大项,
证,设 ),1()(
1 xxxf x用对数求导法得
)ln1()( 21 xxxf x
令 得 ),1[ e ),(e0
ee1
因为 在 ),1[只有唯一的极大点,ex? 因此在处 也取最大值,
又因中的最大项,
极大值机动 目录 上页 下页 返回 结束列表判别,
例 11.证明,)0(1
a rc t a n)1l n (?
xx
xx
证,设 xxxx a r c ta n)1ln()1()(,则 0)0(
21
1)1l n (1)(
xxx )0(0 x
故 0?x 时,)(x? 单调增加,从而 0)0()( x
即 )0(1
a rc t a n)1l n (?
xx
xx
思考,证明 )10(a rc s i n
)1l n (
1
1
x
x
x
x
x
时,如何设辅助函数更好?
xxxxx a rc s in1)1ln ()1()( 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束提示,
例 12,设 且在 上 存在,且单调递减,证明对一切 有证,设,)()()()( xfafxafx 则
)()()( xfxafx
所以当令,bx? 得即所证不等式成立,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 13.
证,只要证机动 目录 上页 下页 返回 结束
,1)1()( 2 xexxf x设 0)0(?f则
,1)21()( 2 xexxf 0)0(f
)10(04)( 2 xexxf x
利用一阶泰勒公式,得 2
!2
)()0()0()( xfxffxf
)10(02 22 xxe
故原不等式成立,
例 14.证明当 x > 0 时,
证,令,)1(ln)1()( 22 xxxxf 则 0)1(?f
xxxf ln2)( 0)1(f
xxf ln2)(,1 21x 02)1(f
3
2 )1(2)(
x
xxf
xx 1,(2 x
法 1 由 )(xf 在 1?x 处的二阶泰勒公式,得
)(xf
2)1(
!2
)1( xf 3)1(
!3
)( xf?
2)1( x
3
3
2
)1(
3
1 x
xx 在?,0(?0?
故所证不等式成立,
与 1 之间 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束法 2 列表判别,
,)1(ln)1()( 22 xxxxf 0)1(?f
2ln2)( 1 xxxxf 0)1(f
,1ln2)( 21 xxxf 02)1(f
3
2 )1(2)(
x
xxf x
)(xf
)(xf
)(xf?
)(xf
1)1,0( ),1(
0
0
2
0?
,0)(0 xfx 时故当 即,)1(ln)1( 22 xxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束法 3 利用 极值第二判别法,
,0)(1 的唯一根是易知 xfx
的唯一为 )(1 xfx
故 0)1(?f 也是最小值,
因此当 0?x 时,0)(?xf 即
22 )1(ln)1( xxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,)1(ln)1()( 22 xxxxf 0)1(?f
2ln2)( 1 xxxxf 0)1(f
,1ln2)( 21 xxxf 02)1(f
，极小点
,0)1(f且
1
2
2
)1(
ln)1(
x
xxy
例 15,求解法 1 利用中值定理求极限原式 )1(1
1lim
2
2
n
a
n
an
n? 之间）与在 1(?n
a
n
a?
2
2
1)1(
l i m
a
nn
n
n
a?
机动 目录 上页 下页 返回 结束解法 2 利用泰勒公式令,a r c ta n)( xxf?则,
1
1)(
2xxf 22 )1(
2)(
x
xxf
)()0()0()0()( 22!21 xoxfxffxf
)( 2xox
原式 2lim nn
)0()1a rc t a n(a rc t a nlim 2
an anan
n
2
2
1
12 )(
)1(
lim
n
n
n
o
nn
na
)]1([
2non
a
)]
)1(
1(
1
[ 2
n
o
n
a
机动 目录 上页 下页 返回 结束解法 3 利用罗必塔法则原式 21
a rctana rctan
lim
x
x
b
x
a
x
xt
1?令
20
a rc t a na rc t a nlim
t
tbta
t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P180 5 ; 7 ; 8 ; 10 (2),(3) ;
11 (1) ; 17
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
一,微分中值定理及其应用
1,微分中值定理及其相互关系罗尔定理
0)(f
x
y
o a
b
)(xfy?
)(
)(
)()(
)()(
F
f
aFbF
afbf
ab
afbff
)()()(?
)()(
)(
bfaf
xxF
10)1(!)1( 1 ))(( nnn xxf?
柯西中值定理
xxF?)(
x
y
o
a b
)(xfy?
