第八章*第十节问题的提出,已知一组实验数据求它们的近似函数关系 y＝ f (x),
o
y
x
需要解决两个问题,
1,确定近似函数的类型
根据数据点的分布规律
根据问题的实际背景
2,确定近似函数的标准
)( ii xfy实验数据有误差,不能要求机动 目录 上页 下页 返回 结束最小二乘法
o
y
x
偏差 )( iii xfyr 有正有负,
值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小 m i n)]([ 2
0
ii
n
i
xfy
为使所有偏差的绝对来确定近似函数 f (x),
最小二乘法原理,
设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过 偏差平方和最小 求该曲线的方法称为 最小二乘法,找出的函数关系称为 经验公式,
,它们大体机动 目录 上页 下页 返回 结束特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a,b
令
m i n)( 2
0
bxay k
n
k
k?),( baM
aM
bM
bxay 满足,使
o
y
x
得
bxn
k
k?
0axn
k
k?
0
解此线性方程组即得 a,b
称为法方程组机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,为了测定刀具的磨损速度,每隔 1 小时测一次刀具的厚度,得实验数据如下,
找出一个能使上述数据大体适合的经验公式,
解,通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,
列表计算,
故可设经验公式为
(P67 例 1)
bxay o
y
t
27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
机动 目录 上页 下页 返回 结束得法方程组 a140 b28?a28 5.2 0 88 b717?
解得,125.27,3036.0 ba 故所求经验公式为
125.273036.0)( ttfy
it0
i 2it iy iity
7
0 0 27.0 0
7 49 24.8 137.6
28 140 208.5 717.0
机动 目录 上页 下页 返回 结束为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下,
o
y
t
称为均方误差,Mn1 对本题均方误差
1 2 4.071?M
它在一定程度上反映了经验函数的好坏,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
108165.0)]([ 2
7
0
i
i
i tfyM偏差平方和为
27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8
0 1 2 3 4 5 6 7
27.125 26.518 25.911 25.303
26.821 26.214 25.607 25.000
－ 0.125 － 0.018 0.189 － 0.003
－ 0.021 0.086 0.093 － 0.200 )( ii tfy?
o
y
t
称为均方误差,Mn1 对本题均方误差
1 2 4.071?M
它在一定程度上反映了经验函数的好坏,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
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27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8
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27.125 26.518 25.911 25.303
26.821 26.214 25.607 25.000
－ 0.125 － 0.018 0.189 － 0.003
－ 0.021 0.086 0.093 － 0.200 )( ii tfy?
例 2,在研究某单分子化学反应速度时,得到下列数据,
57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5
3 6 9 12 15 18 21 24
1 2 3 4 5 6 7 8
其中?表示从实验开始算起的时间,y 表示时刻? 反应物的量,试根据上述数据定出经验公式 ).(?fy? (P70例 2)
解,由化学反应速度的理论知,经验公式应取?meky?
其中 k,m 为待定常数,对其取对数得
kmy lnln
kbmaXyY ln,,,ln令
bXaY (线性函数 )
(书中取的是常用对数 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束因此 a,b 应满足法方程组,?
8
1
ln
k
kk y?
8
1
ln
k
ky
经计算得解得,
所求经验公式为
104.057.78 ey
其均方误差为 1 3 5.071?M
机动 目录 上页 下页 返回 结束观测数据,
用最小二乘法确定 a,b
通过计算确定某些经验公式类型的方法,
),,1,0(),( niyx ii
),,2,1(,11 niyyyxxx iiiiii令
,)1( 定值若
i
i
x
y
bxay则考虑
,lnln)2( 定值若
i
i
x
y
bxay?则考虑
,ln)3( 定值若
i
i
x
y
xbeay?则考虑
axby lnlnln转化为
axby lnln转化为机动 目录 上页 下页 返回 结束作业 (习题 8 -10 )
P72 1,2
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
o
y
x
需要解决两个问题,
1,确定近似函数的类型
根据数据点的分布规律
根据问题的实际背景
2,确定近似函数的标准
)( ii xfy实验数据有误差,不能要求机动 目录 上页 下页 返回 结束最小二乘法
o
y
x
偏差 )( iii xfyr 有正有负,
值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小 m i n)]([ 2
0
ii
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i
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为使所有偏差的绝对来确定近似函数 f (x),
最小二乘法原理,
设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过 偏差平方和最小 求该曲线的方法称为 最小二乘法,找出的函数关系称为 经验公式,
,它们大体机动 目录 上页 下页 返回 结束特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a,b
令
m i n)( 2
0
bxay k
n
k
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aM
bM
bxay 满足,使
o
y
x
得
bxn
k
k?
0axn
k
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0
解此线性方程组即得 a,b
称为法方程组机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,为了测定刀具的磨损速度,每隔 1 小时测一次刀具的厚度,得实验数据如下,
找出一个能使上述数据大体适合的经验公式,
解,通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,
列表计算,
故可设经验公式为
(P67 例 1)
bxay o
y
t
27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
机动 目录 上页 下页 返回 结束得法方程组 a140 b28?a28 5.2 0 88 b717?
解得,125.27,3036.0 ba 故所求经验公式为
125.273036.0)( ttfy
it0
i 2it iy iity
7
0 0 27.0 0
7 49 24.8 137.6
28 140 208.5 717.0
机动 目录 上页 下页 返回 结束为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下,
o
y
t
称为均方误差,Mn1 对本题均方误差
1 2 4.071?M
它在一定程度上反映了经验函数的好坏,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
108165.0)]([ 2
7
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i
i
i tfyM偏差平方和为
27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8
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27.125 26.518 25.911 25.303
26.821 26.214 25.607 25.000
－ 0.125 － 0.018 0.189 － 0.003
－ 0.021 0.086 0.093 － 0.200 )( ii tfy?
o
y
t
称为均方误差,Mn1 对本题均方误差
1 2 4.071?M
它在一定程度上反映了经验函数的好坏,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
108165.0)]([ 2
7
0
i
i
i tfyM偏差平方和为
27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8
0 1 2 3 4 5 6 7
27.125 26.518 25.911 25.303
26.821 26.214 25.607 25.000
－ 0.125 － 0.018 0.189 － 0.003
－ 0.021 0.086 0.093 － 0.200 )( ii tfy?
例 2,在研究某单分子化学反应速度时,得到下列数据,
57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5
3 6 9 12 15 18 21 24
1 2 3 4 5 6 7 8
其中?表示从实验开始算起的时间,y 表示时刻? 反应物的量,试根据上述数据定出经验公式 ).(?fy? (P70例 2)
解,由化学反应速度的理论知,经验公式应取?meky?
其中 k,m 为待定常数,对其取对数得
kmy lnln
kbmaXyY ln,,,ln令
bXaY (线性函数 )
(书中取的是常用对数 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束因此 a,b 应满足法方程组,?
8
1
ln
k
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8
1
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经计算得解得,
所求经验公式为
104.057.78 ey
其均方误差为 1 3 5.071?M
机动 目录 上页 下页 返回 结束观测数据,
用最小二乘法确定 a,b
通过计算确定某些经验公式类型的方法,
),,1,0(),( niyx ii
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i
i
x
y
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x
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axby lnlnln转化为
axby lnln转化为机动 目录 上页 下页 返回 结束作业 (习题 8 -10 )
P72 1,2
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