第六节复习 目录 上页 下页 返回 结束一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用第八章复习,平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线 ),( 00 yx
切线方程 0yy?
法线方程 0yy?
若平面光滑曲线方程为 ),(
),(
d
d
yxF
yxF
x
y
y
x
故在点切线方程法线方程
)( 0yy? ),( 00 yxF y? )(),( 000 xxyxF x?0?
))(( 00 xxxf )(
)(
1
0
0
xxxf
在点 有有因
0)(),( 000 yyyxF x),( 00 yxF y )( 0xx?
机动 目录 上页 下页 返回 结束一,空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的 法机动 目录 上页 下页 返回 结束位置,
T
M
空间光滑曲线在点 M 处的 切线 为此点处割线的极限平面,
点击图中任意点动画开始或暂停
1,曲线方程为参数方程的情况切线方程
000 zzyyxx
),,( 0000 zyxMtt 对应设?
),,( 0000 zzyyxxMttt 对应
)( 0t )( 0t )( 0t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
T
M?
:的方程割线 MM?
))(( 00 xxt
此处要求 )(,)(,)( 000 ttt
也是法平面的法向量,
切线的方向向量,
称为曲线的 切向量,
)()( 00 yyt 0))(( 00 zzt?
如个别为 0,则理解为分子为 0,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
M不全为 0,
))(,)(,)(( 000 tttT
因此得 法平面方程说明,若引进向量函数 ))(,)(,)(()( ttttr,则?
为 r (t) 的矢端曲线,0t而在 处的导向量
))(,)(,)(()( 0000 ttttr
就是该点的切向量,
o
)(tr
T
z
yx
o
例 1,求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程,
切线方程 R
x
法平面方程 xR?
022 kzkxR?即
0
02
Ry
kRzRxk?
即解,由于
0
Ry?
k
kz 2 ),,0( 20 kRM?对应的切向量为
0)( 2 kzk?
在机动 目录 上页 下页 返回 结束
),0,( kRT,故
2,曲线为一般式的情况光滑曲线
0),,(
0),,(:
zyxG
zyxF
当 0),(
),(?
zy
GFJ
xydd
曲线上一点 ),,(
000 zyxM
,且有
xzdd,),( ),(1 xz GFJ,),( ),(1 yx GFJ
时,? 可表示为处的切向量为
MM yx
GF
Jxz
GF
J ),(
),(1,
),(
),(1,1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(,)(,1 00 xxT
000 zzyyxx
Mzy
GF
),(
),(
则在点 ),,( 000 zyxM
切线方程法平面方程有
Mzy
GF
),(
),(
Mxz
GF
),(
),(
Myx
GF
),(
),(
)( 0xx?
Myx
GF
),(
),(
Mxz
GF
),(
),(
)( 0yy?
0)( 0 zz
或机动 目录 上页 下页 返回 结束
MMM yx
GF
xz
GF
zy
GFT
),(
),(,
),(
),(,
),(
),(
0
)()()(
)()()(
000
MGMGMG
MFMFMF
zzyyxx
zyx
zyx
也可表为
)(),( ),()(),( ),( 00 yyMxz GFxxMzy GF
法平面方程
0)(),( ),( 0 zzMyx GF
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求曲线 0,6222 zyxzyx 在点
M ( 1,–2,1) 处的切线方程与法平面方程,
Mzy
GF
),(
),(
切线方程解法 1 令 则即
02
02
y
zx切向量
M
zy
11
22?
M
zy )(2 ;6
x
y z
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)6,0,6(T
法平面方程 0)1(6)2(0)1(6 zyx
即 0 zx
机动 目录 上页 下页 返回 结束解法 2,方程组两边对 x 求导,得
11
11
d
d
zy
xy
x
z?
11
d
d
zyx
y
曲线在点 M(1,–2,1) 处有,
切向量解得
11?
zx
,zy xz zy yx
)1,0,1(
MM x
z
x
yT
d
d,
d
d,1
切线方程即法平面方程 0)1()1()2(0)1(1 zyx
即 0 zx
点 M (1,–2,1) 处的 切向量机动 目录 上页 下页 返回 结束
)1,0,1(T
二,曲面的切平面与法线设 有 光滑曲面通过其上定点
0tt?设 对应点 M,
切线方程为 )()()( 0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
不全为 0,则?在且点 M 的 切向量 为任意 引一条光滑曲线
M
T
下面证明,
此平面称为? 在该点的 切平面,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上,
))(,)(,)(( 000 tttT
M
T证,
机动 目录 上页 下页 返回 结束在? 上,
0))(,)(,)(( tttF
,0 处求导两边在 tt?,0 Mtt 对应点注意?
)( 0t 0?
),,( 000 zyxF x ),,( 000 zyxF y?
