习题课一、与定积分概念有关的问题的解法机动 目录 上页 下页 返回 结束二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题第 五 章一、与定积分概念有关的问题的解法
1,用定积分概念与性质求极限
2,用定积分性质估值
3,与变限积分有关的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求,d1l i m
1
0 xe
ex
x
xn
n
解,因为 时,x
xn
e
ex
10 所以x
e
ex
x
xn
d
1
1
00 xx
n d1
0 1
1
n
利用夹逼准则得 0d1l i m
1
0 xe
ex
x
xn
n
,nx?
因为 依赖于 且
1) 思考例 1下列做法对吗?
利用积分中值定理原式不对 !?,n,10
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项,
px?1
1
p
p
x
x
11 )10( x1 px1
如,P265 题 4
解,将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：

n
k k
n
k
n1 1
si n?
已知
,2ds i n1s i nlim
1
01?


xx
nn
kn
kn
利用 夹逼准则 可知,
2
I

n
k nn
k
n
n
1
1s i n
1

n
k nn
k
1
1s i n?
(考研 98 )
11lim
n
n
n
例 2,求机动 目录 上页 下页 返回 结束思考,
提示,由上题
1
si nlim
nIJ
n
n
1
1
)1(si n
n
n
n
n
1
1
)1(s i n
l i m

n
n
n
n n
2?
2?00
机动 目录 上页 下页 返回 结束故练习,1.求极限 ).21(lim 22222 nn
n
n
n
n
n
n?


解,原式 nn
1lim



n
i n
i
1
2)(1
1
xx d1 110 2 4
2,求极限
).22
1
2(lim
1
2
1
21
nn nnn
n
n
nn


提示,原式 nn
1lim


n
i
n
i
1
2
1lim n
n
n
n
i
n
i
1
2 xx d21
0
1
1lim
nn

n
i
n
i
1
2
左边 = 右边机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,估计下列积分值解,因为?4
1,
4
1
2x
∴ xd2
11
0
x
x
d
4
11
0 2
即?2
1
6

机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,证明证,令 则令 得故机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,设 在 上是单调递减的连续函数,试证
1,0?q 都有不等式证明,显然 1,0 qq 时结论成立,
(用积分中值定理 )
)( 1?fq )()1( 2?fq
10 q当 时,
故所给不等式成立,
机动 目录 上页 下页 返回 结束明对于任何例 6.
解：
且由方程确定 y 是 x 的函数,求方程两端对 x 求导,得令 x = 1,得再对 y 求导,得
,3,1 Cy 得令机动 目录 上页 下页 返回 结束故例 7,求可微函数 f (x) 使满足解,等式两边对 x 求导,得
)()(2 xfxf? xxxf c o s2 si n)(
不妨设 f (x)≠0,则
xxfxf d)()( xxx dc o s2 si n21
Cx )c o s2l n (21
机动 目录 上页 下页 返回 结束注意 f (0) = 0,得 3ln2
1?C
3ln21)c o s2l n (21)( xxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Cxxf )c o s2l n (21)(
例 8,求多项式 f (x) 使它满足方程解,令,txu? 则
1
0 d)( ttxf?
x
x uuf0
1 d)(
代入 原方程得?
x uuf
0 d)(
x ttfx
0 d)1( 24 2 xx
两边求导,)(xf
x ttf
0 d)1( )1( xfx xx 44 3
可见 f (x) 应为二次多项式,设代入 ① 式比较同次幂系数,得故
①
机动 目录 上页 下页 返回 结束再求导,
二、有关定积分计算和证明的方法
1,熟练运用定积分计算的常用公式和方法
2,注意特殊形式定积分的计算
3,利用各种积分技巧计算定积分
4,有关定积分命题的证明方法思考,下列作法是否正确?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 9,求解,令,s in te x 则原式 tt
tt d
s i n
c o sc o s6
2

tt
t d
s i n
s i n12
6
2

ttt d)s i n(c s c2
6

]c o sc o tc s cln[ ttt
6
2
2
3)32(ln
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 10.求解,xxxI d)c o s(s in
2
0
2
xxx dc o ss i n20
xxx d)s i n(c o s40
xxx d)c o s(s i n2
4

