第三节由导数公式 vuvuuv)(
积分得,xvuxvuuv dd
分部积分公式
xvuuvxvu dd
或 uvvuvu dd
1) v 容易求得 ;
容易计算,
机动 目录 上页 下页 返回 结束分部积分法第 四 章例 1,求解,令,xu?,c o s xv
则,1u xv sin?
∴ 原式 xx sin xx dsin
Cxxx c o ss i n
思考,如何求提示,令,2xu?,s in xv 则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求,dln xxx?
解,令,ln xu? xv
则,
1
xu
2
2
1 xv?
原式 = xx ln2
1 2 xx d
2
1
Cxxx 22 41ln21
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求,da rc t a n xxx?
解,令,a r c ta n xu? xv
则,1
1
2xu
2
2
1 xv?
∴ 原式 xx a rc t a n2
1 2
x
x
x d
12
1
2
2
xx a rc t a n21 2 xx d)1 11(21 2
xx a rc t a n21 2? Cxx )a rc t a n(21
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求,dsin xxe x?
解,令,sin xu? xev,则
,c o s xu xev?
∴ 原式 xe x s in xxe x dc o s
再令,c o s xu? xev,则
,s in xu xev?
xe x sin xxexe xx ds i nc o s
故 原式 = Cxxe x )c o s(s i n21
说明,也可设 为三角函数,但两次所设类型必须一致,
机动 目录 上页 下页 返回 结束解题技巧,
把被积函数视为两个函数之积,按,反对幂指三”
的顺序,前者为 后者为u,v?
例 5,求解,令,a rc c o s xu? 1v,则
,21 1 xu xv?
原式 = xx a rc c o s xxx d21
xx a r c c o s? )1d()1( 2221 21 xx
xx a r c c o s? Cx 21
机动 目录 上页 下页 返回 结束反,反三角函数对,对数函数幂,幂函数指,指数函数三,三角函数例 6,求解,令,c o sln xu? xv 2c o s
1
,则
,ta n xu xv tan?
原式 = xx c o slnta n xx dt a n 2
xx c o slnt a n xx d)1(se c 2
xx c o slnt a n Cxx ta n
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,求解,令,tx?则,2tx? ttx d2d?
原式 tet t d2
tet(2?
Cxe x )1(2
,tu? tev
)t? C?
机动 目录 上页 下页 返回 结束令例 8,求解,令,22 axu,1v 则,22 ax
xu
xv?
22 axx
xax
x d
22
2
22 axx xax aax d22
222 )(
22 axx xax d22 22d2 ax xa
∴ 原式 =
22
2
1 axx? Caxxa )(ln
2
222
xax d22
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 9,求解,令,)(
1
22 naxu,1v 则,)(
2
122

nax
xnu
xv?
nI?
x
ax
xn
n d)(2 122
2

nax
x
)( 22?
x
ax
n n d
)(
2 122
nax
x
)( 22?
nIn2? 122 nIan
得递推公式 nnn Ian
n
ax
x
an
I 22221
2
12
)(2
1

222 )( aax
nax
x
)( 22?
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
递推公式已知 Ca
x
aI a rc t a n
1
1 利用递推公式可求得,nI
例如,
3I 2222 )(4
1
ax
x
a?24
3 I
a?
2222 )(4
1
ax
x
a?
2
4
3
a? 222
1
ax
x
a? 122
1 I
a
2222 )(4
1
ax
x
a?
224
8
3
ax
x
a Ca
x
a a rc t a n8
3
5
nnn Ian
n
ax
x
an
I 22221
2
12
)(2
1

机动 目录 上页 下页 返回 结束例 10.证明递推公式证,xxxI nn d)1(s e ct a n 22
)d (t a nt a n 2 xxn
1
ta n 1

n
xn 2 nI
2 nI
注,或机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
分部积分题目的类型,
1) 直接分部化简积分 ;
2) 分部产生循环式,由此解出积分式 ;
(注意,两次分部选择的 u,v 函数类型不变,
解出积分后加 C ) 例 4
3) 对含自然数 n 的积分,通过分部积分建立递推公式,
例 4 目录 上页 下页 返回 结束例 11.已知 的一个原函数是 求解,xxfx d)( )(d xfx
)( xfx? xxf d)(
xx xcos Cx x c o s
xs in Cx x?c o s2
说明,此题若先求出 再求积分反而复杂,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xxfx d)( xx
x
x
xx dc o s2s i n2c o s
2


例 12.求,d xI 23)1( 2x?
解法 1 先换元后分部令,a r c ta n xt? 即,ta n tx? 则
t
eI t
3se c tt dse c 2? tte t dc o s
te t s in tte t dsin?
te t sin? tte t dc o s te t c o s?
故 CettI t )c o s(si n2
1


2
1
xearctan
t x1
21 x?
21 x
x
21
1
x?
Ce x
a r c t a n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xeI
x
d
a r c t a n

23)1( 2x?
xe
x
I a r c t a n2 d
1
1?
xx e
x
xe
x
a r c t a n
2
a r c t a n
2 d11
1?
)1(
1
1 a r c t a n
2 xex
x?
I?
Ce
x
xI x?
a r c t a n
212
1
解法 2 用分部积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束
xe
x
a r c t a n
21
1
xd
23)1( 2x?
xex arcta n
v
u?
内容小结分部积分公式 xvuvuxvu dd
1,使用原则,xvuv d易求出,易积分
2,使用经验,,反对幂指三,,前 u
后
v?
3,题目类型,
分部化简 ; 循环解出 ; 递推公式
4,计算格式,
v
u

机动 目录 上页 下页 返回 结束例 13.求 xxI d)ln(sin
解,令 则 texex tt dd,
tteI t ds i n
te
tsin
te
tcos ttete tt dc o ss i n
tsin?
te?

Itte t )c o s( s in
CtteI t )c o s(si n21
Cxxx )]c o s(l n)[si n (l n21
可用表格法求多次分部积分机动 目录 上页 下页 返回 结束
uexex uu dd,
例 14.求解,令 则原式
,lnu?
ue34u ueu d? ueu u d44
4u
ue4
34u 212u u24 24 0
ue441 ue4412 ue4413 ue4414 ue4415

原式 =?
ue4
4
1 4u 3u? 2
4
3u? u
8
3?
32
3 C?
Cxxxxx 323ln83ln43lnln41 2344

机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,下述运算错在哪里? 应如何改正?
xxx dsi nc o s
xxx dsi nc o s1
,1dsinc o sdsinc o s xxxxxx得 0 = 1
答,不定积分是原函数族,相减不应为 0,
求此积分的正确作法是用换元法,
Cx s i nln
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,求对比 P354 公式 (128),(129)
提示,
)c o s ( bxa? )s in( bxaa )c o s (2 bxa
xke
k 2
1
xke xkek
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P210
4,5,9,14,
18,20,21,22
第四节 目录 上页 下页 返回 结束备用题,求不定积分解,方法 1 (先分部,再换元 )
)1(d?xe
令,1 xeu 则
112u Cuu )a r c ta n(44
机动 目录 上页 下页 返回 结束方法 2 (先换元,再分部 )
令,1 xeu 则故
)1ln (2 2uu1
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1?