),,( 000 zyxF z?
)( 0t )( 0t得
))(,)(,)(( 000 tttT
)),,(,),,(,),,(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?
令
nT?切向量由于曲线?的任意性,表明这些切线都在以 为法向量的平面上,从而切平面存在,
)(),,( 0000 xxzyxF x?
曲面? 在点 M 的 法向量法线方程 000 zzyyxx
)(),,( 0000 yyzyxF y
0))(,,( 0000 zzzyxF z
切平面方程
),,( 000 zyxF x ),,( 000 zyxF y ),,( 000 zyxF z
M
T
)),,(,),,(,),,(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?
复习 目录 上页 下页 返回 结束
)(),( 000 xxyxf x?
曲面时,
zyxfzyxF ),(),,(
则在点 ),,,( zyx
故当函数 ),( 00 yx
法线方程令有在点 ),,( 000 zyx?
特别,当光滑曲面?的方程为显式在点 有连续偏导数时,
)(),( 000 yyyxf y 0zz
切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束法向量用将 ),(,),( 0000 yxfyxf yx,,yx ff
法向量的 方向余弦：
表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为 则向上,
)1,),(,),(( 0000 yxfyxfn yx
复习 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求球面 3632 222 zyx 在点 (1,2,3) 处的切平面及法线方程,
解,
所以球面在点 (1,2,3) 处有,
切平面方程 )1(2?x
即法线方程
321 zyx
)2(8 y 0)3(18 z
1 4 9
法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束
)6,4,2( zyxn?
)18,8,2()3,2,1(?n
例 4,确定正数?使曲面zyx
在点 ),,( 000 zyxM
解,二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切,故
0
00
0
00
0
00
z
yx
y
zx
x
zy
0x
又点 M 在球面上,
于是有 000 zyx
相切,
33
3a
与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束
),,( 0002 zyxn?
21 // nn,因此有
2 0y2 0z2
1,空间曲线的切线与法平面切线方程
000 zzyyxx
法平面方程
))(( 00 xxt
1) 参数式情况,?
)(
)(
)(
:
tz
ty
tx
空间光滑曲线切向量内容小结
)( 0t )( 0t )( 0t
)()( 00 yyt 0))(( 00 zzt?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
))(,)(,)(( 000 tttT
切线方程法平面方程
MMM yx
GF
zz
xz
GF
yy
zy
GF
xx
),(
),(
),(
),(
),(
),(
000
空间光滑曲线
0),,(
0),,(:
zyxG
zyxF
Mzy
GF
),(
),(
切向量
2) 一般式情况,
,),( ),(
Mzy
GF
,
),(
),(
Mxz
GF
Myx
GF
),(
),(
)( 0xx? Mxz
GF
),(
),(
)( 0yy?
Myx
GF
),(
),(
0)( 0 zz
机动 目录 上页 下页 返回 结束
T
空间光滑曲面曲面? 在点法线方程
),,( 000
0
zyxF
xx
x
),,( 000
0
zyxF
yy
y
),,( 000
0
zyxF
zz
z
)(),,()(),,( 00000000 yyzyxFxxzyxF yx
1) 隐式情况,
的 法向量
0))(,,( 0000 zzzyxF z
切平面方程
2,曲面的切平面与法线机动 目录 上页 下页 返回 结束
)),,(,),,(,),,(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?
空间光滑曲面
)(),()(),( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx
切平面方程法线方程 1),(),(
0
00
0
00
0
zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
,
1
c o s,
1
c o s 2222
yx
y
yx
x
ff
f
ff
f
2) 显式情况,
法线的 方向余弦
221
1c o s
yx ff
法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束
)1,,( yx ffn
思考与练习
1,如果平面 与椭球面相切,
提示,设切点为 则 000 226 zyx
3?
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(二法向量平行 )
(切点在平面上 )
(切点在椭球面上 )
证明 曲面 上任一点处的切平面都通过原点,
提示,在曲面上任意取一点 则通过此
0zz
作业
P45 2,3,4,5,8,9,10
)( 0xxxz
M
)( 0yyyz
M
2,设 f ( u ) 可微,
第七节 目录 上页 下页 返回 结束证明原点坐标满足上述方程,
点的切平面为
1,证明曲面 0),( ynzymxF
与定直线平行,.),( 可微其中 vuF
证,曲面上任一点的法向量
,1F?,)()( 21 nFmF )2F?
取定直线的方向向量为,m,1 )n
则
(定向量 )
故结论成立,
的所有切平面恒备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束
(?n
(?l
,0nl
2,求曲线
04532
03222
zyx
xzyx
在点 (1,1,1) 的切线解,点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
)2,2,1(
因此切线的方向向量为 )1,9,16(
由此得切线,
111 zyx
16 9 1?
