二、定积分的分部积分法第三节不定积分机动 目录 上页 下页 返回 结束一、定积分的换元法换元积分法分部积分法 定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和分部积分法第 五 章一、定积分的换元法定理 1.设函数 单值函数 满足,
1),],[)( 1 Ct?
2) 在 ],[ 上;)(,)( ba
)(t? )(t
证,所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,
且它们的原函数也存在,
是 的原函数,因此有则
)()( aFbF )]([F? )]([F
)(t? )(t
)(t? )(t? )(t
机动 目录 上页 下页 返回 结束则说明,
1) 当? <?,即 区间换为,时],[ 定理 1 仍成立,
2) 必需注意 换元必换限,原函数中的变量不必代回,
3) 换元公式也可反过来使用,即
))(( tx令 xxf
b
a d)(
或配元 )(t? )(d t?
配元不换限
)(t? )(t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(t? )(t
)(t? )(t
例 1,计算解,令,s in tax? 则,dc o sd ttax?;0,0 tx 时当,,2 tax 时
∴ 原式 = 2a
tta d)2c o s1(2 20
2
)2s i n21(2 tta 02
20? tt dcos 2 22 xay
xo
y
a
机动 目录 上页 下页 返回 结束且例 2,计算解,令,12 xt 则,dd,2
12 ttxtx
,0 时当?x,4 时?x,3?t
∴ 原式 = ttt
t
d231 2
12
tt d)3(21 31 2
)331(21 3 tt 13;1?t
机动 目录 上页 下页 返回 结束且例 3.
证,
(1) 若
aa
a xxfxxf 0 d)(2d)(则
xxfaa d)(
(2) 若 0d)(
a
a xxf则 xxf
a d)(
0?
xxf
a d)(
0
ttfa d)(0 xxfa d)(0
xxfxfa d])()([0
时)()( xfxf
时)()( xfxf
偶倍奇零机动 目录 上页 下页 返回 结束
tx令
二、定积分的分部积分法定理 2.,],[)(,)( 1 baCxvxu?设 则
a
b
证,)()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu
)()( xvxu a
b xxvxuxxvxu b
a
b
a d)()(d)()(
)()( xvxu? a
b b
a xxvxu d)()(
机动 目录 上页 下页 返回 结束上积分两端在 ],[ ba
例 4,计算解,原式 = xx a rc s in0
2
1
210 xxx d1 2?
12
)1(d)1(
2
1 2
0
2 2 121 xx
12
21)1( 2x 02
1
12
2
3? 1?
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20 dc o s? ttn20 dc o s? xxn
例 5.证明证,令
,22143231nnnn n 为偶数
n 为奇数
,2 xt则?
2
0 ds i n
xxn 0
22 d)(s i n?
ttn
令 则,c o ss i n)1( 2 xxnu nxv c o s
]s inc o s[ 1 xxI nn 02
20 22 dc o ss i n)1(? xxxn n
0
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20 22 dc o ss in)1(? xxxnI nn
20 22 d)s in1(s in)1(? xxxn n
2)1( nIn
由此得递推公式 21 nnnn II
于是?mI2 mm2 12?
12mI 122?mm
而?0I?20 d
x
,2 201 ds i n
xxI
1?
故所证结论成立,
0I
1I
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22 mI 22 32mm 42 mI 2143
12 mI 12 22mm 32 mI 3254
内容小结基本积分法 换元积分法分部积分法换元 必 换限配元 不 换限边积边代限机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1.
提示,令,txu
________d)(s i nd d 0 100 ttxx x
则
ttxx d)(sin0 100u100sin
x100sin
2,设解法 1 )( 3xf?
解法 2 对已知等式两边求导,思考,若改题为提示,两边求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束得
3,设求解,(分部积分 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P249 1 (4),(10),(16) ; 6 ;
11 (4),(9),(10)
习题课 目录 上页 下页 返回 结束备用题
1,证明证：
是以?为 周期的函数,
tu令是以?为周期的周期函数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束解：
2.
右端
,],[)( 上有连续的二阶导数在设 baxf?)(af且试证
ba xfbxax )(d))((21
a
bxfbxax )())((
2
1
xbaxxfba d)2)((21
分部积分积分再次分部积分
xxfba d)(
a
bxfbax )()2(
2
1
= 左端机动 目录 上页 下页 返回 结束
,0)(?bf
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且它们的原函数也存在,
是 的原函数,因此有则
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1) 当? <?,即 区间换为,时],[ 定理 1 仍成立,
2) 必需注意 换元必换限,原函数中的变量不必代回,
3) 换元公式也可反过来使用,即
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∴ 原式 = 2a
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证,
(1) 若
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(2) 若 0d)(
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二、定积分的分部积分法定理 2.,],[)(,)( 1 baCxvxu?设 则
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例 4,计算解,原式 = xx a rc s in0
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例 5.证明证,令
,22143231nnnn n 为偶数
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22 mI 22 32mm 42 mI 2143
12 mI 12 22mm 32 mI 3254
内容小结基本积分法 换元积分法分部积分法换元 必 换限配元 不 换限边积边代限机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1.
提示,令,txu
________d)(s i nd d 0 100 ttxx x
则
ttxx d)(sin0 100u100sin
x100sin
2,设解法 1 )( 3xf?
解法 2 对已知等式两边求导,思考,若改题为提示,两边求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束得
3,设求解,(分部积分 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P249 1 (4),(10),(16) ; 6 ;
11 (4),(9),(10)
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1,证明证：
是以?为 周期的函数,
tu令是以?为周期的周期函数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束解：
2.
右端
,],[)( 上有连续的二阶导数在设 baxf?)(af且试证
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2
1
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分部积分积分再次分部积分
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= 左端机动 目录 上页 下页 返回 结束
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