第五章积分学 不定积分定积分定积分第一节一,定积分问题举例二,定积分的定义三,定积分的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束定积分的概念及性质第 五 章一、定积分问题举例
1,曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积 A,
A
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)( xfy?
矩形面积梯形面积
1x ix1?ixa
y
o
解决步骤,
1) 大化小,在区间 [a,b] 中 任意 插入 n –1 个分点
bxxxxxa nn 1210?
],[ 1 iii xx
用直线 ixx? 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形 ;
2) 常代变,在第 i 个窄曲边梯形上 任取作以 ],[ 1 ii xx? 为底,)( if?
为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积 得
)()( 1 iiiiii xxxxfA?i?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3) 近似和,?

n
i
iAA
1

n
i
ii xf
1
)(?
4) 取极限,令 则曲边梯形面积


n
i
iAA
10
l i m


n
i
ii xf
10
)(lim?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a
y
o 1x ix1?ix
i?
2,变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤,
1) 大化小,将它分成在每个小段上物体经
2) 常代变,得
iii tvs )(? ),,2,1( ni
已知速度机动 目录 上页 下页 返回 结束
n 个小段过的路程为
3) 近似和,
4) 取极限,
上述两个问题的 共性,
解决问题的方法步骤相同,
“大化小,常代变,近似和,取极限,
所求量极限结构式相同,特殊乘积和式的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束
a b xo
二、定积分定义 ( P225 )
任一种 分法
,210 bxxxxa n任取
i?
总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数 在区间上的 定积分,
1x ix1?ix
ba xxf d)(
即
b
a xxf d)(
i
n
i
i xf
10
)(l i m?
此时称 f ( x ) 在 [ a,b ] 上 可积,
记作机动 目录 上页 下页 返回 结束
b
a
xxf d)( i
n
i
i xf
10
)(l i m?
积分上限积分下限 被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间],[ ba
定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即
ba xxf d)( ba ttf d)( ba uuf d)(
机动 目录 上页 下页 返回 结束定积分的几何意义,
曲边梯形面积曲边梯形面积的负值
a b
y
x1A 2A
3A
4A
5A
54321d)( AAAAAxxf
b
a
各部分面积的代数和机动 目录 上页 下页 返回 结束
o 1x
y
ni
定理 1.
定理 2,且只有有限个间断点可积的充分条件,
(证明略 )
例 1,利用定义计算定积分解,将 [0,1] n 等分,分点为取机动 目录 上页 下页 返回 结束
2xy?
iiii xxf 2)(则 3
2
n
i?
o 1x
y
ni
ii
n
i
xf
)(
1

n
i
i
n 1
2
3
1
)12)(1(611 3 nnnn
)12)(11(61 nn
i
n
i
i xxx
1
2
0
1
0
2 limd?
nlim
3
1?
2xy?
注注 目录 上页 下页 返回 结束
1
21lim)2(


p
ppp
n n
n
n
n
i
p
n
1lim
1

n
i
xx p d10 i?
ix?
例 2,用定积分表示下列极限,?

n
in n
i
n 1 1
1l im)1(
1
21lim)2(


p
ppp
n n
n?
解,?

n
in n
i
n 1 1
1l im)1(
n
n
in
11l i m
1


i?
ix?
xx d110
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x0 1
ni 1? ni
说明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,],[)( baCxf?设,d)( 存在则? ba xxf根据定积分定义可得如下近似计算方法,
),,1,0( nixiax i
,n abx
),,1,0()( niyxf ii记
ba xxf d)(.1 xyxyxy n 110?
)( 110 nn ab yyy?
将 [a,b] 分成 n 等份,
a bxo
y
ix1?ix
(左矩形公式 )
)( 21 nn ab yyy(右矩形公式 )
ba xxf d)(.2 xyxyxy n21
ba xxf d)(.3
xyy ii ][21 1
)()(21 110 nn yyyyn ab?(梯形公式 )
1
1
n
i
为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森机动 目录 上页 下页 返回 结束
a bxo
y
ix1?ix
公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用,
三、定积分的性质 (设所列定积分都存在 )
0d)( aa xxf
ba xd.2
( k 为常数 )
bababa xxgxxfxxgxf d)(d)(d)]()([.4
证,iii
n
i
xgf

)]()([lim
10

左端
ii
n
i
ii
n
i
xgxf

)(lim)(lim
1010

= 右端
ab
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,当 bca 时,
因 在 上可积,
所以在分割区间时,可以永远取 c 为分点,于是?
],[
)(
ba ii
xf
],[
)(
ca ii
xf
],[
)(
bc ii
xf?
a bc
0令
ba xxf d)(? ca xxf d)( bc xxf d)(
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a b c
当 a,b,c 的相对位置任意时,例如,cba
则有
ca xxf d)(? ba xxf d)( cb xxf d)(
ca xxf d)( ba xxf d)( cb xxf d)(
ca xxf d)( bc xxf d)(
机动 目录 上页 下页 返回 结束
6,若在 [a,b] 上
0)(
1

ii
n
i
xf
则证,
ba xxf d)( 0)(l im 10 ii
n
i
xf?
推论 1,若在 [a,b] 上 则机动 目录 上页 下页 返回 结束推论 2.
证,)( xf )( xf )( xf?
)( ba?
xxfxxfxxf bababa d)(d)(d)(
即 xxfxxf
b
a
b
a d)(d)(
7,设,)(m in,)(m a x ],[],[ xfmxfM baba 则
)( ba?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,试证,
证,设?)(xf,
sin
x
x
则在 ),0( 2?上,有
)( xf 2
s i nc o s
x
xxx? )ta n( xx
2
cosx
0?
)0()()( fxff2?
即?
2,1)( xf ),0(?x
2?
故 xxxfx d1d)(d
222
000
2
即 2d
si n1 2
0
x
x
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
8,积分中值定理则至少存在一点 使
))((d)( abfxxfba
证,,,],[)( Mmbaxf 别为上的最小值与最大值分在设则由 性质 7 可得根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在 ],[ ba
使因此定理成立,
性质 7 目录 上页 下页 返回 结束
o xba
y )( xfy?
说明,
可把
)(
d)(
f
ab
xxf
b
a?
故它是有限个数的平均值概念的推广,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
积分中值定理对因例 4,计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度,
解,已知自由落体速度为
tgv?
故所求平均速度
2
2
11 Tg
T 2
Tg?
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,定积分的定义 — 乘积和式的极限
2,定积分的性质
3,积分中值定理机动 目录 上页 下页 返回 结束矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算
0 1 x
n1 n2 nn 1?
思考与练习
1,用定积分表示下述极限,
解,?

1
0
s i nl i m
n
kn n
kI?
1
n

0 dsi n
1 xx
n? n?2 nn?)1(?
0? x
或 )(s inl im
1
0


n
kn n
kI?
n
1 1
0 ds i n xx?
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考,如何用定积分表示下述极限提示,?

n
kn n
kI
1
s inl im?
1
n

n
n
nn
si n1l i m

nnn
n
)1(sin1l i m

0 dsi n1 xx极限为 0 !
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,P233 题 3 3,P233 题 8 (2),(4)
题 8(4) 解,设,)1ln()( xxxf则
xxf 1
11)( ]1,0(?x,0?
)(xf
]1,0(,0)0()( xfxf
0d)(10 xxf
即 xxxx d)1(lnd
1
0
1
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P233 2 (2),4
6 (3),(4) ; 7(3) ;
8 (1),(5)
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