推广第八章一元函数微分学多元函数微分学注意,善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用第八章第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束多元函数的基本概念
δ0 0 PP
一,区域
1,邻域点集 称为点 P0 的?邻域,
例如,在平面上,
),()δ,( 0 yxPU?(圆邻域 )
在空间中,
),,(),( 0 zyxPU
(球邻域 )
说明,若不需要强调邻域半径?,也可写成,)( 0PU
点 P0 的 去心邻域 记为
δ0?PP
机动 目录 上页 下页 返回 结束在讨论实际问题中也常使用方邻域,
平面上的方邻域为
),()δ,U( 0 yxP?
。
0P
因为方邻域与圆邻域可以互相包含,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,区域
(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P,
若存在点 P 的某邻域 U(P)? E,
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E =?,
若对点 P 的 任一 邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
E
则称 P 为 E 的 内点 ；
则称 P 为 E 的 外点 ;
则称 P 为 E 的 边界点,
机动 目录 上页 下页 返回 结束的外点,
显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E,
(2) 聚点若对任意给定的?,点 P 的去心机动 目录 上页 下页 返回 结束
E
邻域 内总有 E 中的点,则称 P 是 E 的 聚点,
聚点可以属于 E,也可以不属于 E (因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为 E 的 导集,
E 的边界点 )
D
(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是 内点,则称 E 为 开集 ；
若点集 EE,则称 E 为 闭集 ；
若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,
开区域连同它的边界一起称为 闭区域,
则称 D 是 连通的 ;
连通的开集称为 开区域,简称 区域 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
。 。
E 的边界点的全体称为 E 的 边界,记作?E ;
例如,在平面上
0),( yxyx
41),( 22 yxyx
0),( yxyx
41),( 22 yxyx
开区域闭区域
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
o 21
x
y
o
x
y
o x
y
o 21
整个平面
点集1),(?xyx 是开集，
是最大的开域,
也是最大的闭域；
但非区域,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1? 1o x
y
对区域 D,若存在正数 K,使一切点 P?D 与某定点
A 的距离?AP K,则称 D 为 有界域,
界域,
否则称为 无
3,n 维空间
n 元有序数组 的全体称为 n 维空间,
,Rn
n 维空间中的每一个元素 称为空间中的称为该点的第 k 个 坐标,
记作 即机动 目录 上页 下页 返回 结束
RRRRn
一个 点,
当所有坐标 称该元素为 nR 中的零元,记作
O,
的 距离 记作中点 a 的? 邻域 为
),,,( 21 nyyyy与点机动 目录 上页 下页 返回 结束
),,,(R 21 nn xxxx中的点规定为
),,,(R 21 nn xxxx中的点 与零元 O 的距离为
22221 nxxxx
.,3,2,1 xxn 通常记作时当?
0R axaxn 满足与定元中的变元,ax?记作
nR
二、多元函数的概念引例,
圆柱体的体积
定量理想气体的压强
三角形面积的海伦公式
c
b a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
h
r
定义 1.设非空点集点集 D 称为函数的 定义域 ; 数集DP,Pfuu )(
称为函数的 值域,
特别地,当 n = 2 时,有二元函数当 n = 3 时,有三元函数映射 称为定义在 D 上的 n 元函数,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
z
y
例如,二元函数 221 yxz
定义域为1),( 22 yxyx圆域说明,二元函数 z = f (x,y),(x,y)? D
图形为中心在原点的上半球面,
,)s i n (,yxz?又如机动 目录 上页 下页 返回 结束的图形一般为空间曲面?.
1
2R),(?yx
三元函数 )a rc s i n ( 222 zyxu
定义域为图形为 空间中的超曲面,
单位闭球
x y
z
o
三、多元函数的极限定义 2,设 n 元函数,R),( nDPPf
点,
,)δ,( 0PUDP 则称 A 为函数
(也称为 n 重极限 )
当 n =2 时,记 20200 )()( yyxxPP
二元函数的极限可写作,Ayxf?
),(lim 0?
APfPP )(lim
0
P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作
Ayxf
yy
xx
),(l i m
0
0
都有机动 目录 上页 下页 返回 结束对任意正数?,总存在正数?,
切例 1,设 )0(
1s i n)(),( 22
22
22
yxyxyxyxf
求证：
.0),(lim
0
0
yxf
y
x
证,
故 0),(l i m
0
0
yxf
y
x
,0ε,δ0 22 时当 yx?
22 yx
,εδ 总有机动 目录 上页 下页 返回 结束
ε?要证例 2,设
0,0
0,s i ns i n),( 11
yx
yxyxyxf xy
求证：
.0),(l i m
0
0
yxf
y
x
证,0),(?yxf?
