习题课
1,定积分的应用几何方面,面积,体积,弧长,表面积,
物理方面,质量,作功,侧压力,引力、
2,基本方法,微元分析法微元形状,条,段,带,片,扇,环,壳 等,
转动惯量,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定积分的应用第 六 章例 1,求抛物线 在 (0,1) 内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小,
解,设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与 x,y 轴的交点分别为所指面积
M
B
A
机动 目录 上页 下页 返回 结束且为最小点,故所求切线为得 [ 0,1] 上的唯一驻点
M
B
A
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,设非负函数曲线 与直线 及坐标轴所围图形
(1) 求函数
(2) a 为何值时,所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解,(1) 由方程得面积为 2,
体积最小?
即故得机动 目录 上页 下页 返回 结束又
(2) 旋转体体积又为唯一极小点,因此 时 V 取最小值,
xo
y
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,证明曲边扇形 绕极轴
.dsin)(32 3 rV ox
)(?rr?
x
d rd
证,先求 上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积微元 r
故
dsin)(
3
2 3rV
ox
旋转而成的体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束
xy 2?
24 xxy
o
)d5(d xu?
故所求旋转体体积为
xxx d5)2( 2251
57516? xxxV d5)2( 2220 51
uV dd 2
A
P
xd 2
ud
例 4,求由 xy 2? 与 24 xxy 所围区域绕 xy 2?
旋转所得旋转体体积,
解,曲线与直线的交点坐标为 ),4,2(A 曲线上任一点
)4,( 2xxxP?到直线 xy 2? 的距离为
),(2 如图为数轴以 uxy?
u
则机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,半径为 R,密度为 的球沉入深为 H ( H > 2 R )
的水池底,水的密度多少功?
解,建立坐标系如图,则对应 ]d,[ xxx?
上球的薄片提到水面上的微功为
1dW xy d2?
提出水面后的微功为
2dW )(dg 2 xRxy
xxRxR d))((g 22
xxRHxR d))((g)( 220
H
),( yx
x
yx
o
现将其从水池中取出,需做微元体积所受重力上升高度
g)( 0 )( xRH
机动 目录 上页 下页 返回 结束因此微功元素为
21 ddd WWW
球从水中提出所做的功为
W xxRxRH
R
R d)()]()([
2200
g
“偶倍奇零”
xxRR d)( 220 ])([g2 00 RH
H
x
o yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,设有半径为 R 的半球形容器如图,
(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水,求水深为为 h (0 < h < R ) 时水面上升的速度,
(2) 设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最少应为多少?
解,过球心的纵截面建立坐标系如图,
o x
y则半圆方程为
h
R
设经过 t 秒容器内水深为 h,.)( th?则机动 目录 上页 下页 返回 结束
o x
y
h
R
(1) 求由题设,经过 t 秒后容器内的水量为而高为 h 的球缺的体积为半球可看作半圆绕 y 轴旋转而成体积元素,yx d2?
22 2 yyRx
)(hV yyRy
h d)2( 2
0
故有两边对 t 求导,得
)2( 2hRh a?
)2( 2hRh
a
at (升 ),
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提对应于
yx d2?微元体积,
微元的重力,yx dg 2
薄层所需的功元素
o x
R
y
yyRyRy d))(2(g 2
故所求功为? R
0g yyyRyR d)32( 322
4g
4 R?
y
到池沿高度所需的功,
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P288 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,定积分的应用几何方面,面积,体积,弧长,表面积,
物理方面,质量,作功,侧压力,引力、
2,基本方法,微元分析法微元形状,条,段,带,片,扇,环,壳 等,
转动惯量,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定积分的应用第 六 章例 1,求抛物线 在 (0,1) 内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小,
解,设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与 x,y 轴的交点分别为所指面积
M
B
A
机动 目录 上页 下页 返回 结束且为最小点,故所求切线为得 [ 0,1] 上的唯一驻点
M
B
A
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,设非负函数曲线 与直线 及坐标轴所围图形
(1) 求函数
(2) a 为何值时,所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解,(1) 由方程得面积为 2,
体积最小?
即故得机动 目录 上页 下页 返回 结束又
(2) 旋转体体积又为唯一极小点,因此 时 V 取最小值,
xo
y
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,证明曲边扇形 绕极轴
.dsin)(32 3 rV ox
)(?rr?
x
d rd
证,先求 上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积微元 r
故
dsin)(
3
2 3rV
ox
旋转而成的体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束
xy 2?
24 xxy
o
)d5(d xu?
故所求旋转体体积为
xxx d5)2( 2251
57516? xxxV d5)2( 2220 51
uV dd 2
A
P
xd 2
ud
例 4,求由 xy 2? 与 24 xxy 所围区域绕 xy 2?
旋转所得旋转体体积,
解,曲线与直线的交点坐标为 ),4,2(A 曲线上任一点
)4,( 2xxxP?到直线 xy 2? 的距离为
),(2 如图为数轴以 uxy?
u
则机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,半径为 R,密度为 的球沉入深为 H ( H > 2 R )
的水池底,水的密度多少功?
解,建立坐标系如图,则对应 ]d,[ xxx?
上球的薄片提到水面上的微功为
1dW xy d2?
提出水面后的微功为
2dW )(dg 2 xRxy
xxRxR d))((g 22
xxRHxR d))((g)( 220
H
),( yx
x
yx
o
现将其从水池中取出,需做微元体积所受重力上升高度
g)( 0 )( xRH
机动 目录 上页 下页 返回 结束因此微功元素为
21 ddd WWW
球从水中提出所做的功为
W xxRxRH
R
R d)()]()([
2200
g
“偶倍奇零”
xxRR d)( 220 ])([g2 00 RH
H
x
o yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,设有半径为 R 的半球形容器如图,
(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水,求水深为为 h (0 < h < R ) 时水面上升的速度,
(2) 设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最少应为多少?
解,过球心的纵截面建立坐标系如图,
o x
y则半圆方程为
h
R
设经过 t 秒容器内水深为 h,.)( th?则机动 目录 上页 下页 返回 结束
o x
y
h
R
(1) 求由题设,经过 t 秒后容器内的水量为而高为 h 的球缺的体积为半球可看作半圆绕 y 轴旋转而成体积元素,yx d2?
22 2 yyRx
)(hV yyRy
h d)2( 2
0
故有两边对 t 求导,得
)2( 2hRh a?
)2( 2hRh
a
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(2) 将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提对应于
yx d2?微元体积,
微元的重力,yx dg 2
薄层所需的功元素
o x
R
y
yyRyRy d))(2(g 2
故所求功为? R
0g yyyRyR d)32( 322
4g
4 R?
y
到池沿高度所需的功,
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