第二节二、反函数的求导法则三、复合函数求导法则四、初等函数的求导问题一、四则运算求导法则机动 目录 上页 下页 返回 结束函数的求导法则第二章思路,
( 构造性定义 )
求导法则其它基本初等函数求导公式
0
xcos
x
1
)( C
)s in( x
)ln( x
证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容机动 目录 上页 下页 返回 结束一、四则运算求导法则定理 1.
的和,差,积,商 (除分母为 0的点外 ) 都在点 x 可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题,
)0)((?xv
机动 目录 上页 下页 返回 结束此法则可推广到任意有限项的情形,
证,设,则
vuvu )()1(
)()()( xvxuxf
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
h
xvxuhxvhxu
h
])()([])()([lim
0
h
xuhxu
h
)()(lim
0
h
xvhxv
h
)()(lim
0
)()( xvxu 故结论成立,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例如,
(2) vuvuvu)(
证,设,)()()( xvxuxf?则有
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
h
xvxuhxvxu
h
)()()()(lim
0
故结论成立,)()()()( xvxuxvxu
h
hxu
h
)(lim
0
)(xu )( hxv h xv )( (xu )( hxv?
推论,)()1 uC
)()2 wvu
uC?
wvuwvuwvu
)lo g()3 xa
axlnln ax ln1?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
( C为常数 )
例 1,
解,
xsin4?
1(21 )1sin?
,)1s i nc o s4( 3 xxxy
y )(?x
x?
)1s i nc o s4(2 1 3 xxx 23( xx )
1xy 1co4? )1s in43(
1c o s21sin2727
)1s i nc o s4( 3 xx
)1s i nc o s4( 3 xx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)()(
lim
0 xvhxvh
)()(
)()()()(
xvhxv
hxvxuxvhxu
h
)()( xvxu?
(3) 2v
vuvu
v
u
证,设?)(xf 则有
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
hh
lim
0?
,)( )(xv xu
)(
)(
hxv
hxu
)(
)(
xv
xu?
h
hxu )(?)(xu? )(xv
h
hxv )(?)(xu? )(xv?
故结论成立,)(
)()()()(
2 xv
xvxuxvxu
推论, 2v
vC
v
C
机动 目录 上页 下页 返回 结束
( C为常数 )
)(c sc x
xsi n1 x2si n? )(s in x x2si n?
例 2,求证证,
xxx c o ss i n)(t a n? x
2cos xx c o s)(s in
)( c o ss in xx
x2cosx
2cos x2sin? x2sec?
xcos?
xx c o tc s c
类似可证,,c s c)(c o t 2 xx,ta ns e c)( s e c xxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)( xf
二、反函数的求导法则定理 2,
y 的某邻域内单调可导,
证,在 x 处给增量 由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此
,)()( 1 的反函数为设 yfxxfy 在)(1 yf?
0])([ 1 yf且
d
d?
x
y或
,0x
)()( xfxxfy,0?
x
y
yx?,00 yx 时必有
x
yxf
x?
0
l i m)( l i m 0 y
yx
y
x
d
d
1 ])([
1 yf
1
1 ])([
1 yf
1
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求反三角函数及指数函数的导数,
解,1) 设 则,)2,2(
y
)(sin?y ycos
1?
y2si n1
1
类似可求得
xx a rc sin2a rc c o s利用
0c o s y,则机动 目录 上页 下页 返回 结束
2) 设,)1,0( aaay x则 ),0(,lo g yyx a
)(l o g
1
ya
1?
ayln
1 ay ln?
xx e)e(
)a rc s in( x)a rc c o s( x
)a rc ta n( x)c o ta r c( x
aaa xx ln)( xe)e(
特别当 e?a 时,
小结,
机动 目录 上页 下页 返回 结束在点 x 可导,
lim
0x x
y
x
y
x?
0
l i mdd
三、复合函数求导法则定理 3,在点可导 复合函数 且
)()(dd xgufxy
在点 x 可导,
证,)( ufy 在点 u 可导,故 )(lim 0 ufu
y
u
uuufy)(（当 时 )
故有
)()( xguf
u
y
)( uf )0()( xxuxuufxy?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例如,
xydd
)()()( xvuf
y
u
v
x
uydd?vudd xvdd
关键,搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,
推广,此法则可推广到多个中间变量的情形,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求下列导数,
解,(1) )()( ln xex )ln( x? x
1 x
)()( ln xxx ex )ln( xx x? )1ln(?x(2)
(3)
2)( s h
xx ee
x 2? xe xe xch?