泰勒中值定理
))(()()( 000 xxxfxfxf
nnn xxxf ))(( 00)(!1
0?n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,微分中值定理的主要应用
(1) 研究函数或导数的性态
(2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,有关中值问题的解题方法利用 逆向思维,设辅助函数,一般解题方法,
(1)证明含一个中值的等式或根的存在,
(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数,
(3) 若结论中含两个或两个以上的中值,
可用原函数法找辅助函数,
多用 罗尔定理,
可考虑用柯西中值定理,
必须 多次应用中值定理,
(4) 若已知条件中含高阶导数,多考虑用 泰勒公式,
(5) 若结论为不等式,要注意 适当 放大 或 缩小 的技巧,
有时也可考虑 对导数用中值定理,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,设函数 在 内可导,且证明 在 内有界,
证,取点,),(0 bax?再取异于 0x 的点,),( bax? 对为端点的区间上用拉氏中值定理,得
))(()()( 00 xxfxfxf
))(()()( 00 xxfxfxf
00 )()( xxfxf
)()( 0 abMxf K? (定数 )
可见对任意,),( bax?,)( Kxf?即得所证,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,设 在 内可导,且证明至少存在一点 使上连续,在证,问题转化为证,0)(2)( ff
设辅助函数 )()( 2 xfxx
显然 在 [ 0,1 ] 上满足罗尔定理条件,故至使
0)()(2)( 2 ff
即有少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,且试证存在证,欲证,2
)()(
f
ba
f
因 f ( x ) 在 [ a,b ] 上满足拉氏中值定理条件,故有
),(,))(()()( baabfafbf
,],[)( 2 上满足柯西定理条件在及又因 baxxf
将 ①代入②,化简得故有
①
②
),(2)( fbaf ),(,ba
即要证,2
)())((
22?
f
ab
abf
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,设实数 满足下述等式
012 10 n aaa n?
证明方程 在 ( 0,1) 内至少有一个实根,
证,令,)( 10 nn xaxaaxF则可设 12
10
12)(
nn x
n
axaxaxF?
且?)0(F
由罗尔定理知存在一点,)1,0( 使即,10010?内至少有一个实根），（在 nn xaxaa?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,0)1(?F
例 5.
机动 目录 上页 下页 返回 结束设函数 f (x) 在 [0,3] 上连续,在 (0,3) 内可导,且
,1)3(,3)2()1()0( ffff 使,)3,0(
.0)(f
分析,所给条件可写为 1)3(,13 )2()1()0( ffff
(03考研 )
试证必存在想到找一点 c,使 3 )2()1()0()( fffcf
证,因 f (x) 在 [0,3]上连续,所以在 [0,2]上连续,且在
[0,2]上有最大值 M 与最小值 m,故
Mfffm )2(),1(),0( Mm fff 3 )2()1()0(
由 介值定理,至少存在一点 使,]2,0[?c
3 )2()1()0()( fffcf1?
,1)3()( fcf?,)3,(,]3,[)( 内可导在上连续在且 ccxf
由 罗尔定理 知,必存在,0)(,)3,0()3,( fc 使例 6,设函数 在 上二阶可导,
且 证明证,,]1,0[ x 由泰勒公式得
)0(f
)1(f
两式相减得 221221 )()1)(()(0 xfxfxf
221221 )()1)(()( xfxfxf
221221 )()1()( xfxf
)1(21 xx ]1,0[,1 x
)(xf? xxf )( 221 )( xf )10(
)10()1)(()1)(()( 221 xfxxfxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束二,导数应用
1,研究函数的性态,
增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率
2,解决最值问题
目标函数的建立与简化
最值的判别问题
3,其他应用,求不定式极限 ; 几何应用 ;
相关变化率 ; 证明不等式 ; 研究方程实根等,
4,补充定理 (见下页 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束设函数 )(,)( xgxf 在 上具有 n 阶导数,
且 )1,,2,1,0()()()1( )()( nkagaf kk?
则当 时证,令,)()()( xgxfx 则;)1,,1,0(0)()( nkak )(0)()( axxn
利用 在 处的 n － 1 阶泰勒公式得
)(x?
因此 ax? 时,)()( xgxf?
n
n
axn )(! )(
)(
定理,
机动 目录 上页 下页 返回 结束的连续性及导函数例 7,填空题
(1) 设函数其导数图形如图所示,
机动 目录 上页 下页 返回 结束单调减区间为 ;
极小值点为 ;
极大值点为,
)(xf? ),0(),,( 21 xx
),(),0,( 21xx
21,xx
0?x
提示,
的正负作 f (x) 的示意图,
单调增区间为 ;
o 2x1x
y
x
o x
)(xf
1x 2x
o
)(xf
x
.
