无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数第十一章常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件
*四、柯西审敛原理机动 目录 上页 下页 返回 结束第一节 第十一章一、常数项级数的概念引例 1,用圆内接正多边形面积逼近圆面积,
依次作圆内接正 边形,
这个和逼近于圆的面积 A,
设 a0 表示即内接正三角形面积,ak 表示边数增加时增加的面积,则圆内接正机动 目录 上页 下页 返回 结束引例 2,小球从 1 米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理,
由自由落体运动方程
2g
2
1 ts?
知 g
2 st?
则小球运动的时间为
1tT? 22t? 32t
g
2
1 2
12
2)2(
1?
212 g12? 63.2? ( s )
设 tk 表示第 k 次小球落地的时间,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定义,给定一个数列,,,,,321 nuuuu 将各项依,
1
n
nu 即称上式为 无穷级数,其中第 n 项 nu 叫做级数的 一般项,
级数的前 n 项和称为级数的 部分和,
次相加,简记为收敛,
则称无穷级数并称 S 为级数的 和,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束当级数收敛时,称差值为级数的 余项,
则称无穷级数 发散,
显然机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,讨论等比级数 (又称几何级数 )
( q 称为公比 ) 的敛散性,
解,1) 若
q
qaa n
1
从而 qann S 1l i m
因此级数收敛,;1 qa?
从而,l i m nn S
则部分和因此级数发散,
其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束
2),若因此级数发散 ;
因此
nS n 为奇数n 为偶数从而综合 1),2)可知,1?q 时,等比级数收敛 ;
1?q 时,等比级数发散,
则级数成为
,a
,0
不存在,因此级数发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,判别下列级数的敛散性,
解,(1)
1
2ln?
nS
nn ln)1ln ()2ln3(ln)1ln2(ln
)1ln ( n ） n(
所以级数 (1) 发散 ;
技巧,
利用,拆项相消,求和
2
3ln?
3
4ln?
n
n 1ln
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) )1(
1
43
1
32
1
21
1
nnS n?
211
1
11
n ） n(1
所以级数 (2) 收敛,其和为 1,
3121 4131 111 nn?
技巧,
利用,拆项相消,求和机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,判别级数 的敛散性,
解,
nnn ln2)1ln()1ln(
2ln)1ln ( 1 n
故原级数收敛,其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束二、无穷级数的基本性质性质 1.若级数 收敛于 S,
,
1
n
nuS 则各项乘以常数 c 所得级数 也收敛,
证,令
,
1
n
k
kn uS 则?
n
k
kn uc
1
,
nSc?
nn l i m Sc?
这说明?
1n
nuc 收敛,其和为 c S,
说明,级数各项乘以 非零常数 后其敛散性不变,
即其和为 c S,
机动 目录 上页 下页 返回 结束性质 2,设有两个收敛级数,
1
n
nuS?
1n
nv?
则级数
)(
1
n
n
n vu
也收敛,其和为,S
证,令
,
1
n
k
kn uS,
1
n
k
kn v? 则
)(
1
k
n
k
kn vu
)( nS?
这说明级数
)(
1
n
n
n vu
也收敛,其和为,S
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
(2) 若两级数中一个收敛一个发散,则
)(
1
n
n
n vu
必发散,
但若二级数都发散,不一定发散,
例如,,)1( 2 nnu取,)1( 12nv
(1) 性质 2 表明收敛级数可逐项相加或减,
(用反证法可证 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束性质 3,在级数前面加上或去掉 有限项,不会影响级数的敛散性,
证,将级数?
1n
nu的前 k 项去掉,
的部分和为?
n
l
lkn u
1
knk SS
数敛散性相同,
当级数收敛时,其和的关系为,kSS
类似可证前面加上有限项的情况,
极限状况相同,故新旧两级所得新级数机动 目录 上页 下页 返回 结束性质 4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和,
证,设收敛级数
,
1
n
nuS 若按某一规律加括弧,
则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 ),2,1(nS n 的一个子序列,
S?