说明,类似可得;sh)( c h xx
axx ea ln?
)(th?x )(?xa
x
xx
ch
shth?
2sh
xx ee
x
;ch12 x?,ln aa x?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,设 求解,)c o s(
1
xe? ))s in(( xe xe?
)t a n( xx ee
思考,若 存在,如何求 ))c o s (( ln xef 的导数?
x
f
d
d
))c o s (ln( xef ))c o s (( ln xe
)co s (ln)( xeuuf这两个记号含义不同
练习,设,) ) )((( xfffy?,,)( yxf?求可导其中机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,设解,1
1
2 xx 1 12
1
2?x?x?
1
1
2 x
记,)1(lna rs h 2 xxx则
)(a rs h x 1
1
2?x
(反双曲正弦 )
其它反双曲函数的导数见 P94例 16,
2sh
xx ee
x
的反函数机动 目录 上页 下页 返回 结束四、初等函数的求导问题
1,常数和基本初等函数的导数 (P94))(C
0)(?x 1 x
)(s in x xcos)(c o s x xsin?
)(ta n x x2sec)(c o t x x2csc?
)(s e c x xx ta ns e c)(c sc x xx c o tc s c?
)( xa aa x ln)( xe xe
)( lo g xa axln1)(ln x x1
)( a r c s in x21
1
x)( a r c c o s x 21
1
x
)(a rc ta n x21 1x)c o t(a rc x21 1x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,有限次四则运算的求导法则
)( vu vu)( uC uC?
)( vu vuvu
v
u
2v
vuvu
( C为常数 )
)0(?v
3,复合函数求导法则
)(,)( xuufy
xydd
)()( xuf
4,初等函数在定义区间内可导,
)(C 0
)(s in x xcos
)(ln x x1
由定义证,
说明,最基本的公式
u
y
d
d
x
u
d
d?
其它公式用求导法则推出,且导数仍为初等函数机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,求解,
,
11
11
xx
xxy,y?
2
122 2 xxy? 12 xx
1 y
12
1
2?
x
)2( x?
1
1
2?
x
x
例 8,设 ),0( aaaxy xaa axa
解,1 aaa xay aa ax ln? 1 axa
aa xa ln?
求,y?
aa x ln?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 9,求解,
,1a r c t a n 2s i n 2 xey x,y?
1a r c t a n) ( 2 xy
) (2s i n xe?
2s in xe 2cos x? x2?
2
1
x 12
1
2?
x
x2?
x2? 1a r c t a n 2?x2s in xe2cos x
2s in xe
1
1
2?
xx
关键,搞清复合函数结构由外向内逐层求导机动 目录 上页 下页 返回 结束例 10,设 求,
11
11ln
4
11a r c t a n
2
1
2
2
2
x
xxy
.y?
解,y
22 )1(1
1
2
1
x 21 x
x
)11l n ()11l n ( 22 xx
11
1
4
1
2
x 21 x
x
11
1
2
x
21 x
x
212
1
x
x
22 1x21x?
23 1)2(
1
xxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结求导公式及求导法则 (见 P94)
注意,1),)( vuuv v
u
v
u
2) 搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,
4
1
1
4
3?
x1.
xx
1?
4
3
1
x?
思考与练习对吗?
2
11
4
3 41
xx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设 其中 )(x? 在 ax?
因 )()()()( xaxxxf
故 )()( aaf
ax
afxfaf
ax?
)()(lim)(
ax
xax
ax?
)()(lim?
)(lim xax )(a
阅读 L.P 51 例 1
正确解法,
)(af? 时,下列做法是否正确?在求处连续,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,求下列函数的导数解,(1) 1
b
x
aby
(2)y )( xx
b
a?
b
aln
或
x
a
by
a
b
a
b x ln
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4,设 ),99()2)(1()( xxxxxf?).0(f?求解,方法 1 利用导数定义,
0
)0()(lim)0(
0?
x
fxff
x
)99()2)(1(lim 0 xxxx?!99
方法 2 利用求导公式,
)( xf )(?x x?
!99)0( f
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P 96
2(2),(8),(10) ; 3 (2),(3) ; 4 ;
6 (6),(8) ; 7 (3),(7),(10) ;
8 (4),(5),(8),(10) ; 10;
11 (4),(8) ; 12 (3),(8),(10)
第三节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 1,设解：
2,设,) ) )((( xfffy?