]c o s[ s in xx 04
]s ino s[ xx
4
2
)12(2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2?
y
o x4?
xsin
xcos
tttcb ca dc o s 99
例 11.选择一个常数 c,使解,令,cxt 则因为被积函数为奇函数,故选择 c 使
)( cbca
即 2
bac
可使原式为 0,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 12.设解,xxfx d)()1(
1
0
2
0
13
)()1(31 xfx xxfx d)()1(
3
1 1
0
3
xex xx d)1(31 10 23 2
21
0
1)1(2 )1d()1(
6
1 2 xex x
))1(( 2 xu令
10 d6 ueue u 0
1
)1(6 ueue )2(61 e
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 13,若解,令试证,
xxf d)(si n2 0
,xt则
ttft d)(s i n)(0
ttf d)(s i n0 ttft d)(s i n0
xxf d)(si n2 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束因为
xxf d)(s in20
对右端第二个积分令 xt
xxf d)(s in2 20
综上所述
xxf d)(si n2 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 14.证明恒等式证,令则因此,)0()( 2 xCxf 又
4

故所证等式成立,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 15,试证使分析,要证即?
x
a xxg d)(
x
a xxf d)(
故作辅助函数机动 目录 上页 下页 返回 结束至少存在一点证明,令 b
a
x
a
b
a
x
a xxgxxfxxfxxgxF d)(d)(d)(d)()(
在 上连续,在至少使 即
0d)()(d)()( baba xxgfxxfg
因在 上 连续且不为 0,从而不变号,因此故所证等式成立,
机动 目录 上页 下页 返回 结束故由罗尔定理知,
存在一点思考,本题能否用柯西中值定理证明?
如果能,怎样设辅助函数?
要证,
xa ttfxF d)()(
xa ttgxG d)()(
提示,设辅助函数例 15 目录 上页 下页 返回 结束例 16.设函数 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内可导,且
.0)( xf,,
)2(lim 证明存在若
ax
axf
ax?

(1) 在 (a,b) 内 f (x) > 0 ;
(2) 在 (a,b) 内存在点?,使
)(
2
d)(
22
fxxf
ab
b
a
(3) 在 (a,b) 内存在与? 相异的点?,使
ba xxfaabf d)(2))(( 22 (03考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,(1),
)2(lim 存在
ax
axf
ax?
,0)2(lim axfax
由 f (x)在 [a,b]上连续,知 f (a) = 0.,又 0)( xf 所以 f (x)
在 (a,b)内单调增,因此
),(,0)()( baxafxf
(2) 设 )(d)()(,)( 2 bxaxxfxgxxF
x
a,0)()( xfxg则 )(),( xgxF故满足柯西中值定理条件,
于是存在 使),,( ba


a
a
b
a
ttfttf
ab
agbg
aFbF
d)(d)()()(
)()( 22

x
x
a
ttf
x
d)(
)( 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束即 )(
2
d)(
22
fttf
ab
b
a

(3) 因 0)()( ff )()( aff
在 [a,?] 上用拉格朗日中值定理
),(),()( aaf
代入 (2)中结论得
))((
2
d)(
22
afttf
ab
b
a



因此得
b
a xxfaabf d)(
2))(( 22

机动 目录 上页 下页 返回 结束例 17,设证,设且 试证,
ttfxF xa d)()(xa tf t )(d
则 )( xF )(2 ax
xa )(tf )(tf td2 ttfxf tfxf
x
a
d)()( )]()([
2

故 F(x) 单调不减,即 ② 成立,
②
xa ttf d)(?xa tf t )(d
2)( ax
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业 (总习题五 )
P264 2 (3),(5) ; 4 ; 5 (1) ;
7 (2),(5) ; 10
第四节 目录 上页 下页 返回 结束