在区间 上是凸弧 ;
拐点为
),0(),,( 21 xx
))0(,0(,))(,(,))(,( 2211 fxfxxfx
提示,
的正负作 f (x) 的示意图,
形在区间 上是凹弧 ;
则函数 f (x) 的图
(2) 设函数的图形如图所示,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),(),0,( 21xx )(xfo 2x1x
y
x
2x1x
]ln)1l n ([)()(1 xxxfxf
例 8,证明 在 上单调增加,
证,)1ln ()(ln 1xxxf
]ln)1ln([ xxx
令,ln)( ttF?在 [ x,x +1 ]上利用拉氏中值定理,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
]11 1[ xxx
)10(1ln)1l n ( xxxx
故当 x > 0 时,从而 在 上单调增,
得例 9,设 在 上可导,且证明 f ( x ) 至多只有一个零点,
证,设 )()( xfex x
则 ])()([)( xfxfex x 0?
故 在 上连续单调递增,从而至多只有一个零点,
又因,0?xe 因此 )(xf 也 至多只有一个零点,
思考,若题中 改为,0)()( xfxf
其它不变时,如何设辅助函数? )()( xfex x
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 10.求数列 的最大项,
证,设 ),1()(
1 xxxf x用对数求导法得
)ln1()( 21 xxxf x
令 得 ),1[ e ),(e0
ee1
因为 在 ),1[只有唯一的极大点,ex? 因此在处 也取最大值,
又因中的最大项,
极大值机动 目录 上页 下页 返回 结束列表判别,
例 11.证明,)0(1
a rc t a n)1l n (?
xx
xx
证,设 xxxx a r c ta n)1ln()1()(,则 0)0(
21
1)1l n (1)(
xxx )0(0 x
故 0?x 时,)(x? 单调增加,从而 0)0()( x
即 )0(1
a rc t a n)1l n (?
xx
xx
思考,证明 )10(a rc s i n
)1l n (
1
1
x
x
x
x
x
时,如何设辅助函数更好?
xxxxx a rc s in1)1ln ()1()( 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束提示,
例 12,设 且在 上 存在,且单调递减,证明对一切 有证,设,)()()()( xfafxafx 则
)()()( xfxafx
所以当令,bx? 得即所证不等式成立,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 13.
证,只要证机动 目录 上页 下页 返回 结束
,1)1()( 2 xexxf x设 0)0(?f则
,1)21()( 2 xexxf 0)0(f
)10(04)( 2 xexxf x
利用一阶泰勒公式,得 2
!2
)()0()0()( xfxffxf
)10(02 22 xxe
故原不等式成立,
例 14.证明当 x > 0 时,
证,令,)1(ln)1()( 22 xxxxf 则 0)1(?f
xxxf ln2)( 0)1(f
xxf ln2)(,1 21x 02)1(f
3
2 )1(2)(
x
xxf
xx 1,(2 x
法 1 由 )(xf 在 1?x 处的二阶泰勒公式,得
)(xf
2)1(
!2
)1( xf 3)1(
!3
)( xf?
2)1( x
3
3
2
)1(
3
1 x
xx 在?,0(?0?
故所证不等式成立,
与 1 之间 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束法 2 列表判别,
,)1(ln)1()( 22 xxxxf 0)1(?f
2ln2)( 1 xxxxf 0)1(f
,1ln2)( 21 xxxf 02)1(f
3
2 )1(2)(
x
xxf x
)(xf
)(xf
)(xf?
)(xf
1)1,0( ),1(
0
0
2
0?
,0)(0 xfx 时故当 即,)1(ln)1( 22 xxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束法 3 利用 极值第二判别法,
,0)(1 的唯一根是易知 xfx
的唯一为 )(1 xfx
故 0)1(?f 也是最小值,
因此当 0?x 时,0)(?xf 即
22 )1(ln)1( xxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,)1(ln)1()( 22 xxxxf 0)1(?f
2ln2)( 1 xxxxf 0)1(f
,1ln2)( 21 xxxf 02)1(f
，极小点
,0)1(f且
1
2
2
)1(
ln)1(
x
xxy
例 15,求解法 1 利用中值定理求极限原式 )1(1
1lim
2
2
n
a
n
an
n? 之间）与在 1(?n
a
n
a?
2
2
1)1(
l i m
a
nn
n
n
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机动 目录 上页 下页 返回 结束解法 2 利用泰勒公式令,a r c ta n)( xxf?则,
1
1)(
2xxf 22 )1(
2)(
x
xxf
)()0()0()0()( 22!21 xoxfxffxf
)( 2xox
原式 2lim nn
)0()1a rc t a n(a rc t a nlim 2
an anan
n
2
2
1
12 )(
)1(
lim
n
n
n
o
nn
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)]1([
2non
a
)]
)1(
1(
1
[ 2
n
o
n
a
机动 目录 上页 下页 返回 结束解法 3 利用罗必塔法则原式 21
a rctana rctan
lim
x
x
b
x
a
x
xt
1?令
20
a rc t a na rc t a nlim
t
tbta
t
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P180 5 ; 7 ; 8 ; 10 (2),(3) ;
11 (1) ; 17
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