解,)(fy ))(( xff )(f )(xf )(xf
其中 )(xf 可导,求,y?
求机动 目录 上页 下页 返回 结束
( 构造性定义 )
求导法则其它基本初等函数求导公式
0
xcos
x
1
)( C
)s in( x
)ln( x
证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容机动 目录 上页 下页 返回 结束一、四则运算求导法则定理 1.
的和,差,积,商 (除分母为 0的点外 ) 都在点 x 可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题,
)0)((?xv
机动 目录 上页 下页 返回 结束此法则可推广到任意有限项的情形,
证,设,则
vuvu )()1(
)()()( xvxuxf
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
h
xvxuhxvhxu
h
])()([])()([lim
0
h
xuhxu
h
)()(lim
0
h
xvhxv
h
)()(lim
0
)()( xvxu 故结论成立,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例如,
(2) vuvuvu)(
证,设,)()()( xvxuxf?则有
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
h
xvxuhxvxu
h
)()()()(lim
0
故结论成立,)()()()( xvxuxvxu
h
hxu
h
)(lim
0
)(xu )( hxv h xv )( (xu )( hxv?
推论,)()1 uC
)()2 wvu
uC?
wvuwvuwvu
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axlnln ax ln1?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
( C为常数 )
例 1,
解,
xsin4?
1(21 )1sin?
,)1s i nc o s4( 3 xxxy
y )(?x
x?
)1s i nc o s4(2 1 3 xxx 23( xx )
1xy 1co4? )1s in43(
1c o s21sin2727
)1s i nc o s4( 3 xx
)1s i nc o s4( 3 xx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)()(
lim
0 xvhxvh
)()(
)()()()(
xvhxv
hxvxuxvhxu
h
)()( xvxu?
(3) 2v
vuvu
v
u
证,设?)(xf 则有
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
hh
lim
0?
,)( )(xv xu
)(
)(
hxv
hxu
)(
)(
xv
xu?
h
hxu )(?)(xu? )(xv
h
hxv )(?)(xu? )(xv?
故结论成立,)(
)()()()(
2 xv
xvxuxvxu
推论, 2v
vC
v
C
机动 目录 上页 下页 返回 结束
( C为常数 )
)(c sc x
xsi n1 x2si n? )(s in x x2si n?
例 2,求证证,
xxx c o ss i n)(t a n? x
2cos xx c o s)(s in
)( c o ss in xx
x2cosx
2cos x2sin? x2sec?
xcos?
xx c o tc s c
类似可证,,c s c)(c o t 2 xx,ta ns e c)( s e c xxx
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)( xf
二、反函数的求导法则定理 2,
y 的某邻域内单调可导,
证,在 x 处给增量 由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此
,)()( 1 的反函数为设 yfxxfy 在)(1 yf?
0])([ 1 yf且
d
d?
x
y或
,0x
)()( xfxxfy,0?
x
y
yx?,00 yx 时必有
x
yxf
x?
0
l i m)( l i m 0 y
yx
y
x
d
d
1 ])([
1 yf
1
1 ])([
1 yf
1
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求反三角函数及指数函数的导数,
解,1) 设 则,)2,2(
y
)(sin?y ycos
1?
y2si n1
1
类似可求得
xx a rc sin2a rc c o s利用
0c o s y,则机动 目录 上页 下页 返回 结束
2) 设,)1,0( aaay x则 ),0(,lo g yyx a
)(l o g
1
ya
1?
ayln
1 ay ln?
xx e)e(
)a rc s in( x)a rc c o s( x
)a rc ta n( x)c o ta r c( x
aaa xx ln)( xe)e(
特别当 e?a 时,
小结,
机动 目录 上页 下页 返回 结束在点 x 可导,
lim
0x x
y
x
y
x?
0
l i mdd
三、复合函数求导法则定理 3,在点可导 复合函数 且
)()(dd xgufxy
在点 x 可导,
证,)( ufy 在点 u 可导,故 )(lim 0 ufu
y
u
uuufy)(（当 时 )
故有
)()( xguf
u
y
)( uf )0()( xxuxuufxy?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例如,
xydd
)()()( xvuf
y
u
v
x
uydd?vudd xvdd
关键,搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,
推广,此法则可推广到多个中间变量的情形,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求下列导数,
解,(1) )()( ln xex )ln( x? x
1 x
)()( ln xxx ex )ln( xx x? )1ln(?x(2)
(3)
2)( s h
xx ee
x 2? xe xe xch?
