第九章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重 积 分三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束二重积分的概念与性质第九章解法,类似定积分解决问题的思想,
一、引例
1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体,
底,xoy 面上的闭区域 D
顶,连续曲面侧面,以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积,
“大化小,常代变,近似和,求 极限”
D
机动 目录 上页 下页 返回 结束
D
1)“大化小”
用 任意 曲线网分 D为 n 个区域
n,,,21?
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个
2)“常代变”
在每个
3),近似和”?
n
k
kkkf
1
),(
),( kkf
),,2,1(),( nkfV kkkk
则中 任取 一点小曲顶柱体
k),( kk
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4),取极限”
kk,PPPP 2121m a x)(
令)(m a x1 knk
n
k
kkkfV
10
),(lim
),( kkf
k),( kk
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2,平面薄片的质量有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,
计算该薄片的质量 M,度为设 D 的面积为?,则
M
若 非常数,仍可用其面密
“大化小,常代变,近似和,求 极限”
解决,
1)“大化小”
用 任意 曲线网分 D 为 n 个小区域,,,,21 n
相应把薄片也分为小区域,
D
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
x
2)“常代变”
中 任取 一点 k在每个 ),,( kk
3)“近似和”?
n
k
kkk
1
),(
4)“取极限”
)(m a x1 knk令
n
k
kkkM
10
),(lim
k ),( kk
则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
x
两个问题的 共性,
(1) 解决问题的步骤相同
(2) 所求量的结构式相同
“大化小,常代变,近似和,取极限”
n
k
kkkfV
10
),(lim
n
k
kkkM
10
),(lim
曲顶柱体体积,
平面薄片的质量,
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、二重积分的定义及可积性定义,),( yxf设将区域 D 任意 分成 n 个小区域任取 一点 若存在一个常数 I,使可积,),( yxf则称 ),( yxfI 为称 在 D上的 二重积分,
称为积分变量yx,
积分和积分域 被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
D yxfV?d),(引例 1中曲顶柱体体积,
D yxM d),(引例 2中平面薄板的质量,
如果 在 D上可积,),( yxf
也常
,dd yx 二重积分记作
.dd),( D yxyxf
这时分区域 D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作
D yxyxf dd),(
D yxyx dd),(?
机动 目录 上页 下页 返回 结束二重积分存在定理,
若函数定理 2.
(证明略 )
定理 1.
在 D上 可积,
限个点或有限个光滑曲线外都连续,
积,
在有界闭区域 D上连续,则若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有例如,yx
yxyxf
22),(
在 D,10 x 10 y
上二重积分存在 ; yxyxf
1),(但在 D 上
y
1xo
1
D
二重积分不存在,
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、二重积分的性质
D yxfk?d),(.1 ( k 为常数 )
21 d),(d),(d),(.3 DDD yxfyxfyxf
DD dd1
为 D 的面积,则
D yxfk?d),(
机动 目录 上页 下页 返回 结束特别,由于 ),(),(),( yxfyxfyxf
D yxf?d),(
则
D yxf?d),( D yx d),(
5,若在 D上 ),( yxf,),( yx
D yxf?d),(
6,设 D 的面积为?,
Myxfm D d),(则有机动 目录 上页 下页 返回 结束
7.(二重积分的中值定理 )
),(),( fdyxfD
证,由性质 6 可知,
Myxfm D d),(1
由连续函数介值定理,至少有一点
D yxff d),(1),(
在闭区域 D上
为 D 的面积,则至少存在一点 使使连续,
因此机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,比较下列积分的大小,
d)(,d)( 32 DD yxyx
其中 2)1()2(,22 yxD
解,积分域 D 的边界为圆周
1 yx3
32 )()( yxyx
它与 x 轴交于点 (1,0),而域 D 位
,1 yx 从而
d)(d)( 32 DD yxyx
于直线的上方,故在 D 上
1
y
2 xo
1 D
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,判断积分 的正负号,
解,分积分域为,,,321 DDD 则原式 = yxyxD dd11 3
22
yxyxD dd1
2
3 22
1 ddD yx
)34(23
2
3D
3
2D
1
1D
y
xo
0)21( 3
猜想结果为负但不好估计,
舍去此项机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,估计下列积分之值 10:
c o sc o s100
ddI
22 yxDyx
yx
D
解,D 的面积为 200)210( 2
由于?