故
0),(l i m
0
0
yxf
y
x
,0ε
yx
,2εδ 时，当 δ0 22 yxρ总有
ε?要证机动 目录 上页 下页 返回 结束
若当点 ),( yxP
趋于不同值或有的极限不存在，
解,设 P(x,y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0,0),
22),( yx
yxyxf
222
2
00
lim),(lim
xkx
xkyxf
x
kxy
x?
在点 (0,0) 的极限,
),( yxf故则可以断定函数极限则有
21 k
k
k 值不同极限不同 !
在 (0,0) 点极限不存在,
以不同方式趋于,),( 000 时yxP
不存在,
例 3,讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求解,因,)( 2224122 yxyx
而 6
2
0
)c o s1(4l i m
r
r
r
此函数定义域不包括 x,y 轴
,222 yxr?令 则
6
2 )c o s1(4
r
r
6
4
0
2lim
r
r
r?
2cos1 r? 2~
2r
故机动 目录 上页 下页 返回 结束仅知其中一个存在,推不出其它二者存在,
二重极限
),(l i m
0
0
yxf
yy
xx
不同,
如果它们都存在,则三者相等,
例如,显然
),(l i ml i m
00
yxfyyxx与累次极限
),(li mli m 00 yxfyx,0?
但由 例 3 知它在 (0,0)点二重极限不存在,
例 3 目录 上页 下页 返回 结束四,多元函数的连续性定义 3,设 n 元函数 )(Pf 定义在 D 上,
)()(lim 0
0
PfPfPP
0)( PPf 在点如果函数在 D 上 各点处 都连续,则称此函数 在 D 上
,0 DP?聚点如果存在否则称为 不连续,此时称为 间断点,
则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束连续,
连续,
例如,函数
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
yx
yxf
在点 (0,0) 极限不存在,
又如,函数上间断,122 yx
故 ( 0,0 )为其间断点,
在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束结论,一切多元初等函数在定义区域内连续,
定理,若 f (P) 在有界闭域 D 上连续,则机动 目录 上页 下页 返回 结束
)()2( Pf
* (4) f (P) 必在 D 上一致连续,
在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
(3) 对任意,DQ
(有界性定理 )
(最值定理 )
(介值定理 )
(一致连续性定理 )
闭域 上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质,
(证明略 )
.11l i m
0
0 yx
yx
y
x
解,原式 2
1?
例 5.求
2
22 )3a rc s i n (
),(
yx
yxyxf
13 22 yx
42 22 yx
例 6,求函数 的连续域,
解,02 yx
2yx?
11
1l i m
0
0
yx
y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2o
y
x2
内容小结
1,区域
邻域,,)δ,( 0PU )δ,( 0PU
区域 连通的开集
空间nR
2,多元函数概念
n 元函数 ),,,( 21 nxxxf
常用 二元函数 (图形一般为空间曲面 )
三元函数
DP?
)( Pfu?
nR?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
APfPP )(l i m
0,0ε,0δ 时，当 δ0 0 PP有 ε)( APf
3,多元函数的极限
4,多元函数的连续性
1) 函数 连续在 0)( PPf )()(li m 00 PfPfPP
2) 闭域上的多元连续函数的性质,
有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理
3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
P11 题 2; 4; 5 (3),(5) ( 画图 ) ; 8
P72 题 3; 4
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习解答提示,
P11 题 2,称为二次齐次函数,
P11 题 4.
P11 题 5(3).
定义域
P11 题 5(5).
定义域
2xy?
D
y
xo
R x
y
oD r
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P12 题 8,间断点集
P72 题 3,定义域
24042
2
0
0 1
limlim
xk
xk
yx
yx
x
y
x?
)0,
2
1(),(l i m
0
2
1
fyxf
y
x
4
3ln
2?
P72 题 4,令 y= k x,
0?
若令 xy?
42
2
0
0
l i m
yx
yx
y
x?
21? 2
2
0 2
lim xx
x?
D
xy 42?y
x1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,则可见极限不存在作业
P11 5 (2),(4),(6)
6 (2),(3),(5),(6)
7,9,10
第二节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 1,设 求解法 1 令
,
2
x
yu?
yxv?
),(
2
yxxyf 22
2
yxy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,设 求解法 2 令
),(
2
vuuvf
即
2
2
2
yxy?
),(
2
vuuvf
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yx
yx
x
x?
2
0
0
l i m
)(li m 320 xxx,1?
2,yx
xyx
y
x?
)1l n (lim
0
0 是否存在？
解,xxy取所以极限不存在,
3
,0
,?
,~)1l n ( yxyx?利用
yx
xyx
y
x?
)1l n (lim
0
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,证明在全平面连续,
证,为初等函数,故连续,
又 220 yx
yx
)0,0(f?