推论,若加括弧后的级数发散,则原级数必发散,
注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,
,0)11()11(但 发散,
因此必有例如,
用反证法可证例如机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4.判断级数的敛散性,
解,考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、级数收敛的必要条件设收敛级数 则必有证,1 nnn SSu
1limlimlim nnnnnn SSu0 SS
可见,若级数的一般项不趋于 0,则级数必发散,
例如,其一般项为不趋于 0,因此这个级数发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束注意,0lim nn u并非级数收敛的充分条件,
例如,调和级数虽然 但此级数发散,
事实上,假设调和级数收敛于 S,则
n
n
2? nnnn 2
1
3
1
2
1
1
1
但 nn SS 2
矛盾 ! 所以假设不真,
2
1?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,判断下列级数的敛散性,若收敛求其和,
解,(1) 令;
23
1)2(
1
23?
n nnn
则
n
n
u
u 1
),2,1(1 n
故从而 这说明级数 (1) 发散,
1
1
)1(
!)1(
n
n
n
ne
n
n
n
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
23 23
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n nnn
因
nnn 23
1
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),2,1(n
n
k
n kkkS
1
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n
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1
)1(
1
2
1
进行拆项相消
,41lim
nn
S这说明原级数收敛,.
)2)(1(
1
nnn
其和为
)2)(1(
1
21
1
2
1
nn
(2)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 2
12)3(
n
n
n
nn SS 21?
1432 2 122 52 32 1 nn?
21?21?221 13 2 121 n? 12 12 nn
21
2
1
2
1
1
1
2
1 1
n
12
12
n
n
12
11
2
1
n
nn2 12252 321 32?
这说明原级数收敛,其和为 3,
,3lim nn S故
(3)
机动 目录 上页 下页 返回 结束的充要条件是,
*四、柯西审敛原理定理,,0, ZN
时，当 Nn?, Zp对任意 有证,设所给级数部分和数列为 ),,2,1(nS n 因为所以,利用数列 ),2,1(nS n 的柯西审敛原理 (第一章第六节 ) 即得本定理的结论,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6.
解,, Zp对任意 有利用柯西审敛原理判别级数机动 目录 上页 下页 返回 结束当 n﹥ N 时,, Zp对任意都有由柯西审敛原理可知,级数作业
P192 1(1),(3) ； 2(2),(3),(4)； 3(2)；
4(1),(3),(5); *5(3),(4)
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
*四、柯西审敛原理机动 目录 上页 下页 返回 结束第一节 第十一章一、常数项级数的概念引例 1,用圆内接正多边形面积逼近圆面积,
依次作圆内接正 边形,
这个和逼近于圆的面积 A,
设 a0 表示即内接正三角形面积,ak 表示边数增加时增加的面积,则圆内接正机动 目录 上页 下页 返回 结束引例 2,小球从 1 米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理,
由自由落体运动方程
2g
2
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则小球运动的时间为
1tT? 22t? 32t
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设 tk 表示第 k 次小球落地的时间,
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1
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nu 即称上式为 无穷级数,其中第 n 项 nu 叫做级数的 一般项,
级数的前 n 项和称为级数的 部分和,
次相加,简记为收敛,
则称无穷级数并称 S 为级数的 和,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束当级数收敛时,称差值为级数的 余项,
则称无穷级数 发散,
显然机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,讨论等比级数 (又称几何级数 )
( q 称为公比 ) 的敛散性,
解,1) 若
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1
从而 qann S 1l i m
因此级数收敛,;1 qa?
从而,l i m nn S
则部分和因此级数发散,
其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束
2),若因此级数发散 ;
因此
nS n 为奇数n 为偶数从而综合 1),2)可知,1?q 时,等比级数收敛 ;
1?q 时,等比级数发散,
则级数成为
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不存在,因此级数发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,判别下列级数的敛散性,
解,(1)
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所以级数 (1) 发散 ;
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所以级数 (2) 收敛,其和为 1,
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故原级数收敛,其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束二、无穷级数的基本性质性质 1.若级数 收敛于 S,
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nuc 收敛,其和为 c S,
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但若二级数都发散,不一定发散,
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(1) 性质 2 表明收敛级数可逐项相加或减,
(用反证法可证 )
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证,设收敛级数
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注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,
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用反证法可证例如机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4.判断级数的敛散性,
解,考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、级数收敛的必要条件设收敛级数 则必有证,1 nnn SSu
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可见,若级数的一般项不趋于 0,则级数必发散,
例如,其一般项为不趋于 0,因此这个级数发散,
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例如,调和级数虽然 但此级数发散,
事实上,假设调和级数收敛于 S,则
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P192 1(1),(3) ； 2(2),(3),(4)； 3(2)；
4(1),(3),(5); *5(3),(4)
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