yx 22 c o sc o s1 0 0
1
积分性质 5
1 0 0
2 0 0I
1 0 2
2 0 0
即,1.96? I? 2
10?
10
1010?
D
100
1
102
1
x
y
o
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
oD
8,设函数
D 位于 x 轴上方的部分为 D1,
),,(),()1( yxfyxf
),,(),()2( yxfyxf
d),( D yxf
0d),(D yxf
当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍
1D
在 D 上
d),(2 1 D yxf
在闭区域上连续,域 D 关于 x 轴对称,
则则有类似结果,
在第一象限部分,则有
D yxyx dd)(
1
dd)(4 22D yxyx
0?
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xba d] [
四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为
bxa
xyxyxD )()(),( 21
任取 平面故曲顶柱体体积为
D yxfV?d),(
截面积为
yyxfxx d),()( )(2
1?
ba xxA d)(
截柱体的
)(2 xy
)(1 xy
z
x
y
o a b0x
D
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yd
c xo
)(2 yx )(1 yx
y y
d
c d] [
dycyxyyxD ),()(),( 21同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算
D yxfV?d),(
xyxfyy d),()( )(2
1?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求两个底圆半径为 R 的直角圆柱面所围的体积,
x
y
z
R
Ro
解,设两个直圆柱方程为
,222 Ryx
利用对称性,考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为则所求体积为 22
0 d
xR y
xxRR d)(8 0 22 3316 R?
222 Rzx
22 xRz
0
0:),( 22
Rx
xRyDyx
xxRR d8 0 22
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,二重积分的定义
D yxf?d),( iii
n
i
f
),(l i m
10 )dd(d yx
2,二重积分的性质 (与定积分性质相似 )
3,曲顶柱体体积的计算 二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束被积函数 相同,且 非负,
思考与练习
yxyxI
yx
dd
1
2
yxyxI dd
1
1
1
1
3
解,321,,III
由它们的积分域范围可知
312 III
1
1
x
y
o
1,比较下列积分值的大小关系,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设 D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 < y <1,则
,d31
D
xyI
D
xyI?d32
1
3
的大小顺序为 ( )
.)(;)(;)(;)(
213123
312321
IIIDIIIC
IIIBIIIA
提示,因 0 < y <1,故 ;2
12 yyy
D
故在 D上有,03?x又因
323321 xyxyxy
y
o x
1
D
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,计算解,
)c o s ( yx 02
20? yd
20 d]c o s[s i n? yyy
yy s i nc o s
2?
0
2
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4,证明,其中 D 为解,利用题中 x,y 位置的对称性,有
d)c o ss i n(d)c o ss i n( 222221 DD xyyx
d)c o ss i n(d)c o ss i n( 222221 DD yyxx
d)c o ss i n( 22 D xx
又 D 的面积为 1,
故结论成立,
y
o x
1
D 1
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P78 2,4,5
P95 1(1),8
第二节 目录 上页 下页 返回 结束作业
5.04.0 I
备用题
1,估计 的值,其中 D 为
D xyyx
I
162
d
22
.20,10 yx
解,被积函数 16)(
1),(
2 yxyxf
2D 的面积的最大值 ),( yxfD 上在
),( yxf 的最小值
,4252 I故
y
o x
2
D
1
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220 yx
0)ln ( 22 yx
2,判断 的正负,
)0(dd)l n (
1
22
yx
yxyx
解,1 yx?当 时，
故 0)ln ( 22 yx
又当 时,1 yx
于是
2)( yx 1?