故函数在全平面连续,
由夹逼准则得机动 目录 上页 下页 返回 结束
δ0 0 PP
一,区域
1,邻域点集 称为点 P0 的?邻域,
例如,在平面上,
),()δ,( 0 yxPU?(圆邻域 )
在空间中,
),,(),( 0 zyxPU
(球邻域 )
说明,若不需要强调邻域半径?,也可写成,)( 0PU
点 P0 的 去心邻域 记为
δ0?PP
机动 目录 上页 下页 返回 结束在讨论实际问题中也常使用方邻域,
平面上的方邻域为
),()δ,U( 0 yxP?
。
0P
因为方邻域与圆邻域可以互相包含,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,区域
(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P,
若存在点 P 的某邻域 U(P)? E,
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E =?,
若对点 P 的 任一 邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
E
则称 P 为 E 的 内点 ；
则称 P 为 E 的 外点 ;
则称 P 为 E 的 边界点,
机动 目录 上页 下页 返回 结束的外点,
显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E,
(2) 聚点若对任意给定的?,点 P 的去心机动 目录 上页 下页 返回 结束
E
邻域 内总有 E 中的点,则称 P 是 E 的 聚点,
聚点可以属于 E,也可以不属于 E (因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为 E 的 导集,
E 的边界点 )
D
(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是 内点,则称 E 为 开集 ；
若点集 EE,则称 E 为 闭集 ；
若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,
开区域连同它的边界一起称为 闭区域,
则称 D 是 连通的 ;
连通的开集称为 开区域,简称 区域 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
。 。
E 的边界点的全体称为 E 的 边界,记作?E ;
例如,在平面上
0),( yxyx
41),( 22 yxyx
0),( yxyx
41),( 22 yxyx
开区域闭区域
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
o 21
x
y
o
x
y
o x
y
o 21
整个平面
点集1),(?xyx 是开集，
是最大的开域,
也是最大的闭域；
但非区域,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1? 1o x
y
对区域 D,若存在正数 K,使一切点 P?D 与某定点
A 的距离?AP K,则称 D 为 有界域,
界域,
否则称为 无
3,n 维空间
n 元有序数组 的全体称为 n 维空间,
,Rn
n 维空间中的每一个元素 称为空间中的称为该点的第 k 个 坐标,
记作 即机动 目录 上页 下页 返回 结束
RRRRn
一个 点,
当所有坐标 称该元素为 nR 中的零元,记作
O,
的 距离 记作中点 a 的? 邻域 为
),,,( 21 nyyyy与点机动 目录 上页 下页 返回 结束
),,,(R 21 nn xxxx中的点规定为
),,,(R 21 nn xxxx中的点 与零元 O 的距离为
22221 nxxxx
.,3,2,1 xxn 通常记作时当?
0R axaxn 满足与定元中的变元,ax?记作
nR
二、多元函数的概念引例,
圆柱体的体积
定量理想气体的压强
三角形面积的海伦公式
c
b a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
h
r
定义 1.设非空点集点集 D 称为函数的 定义域 ; 数集DP,Pfuu )(
称为函数的 值域,
特别地,当 n = 2 时,有二元函数当 n = 3 时,有三元函数映射 称为定义在 D 上的 n 元函数,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
z
y
例如,二元函数 221 yxz
定义域为1),( 22 yxyx圆域说明,二元函数 z = f (x,y),(x,y)? D
图形为中心在原点的上半球面,
,)s i n (,yxz?又如机动 目录 上页 下页 返回 结束的图形一般为空间曲面?.
1
2R),(?yx
三元函数 )a rc s i n ( 222 zyxu
定义域为图形为 空间中的超曲面,
单位闭球
x y
z
o
三、多元函数的极限定义 2,设 n 元函数,R),( nDPPf
点,
,)δ,( 0PUDP 则称 A 为函数
(也称为 n 重极限 )
当 n =2 时,记 20200 )()( yyxxPP
二元函数的极限可写作,Ayxf?
),(lim 0?
APfPP )(lim
0
P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作
Ayxf
yy
xx
),(l i m
0
0
都有机动 目录 上页 下页 返回 结束对任意正数?,总存在正数?,
切例 1,设 )0(
1s i n)(),( 22
22
22
yxyxyxyxf
求证：
.0),(lim
0
0
yxf
y
x
证,
故 0),(l i m
0
0
yxf
y
x
,0ε,δ0 22 时当 yx?
22 yx
,εδ 总有机动 目录 上页 下页 返回 结束
ε?要证例 2,设
0,0
0,s i ns i n),( 11
yx
yxyxyxf xy
求证：
.0),(l i m
0
0
yxf
y
x
证,0),(?yxf?