法平面,0)1()1(9)1(16 zyx
024916 zyx即与法平面,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)1,1,1(1 )2,2,32( zyxn
)5,3,2(2n
21 nnl
切线方程 0yy?
法线方程 0yy?
若平面光滑曲线方程为 ),(
),(
d
d
yxF
yxF
x
y
y
x
故在点切线方程法线方程
)( 0yy? ),( 00 yxF y? )(),( 000 xxyxF x?0?
))(( 00 xxxf )(
)(
1
0
0
xxxf
在点 有有因
0)(),( 000 yyyxF x),( 00 yxF y )( 0xx?
机动 目录 上页 下页 返回 结束一,空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的 法机动 目录 上页 下页 返回 结束位置,
T
M
空间光滑曲线在点 M 处的 切线 为此点处割线的极限平面,
点击图中任意点动画开始或暂停
1,曲线方程为参数方程的情况切线方程
000 zzyyxx
),,( 0000 zyxMtt 对应设?
),,( 0000 zzyyxxMttt 对应
)( 0t )( 0t )( 0t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
T
M?
:的方程割线 MM?
))(( 00 xxt
此处要求 )(,)(,)( 000 ttt
也是法平面的法向量,
切线的方向向量,
称为曲线的 切向量,
)()( 00 yyt 0))(( 00 zzt?
如个别为 0,则理解为分子为 0,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
M不全为 0,
))(,)(,)(( 000 tttT
因此得 法平面方程说明,若引进向量函数 ))(,)(,)(()( ttttr,则?
为 r (t) 的矢端曲线,0t而在 处的导向量
))(,)(,)(()( 0000 ttttr
就是该点的切向量,
o
)(tr
T
z
yx
o
例 1,求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程,
切线方程 R
x
法平面方程 xR?
022 kzkxR?即
0
02
Ry
kRzRxk?
即解,由于
0
Ry?
k
kz 2 ),,0( 20 kRM?对应的切向量为
0)( 2 kzk?
在机动 目录 上页 下页 返回 结束
),0,( kRT,故
2,曲线为一般式的情况光滑曲线
0),,(
0),,(:
zyxG
zyxF
当 0),(
),(?
zy
GFJ
xydd
曲线上一点 ),,(
000 zyxM
,且有
xzdd,),( ),(1 xz GFJ,),( ),(1 yx GFJ
时,? 可表示为处的切向量为
MM yx
GF
Jxz
GF
J ),(
),(1,
),(
),(1,1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(,)(,1 00 xxT
000 zzyyxx
Mzy
GF
),(
),(
则在点 ),,( 000 zyxM
切线方程法平面方程有
Mzy
GF
),(
),(
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GF
),(
),(
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GF
),(
),(
)( 0xx?
Myx
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),(
),(
Mxz
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或机动 目录 上页 下页 返回 结束
MMM yx
GF
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GF
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),(
),(,
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),(,
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0
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)()()(
000
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MFMFMF
zzyyxx
zyx
zyx
也可表为
)(),( ),()(),( ),( 00 yyMxz GFxxMzy GF
法平面方程
0)(),( ),( 0 zzMyx GF
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求曲线 0,6222 zyxzyx 在点
M ( 1,–2,1) 处的切线方程与法平面方程,
Mzy
GF
),(
),(
切线方程解法 1 令 则即
02
02
y
zx切向量
M
zy
11
22?
M
zy )(2 ;6
x
y z
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)6,0,6(T
法平面方程 0)1(6)2(0)1(6 zyx
即 0 zx
机动 目录 上页 下页 返回 结束解法 2,方程组两边对 x 求导,得
11
11
d
d
zy
xy
x
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11
d
d
zyx
y
曲线在点 M(1,–2,1) 处有,
切向量解得
11?
zx
,zy xz zy yx
)1,0,1(
MM x
z
x
yT
d
d,
d
d,1
切线方程即法平面方程 0)1()1()2(0)1(1 zyx
即 0 zx
点 M (1,–2,1) 处的 切向量机动 目录 上页 下页 返回 结束
)1,0,1(T
二,曲面的切平面与法线设 有 光滑曲面通过其上定点
0tt?设 对应点 M,
切线方程为 )()()( 0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
不全为 0,则?在且点 M 的 切向量 为任意 引一条光滑曲线
M
T
下面证明,
此平面称为? 在该点的 切平面,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上,
))(,)(,)(( 000 tttT
M
T证,
机动 目录 上页 下页 返回 结束在? 上,
0))(,)(,)(( tttF
,0 处求导两边在 tt?,0 Mtt 对应点注意?
)( 0t 0?
),,( 000 zyxF x ),,( 000 zyxF y?
),,( 000 zyxF z?