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0dd)l n (
1
22
yx
yxyx
1?
1
11? x
y
oD?
一、引例
1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体,
底,xoy 面上的闭区域 D
顶,连续曲面侧面,以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积,
“大化小,常代变,近似和,求 极限”
D
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D
1)“大化小”
用 任意 曲线网分 D为 n 个区域
n,,,21?
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个
2)“常代变”
在每个
3),近似和”?
n
k
kkkf
1
),(
),( kkf
),,2,1(),( nkfV kkkk
则中 任取 一点小曲顶柱体
k),( kk
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4),取极限”
kk,PPPP 2121m a x)(
令)(m a x1 knk
n
k
kkkfV
10
),(lim
),( kkf
k),( kk
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2,平面薄片的质量有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,
计算该薄片的质量 M,度为设 D 的面积为?,则
M
若 非常数,仍可用其面密
“大化小,常代变,近似和,求 极限”
解决,
1)“大化小”
用 任意 曲线网分 D 为 n 个小区域,,,,21 n
相应把薄片也分为小区域,
D
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y
x
2)“常代变”
中 任取 一点 k在每个 ),,( kk
3)“近似和”?
n
k
kkk
1
),(
4)“取极限”
)(m a x1 knk令
n
k
kkkM
10
),(lim
k ),( kk
则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
x
两个问题的 共性,
(1) 解决问题的步骤相同
(2) 所求量的结构式相同
“大化小,常代变,近似和,取极限”
n
k
kkkfV
10
),(lim
n
k
kkkM
10
),(lim
曲顶柱体体积,
平面薄片的质量,
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、二重积分的定义及可积性定义,),( yxf设将区域 D 任意 分成 n 个小区域任取 一点 若存在一个常数 I,使可积,),( yxf则称 ),( yxfI 为称 在 D上的 二重积分,
称为积分变量yx,
积分和积分域 被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,
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D yxfV?d),(引例 1中曲顶柱体体积,
D yxM d),(引例 2中平面薄板的质量,
如果 在 D上可积,),( yxf
也常
,dd yx 二重积分记作
.dd),( D yxyxf
这时分区域 D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作
D yxyxf dd),(
D yxyx dd),(?
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若函数定理 2.
(证明略 )
定理 1.
在 D上 可积,
限个点或有限个光滑曲线外都连续,
积,
在有界闭区域 D上连续,则若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有例如,yx
yxyxf
22),(
在 D,10 x 10 y
上二重积分存在 ; yxyxf
1),(但在 D 上
y
1xo
1
D
二重积分不存在,
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D yxfk?d),(.1 ( k 为常数 )
21 d),(d),(d),(.3 DDD yxfyxfyxf
DD dd1
为 D 的面积,则
D yxfk?d),(
机动 目录 上页 下页 返回 结束特别,由于 ),(),(),( yxfyxfyxf
D yxf?d),(
则
D yxf?d),( D yx d),(
5,若在 D上 ),( yxf,),( yx
D yxf?d),(
6,设 D 的面积为?,
Myxfm D d),(则有机动 目录 上页 下页 返回 结束
7.(二重积分的中值定理 )
),(),( fdyxfD
证,由性质 6 可知,
Myxfm D d),(1
由连续函数介值定理,至少有一点
D yxff d),(1),(
在闭区域 D上
为 D 的面积,则至少存在一点 使使连续,
因此机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,比较下列积分的大小,
d)(,d)( 32 DD yxyx
其中 2)1()2(,22 yxD
解,积分域 D 的边界为圆周
1 yx3
32 )()( yxyx
它与 x 轴交于点 (1,0),而域 D 位
,1 yx 从而
d)(d)( 32 DD yxyx
于直线的上方,故在 D 上
1
y
2 xo
1 D
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解,分积分域为,,,321 DDD 则原式 = yxyxD dd11 3
22
yxyxD dd1
2
3 22
1 ddD yx
)34(23
2
3D
3
2D
1
1D
y
xo
0)21( 3
猜想结果为负但不好估计,
舍去此项机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,估计下列积分之值 10:
c o sc o s100
ddI
22 yxDyx
yx
D
解,D 的面积为 200)210( 2
由于?
yx 22 c o sc o s1 0 0
1
积分性质 5
1 0 0
2 0 0I
1 0 2
2 0 0
即,1.96? I? 2
10?