故
0),(l i m
0
0
yxf
y
x
,0ε
yx
,2εδ 时，当 δ0 22 yxρ总有
ε?要证机动 目录 上页 下页 返回 结束
若当点 ),( yxP
趋于不同值或有的极限不存在，
解,设 P(x,y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0,0),
22),( yx
yxyxf
222
2
00
lim),(lim
xkx
xkyxf
x
kxy
x?
在点 (0,0) 的极限,
),( yxf故则可以断定函数极限则有
21 k
k
k 值不同极限不同 !
在 (0,0) 点极限不存在,
以不同方式趋于,),( 000 时yxP
不存在,
例 3,讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求解,因,)( 2224122 yxyx
而 6
2
0
)c o s1(4l i m
r
r
r
此函数定义域不包括 x,y 轴
,222 yxr?令 则
6
2 )c o s1(4
r
r
6
4
0
2lim
r
r
r?
2cos1 r? 2~
2r
故机动 目录 上页 下页 返回 结束仅知其中一个存在,推不出其它二者存在,
二重极限
),(l i m
0
0
yxf
yy
xx
不同,
如果它们都存在,则三者相等,
例如,显然
),(l i ml i m
00
yxfyyxx与累次极限
),(li mli m 00 yxfyx,0?
但由 例 3 知它在 (0,0)点二重极限不存在,
例 3 目录 上页 下页 返回 结束四,多元函数的连续性定义 3,设 n 元函数 )(Pf 定义在 D 上,
)()(lim 0
0
PfPfPP
0)( PPf 在点如果函数在 D 上 各点处 都连续,则称此函数 在 D 上
,0 DP?聚点如果存在否则称为 不连续,此时称为 间断点,
则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束连续,
连续,
例如,函数
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
yx
yxf
在点 (0,0) 极限不存在,
又如,函数上间断,122 yx
故 ( 0,0 )为其间断点,
在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束结论,一切多元初等函数在定义区域内连续,
定理,若 f (P) 在有界闭域 D 上连续,则机动 目录 上页 下页 返回 结束
)()2( Pf
* (4) f (P) 必在 D 上一致连续,
在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
(3) 对任意,DQ
(有界性定理 )
(最值定理 )
(介值定理 )
(一致连续性定理 )
闭域 上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质,
(证明略 )
.11l i m
0
0 yx
yx
y
x
解,原式 2
1?
例 5.求
2
22 )3a rc s i n (
),(
yx
yxyxf
13 22 yx
42 22 yx
例 6,求函数 的连续域,
解,02 yx
2yx?
11
1l i m
0
0
yx
y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2o
y
x2
内容小结
1,区域
邻域,,)δ,( 0PU )δ,( 0PU
区域 连通的开集
空间nR
2,多元函数概念
n 元函数 ),,,( 21 nxxxf
常用 二元函数 (图形一般为空间曲面 )
三元函数
DP?
)( Pfu?
nR?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
APfPP )(l i m
0,0ε,0δ 时，当 δ0 0 PP有 ε)( APf
3,多元函数的极限
4,多元函数的连续性
1) 函数 连续在 0)( PPf )()(li m 00 PfPfPP
2) 闭域上的多元连续函数的性质,
有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理
3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
P11 题 2; 4; 5 (3),(5) ( 画图 ) ; 8
P72 题 3; 4
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习解答提示,
P11 题 2,称为二次齐次函数,
P11 题 4.
P11 题 5(3).
定义域
P11 题 5(5).
定义域
2xy?
D
y
xo
R x
y
oD r
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P12 题 8,间断点集
P72 题 3,定义域
24042
2
0
0 1
limlim
xk
xk
yx
yx
x
y
x?
)0,
2
1(),(l i m
0
2
1
fyxf
y
x
4
3ln
2?
P72 题 4,令 y= k x,
0?
若令 xy?
42
2
0
0
l i m
yx
yx
y
x?
21? 2
2
0 2
lim xx
x?
D
xy 42?y
x1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,则可见极限不存在作业
P11 5 (2),(4),(6)
6 (2),(3),(5),(6)
7,9,10
第二节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 1,设 求解法 1 令
,
2
x
yu?
yxv?
),(
2
yxxyf 22
2
yxy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,设 求解法 2 令
),(
2
vuuvf
即
2
2
2
yxy?
),(
2
vuuvf
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yx
yx
x
x?
2
0
0
l i m
)(li m 320 xxx,1?
2,yx
xyx
y
x?
)1l n (lim
0
0 是否存在？
解,xxy取所以极限不存在,
3
,0
,?
,~)1l n ( yxyx?利用
yx
xyx
y
x?
)1l n (lim
0
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,证明在全平面连续,
证,为初等函数,故连续,
又 220 yx
yx
)0,0(f?
故函数在全平面连续,
由夹逼准则得机动 目录 上页 下页 返回 结束