)( 0t )( 0t得
))(,)(,)(( 000 tttT
)),,(,),,(,),,(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?
令
nT?切向量由于曲线?的任意性,表明这些切线都在以 为法向量的平面上,从而切平面存在,
)(),,( 0000 xxzyxF x?
曲面? 在点 M 的 法向量法线方程 000 zzyyxx
)(),,( 0000 yyzyxF y
0))(,,( 0000 zzzyxF z
切平面方程
),,( 000 zyxF x ),,( 000 zyxF y ),,( 000 zyxF z
M
T
)),,(,),,(,),,(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?
复习 目录 上页 下页 返回 结束
)(),( 000 xxyxf x?
曲面时,
zyxfzyxF ),(),,(
则在点 ),,,( zyx
故当函数 ),( 00 yx
法线方程令有在点 ),,( 000 zyx?
特别,当光滑曲面?的方程为显式在点 有连续偏导数时,
)(),( 000 yyyxf y 0zz
切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束法向量用将 ),(,),( 0000 yxfyxf yx,,yx ff
法向量的 方向余弦：
表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为 则向上,
)1,),(,),(( 0000 yxfyxfn yx
复习 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求球面 3632 222 zyx 在点 (1,2,3) 处的切平面及法线方程,
解,
所以球面在点 (1,2,3) 处有,
切平面方程 )1(2?x
即法线方程
321 zyx
)2(8 y 0)3(18 z
1 4 9
法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束
)6,4,2( zyxn?
)18,8,2()3,2,1(?n
例 4,确定正数?使曲面zyx
在点 ),,( 000 zyxM
解,二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切,故
0
00
0
00
0
00
z
yx
y
zx
x
zy
0x
又点 M 在球面上,
于是有 000 zyx
相切,
33
3a
与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束
),,( 0002 zyxn?
21 // nn,因此有
2 0y2 0z2
1,空间曲线的切线与法平面切线方程
000 zzyyxx
法平面方程
))(( 00 xxt
1) 参数式情况,?
)(
)(
)(
:
tz
ty
tx
空间光滑曲线切向量内容小结
)( 0t )( 0t )( 0t
)()( 00 yyt 0))(( 00 zzt?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
))(,)(,)(( 000 tttT
切线方程法平面方程
MMM yx
GF
zz
xz
GF
yy
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xx
),(
),(
),(
),(
),(
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000
空间光滑曲线
0),,(
0),,(:
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切向量
2) 一般式情况,
,),( ),(
Mzy
GF
,
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Mxz
GF
Myx
GF
),(
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)( 0xx? Mxz
GF
),(
),(
)( 0yy?
Myx
GF
),(
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0)( 0 zz
机动 目录 上页 下页 返回 结束
T
空间光滑曲面曲面? 在点法线方程
),,( 000
0
zyxF
xx
x
),,( 000
0
zyxF
yy
y
),,( 000
0
zyxF
zz
z
)(),,()(),,( 00000000 yyzyxFxxzyxF yx
1) 隐式情况,
的 法向量
0))(,,( 0000 zzzyxF z
切平面方程
2,曲面的切平面与法线机动 目录 上页 下页 返回 结束
)),,(,),,(,),,(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?
空间光滑曲面
)(),()(),( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx
切平面方程法线方程 1),(),(
0
00
0
00
0
zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
,
1
c o s,
1
c o s 2222
yx
y
yx
x
ff
f
ff
f
2) 显式情况,
法线的 方向余弦
221
1c o s
yx ff
法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束
)1,,( yx ffn
思考与练习
1,如果平面 与椭球面相切,
提示,设切点为 则 000 226 zyx
3?
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(二法向量平行 )
(切点在平面上 )
(切点在椭球面上 )
证明 曲面 上任一点处的切平面都通过原点,
提示,在曲面上任意取一点 则通过此
0zz
作业
P45 2,3,4,5,8,9,10
)( 0xxxz
M
)( 0yyyz
M
2,设 f ( u ) 可微,
第七节 目录 上页 下页 返回 结束证明原点坐标满足上述方程,
点的切平面为
1,证明曲面 0),( ynzymxF
与定直线平行,.),( 可微其中 vuF
证,曲面上任一点的法向量
,1F?,)()( 21 nFmF )2F?
取定直线的方向向量为,m,1 )n
则
(定向量 )
故结论成立,
的所有切平面恒备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束
(?n
(?l
,0nl
2,求曲线
04532
03222
zyx
xzyx
在点 (1,1,1) 的切线解,点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
)2,2,1(
因此切线的方向向量为 )1,9,16(
由此得切线,
111 zyx
16 9 1?
法平面,0)1()1(9)1(16 zyx
024916 zyx即与法平面,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)1,1,1(1 )2,2,32( zyxn
)5,3,2(2n
21 nnl