10
1010?
D
100
1
102
1
x
y
o
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x
y
oD
8,设函数
D 位于 x 轴上方的部分为 D1,
),,(),()1( yxfyxf
),,(),()2( yxfyxf
d),( D yxf
0d),(D yxf
当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍
1D
在 D 上
d),(2 1 D yxf
在闭区域上连续,域 D 关于 x 轴对称,
则则有类似结果,
在第一象限部分,则有
D yxyx dd)(
1
dd)(4 22D yxyx
0?
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xba d] [
四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为
bxa
xyxyxD )()(),( 21
任取 平面故曲顶柱体体积为
D yxfV?d),(
截面积为
yyxfxx d),()( )(2
1?
ba xxA d)(
截柱体的
)(2 xy
)(1 xy
z
x
y
o a b0x
D
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yd
c xo
)(2 yx )(1 yx
y y
d
c d] [
dycyxyyxD ),()(),( 21同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算
D yxfV?d),(
xyxfyy d),()( )(2
1?
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x
y
z
R
Ro
解,设两个直圆柱方程为
,222 Ryx
利用对称性,考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为则所求体积为 22
0 d
xR y
xxRR d)(8 0 22 3316 R?
222 Rzx
22 xRz
0
0:),( 22
Rx
xRyDyx
xxRR d8 0 22
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1,二重积分的定义
D yxf?d),( iii
n
i
f
),(l i m
10 )dd(d yx
2,二重积分的性质 (与定积分性质相似 )
3,曲顶柱体体积的计算 二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束被积函数 相同,且 非负,
思考与练习
yxyxI
yx
dd
1
2
yxyxI dd
1
1
1
1
3
解,321,,III
由它们的积分域范围可知
312 III
1
1
x
y
o
1,比较下列积分值的大小关系,
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2,设 D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 < y <1,则
,d31
D
xyI
D
xyI?d32
1
3
的大小顺序为 ( )
.)(;)(;)(;)(
213123
312321
IIIDIIIC
IIIBIIIA
提示,因 0 < y <1,故 ;2
12 yyy
D
故在 D上有,03?x又因
323321 xyxyxy
y
o x
1
D
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3,计算解,
)c o s ( yx 02
20? yd
20 d]c o s[s i n? yyy
yy s i nc o s
2?
0
2
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4,证明,其中 D 为解,利用题中 x,y 位置的对称性,有
d)c o ss i n(d)c o ss i n( 222221 DD xyyx
d)c o ss i n(d)c o ss i n( 222221 DD yyxx
d)c o ss i n( 22 D xx
又 D 的面积为 1,
故结论成立,
y
o x
1
D 1
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P78 2,4,5
P95 1(1),8
第二节 目录 上页 下页 返回 结束作业
5.04.0 I
备用题
1,估计 的值,其中 D 为
D xyyx
I
162
d
22
.20,10 yx
解,被积函数 16)(
1),(
2 yxyxf
2D 的面积的最大值 ),( yxfD 上在
),( yxf 的最小值
,4252 I故
y
o x
2
D
1
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220 yx
0)ln ( 22 yx
2,判断 的正负,
)0(dd)l n (
1
22
yx
yxyx
解,1 yx?当 时，
故 0)ln ( 22 yx
又当 时,1 yx
于是
2)( yx 1?
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0dd)l n (
1
22
yx
yxyx
1?
1
11? x
y
oD?