说明,类似可得;sh)( c h xx
axx ea ln?
)(th?x )(?xa
x
xx
ch
shth?
2sh
xx ee
x
;ch12 x?,ln aa x?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,设 求解,)c o s(
1
xe? ))s in(( xe xe?
)t a n( xx ee
思考,若 存在,如何求 ))c o s (( ln xef 的导数?
x
f
d
d
))c o s (ln( xef ))c o s (( ln xe
)co s (ln)( xeuuf这两个记号含义不同
练习,设,) ) )((( xfffy?,,)( yxf?求可导其中机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,设解,1
1
2 xx 1 12
1
2?x?x?
1
1
2 x
记,)1(lna rs h 2 xxx则
)(a rs h x 1
1
2?x
(反双曲正弦 )
其它反双曲函数的导数见 P94例 16,
2sh
xx ee
x
的反函数机动 目录 上页 下页 返回 结束四、初等函数的求导问题
1,常数和基本初等函数的导数 (P94))(C
0)(?x 1 x
)(s in x xcos)(c o s x xsin?
)(ta n x x2sec)(c o t x x2csc?
)(s e c x xx ta ns e c)(c sc x xx c o tc s c?
)( xa aa x ln)( xe xe
)( lo g xa axln1)(ln x x1
)( a r c s in x21
1
x)( a r c c o s x 21
1
x
)(a rc ta n x21 1x)c o t(a rc x21 1x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,有限次四则运算的求导法则
)( vu vu)( uC uC?
)( vu vuvu
v
u
2v
vuvu
( C为常数 )
)0(?v
3,复合函数求导法则
)(,)( xuufy
xydd
)()( xuf
4,初等函数在定义区间内可导,
)(C 0
)(s in x xcos
)(ln x x1
由定义证,
说明,最基本的公式
u
y
d
d
x
u
d
d?
其它公式用求导法则推出,且导数仍为初等函数机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,求解,
,
11
11
xx
xxy,y?
2
122 2 xxy? 12 xx
1 y
12
1
2?
x
)2( x?
1
1
2?
x
x
例 8,设 ),0( aaaxy xaa axa
解,1 aaa xay aa ax ln? 1 axa
aa xa ln?
求,y?
aa x ln?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 9,求解,
,1a r c t a n 2s i n 2 xey x,y?
1a r c t a n) ( 2 xy
) (2s i n xe?
2s in xe 2cos x? x2?
2
1
x 12
1
2?
x
x2?
x2? 1a r c t a n 2?x2s in xe2cos x
2s in xe
1
1
2?
xx
关键,搞清复合函数结构由外向内逐层求导机动 目录 上页 下页 返回 结束例 10,设 求,
11
11ln
4
11a r c t a n
2
1
2
2
2
x
xxy
.y?
解,y
22 )1(1
1
2
1
x 21 x
x
)11l n ()11l n ( 22 xx
11
1
4
1
2
x 21 x
x
11
1
2
x
21 x
x
212
1
x
x
22 1x21x?
23 1)2(
1
xxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结求导公式及求导法则 (见 P94)
注意,1),)( vuuv v
u
v
u
2) 搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,
4
1
1
4
3?
x1.
xx
1?
4
3
1
x?
思考与练习对吗?
2
11
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3 41
xx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设 其中 )(x? 在 ax?
因 )()()()( xaxxxf
故 )()( aaf
ax
afxfaf
ax?
)()(lim)(
ax
xax
ax?
)()(lim?
)(lim xax )(a
阅读 L.P 51 例 1
正确解法,
)(af? 时,下列做法是否正确?在求处连续,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,求下列函数的导数解,(1) 1
b
x
aby
(2)y )( xx
b
a?
b
aln
或
x
a
by
a
b
a
b x ln
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4,设 ),99()2)(1()( xxxxxf?).0(f?求解,方法 1 利用导数定义,
0
)0()(lim)0(
0?
x
fxff
x
)99()2)(1(lim 0 xxxx?!99
方法 2 利用求导公式,
)( xf )(?x x?
!99)0( f
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P 96
2(2),(8),(10) ; 3 (2),(3) ; 4 ;
6 (6),(8) ; 7 (3),(7),(10) ;
8 (4),(5),(8),(10) ; 10;
11 (4),(8) ; 12 (3),(8),(10)
第三节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 1,设解：
2,设,) ) )((( xfffy?
解,)(fy ))(( xff )(f )(xf )(xf
其中 )(xf 可导,求,y?
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