第八章习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束一,基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用多元函数微分法一,基本概念连续性 偏导数存在方向导数存在 可微性
1,多元函数的定义、极限,连续
定义域及对应规律
判断极限不存在及求极限的方法
函数的连续性及其性质
2,几个基本概念的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,讨论二重极限解法 1
01lim 11
0
0
xy
y
x
原式解法 2 令,xky?
解法 3 令,s in,c o s ryrx
时,下列算法 是否正确?
分析,
解法 1
01lim 11
0
0
xy
y
x
解法 2 令,xky?
机动 目录 上页 下页 返回 结束此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,
此法排除了沿曲线趋于原点的情况,
时例如 xxy 2
此时极限为 1,
第二步未考虑分母变化的所有情况,,1,,111 xyx xy 时例如解法 3 令,s in,c o s ryrx
机动 目录 上页 下页 返回 结束此法忽略了?的任意性,
极限不存在 !
由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点,
特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,
但要注意在定义域内 r,? 的变化应该是任意的,
同时还可看到,
本题极限实际上不存在,
0,0
0,
)(),(
22
22
2
3
22
22
yx
yx
yx
yx
yxf
提示,利用,2 22 yxyx
2122 )(
4
1),( yxyxf
)0,0(0),(lim
0
0
fyxf
y
x
故 f 在 (0,0) 连续 ;
,0),0()0,( yfxf又因 0)0,0()0,0( yx ff所以知在点 (0,0) 处连续且偏导数存在,但不可微,
2,证明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束而 )0,0(f
,00 时，当 yx
22
)0,0(
)()( yx
f
222
22
])()([
)()(
yx
yx
0
所以 f 在点 (0,0)不可微 !
2
322
22
])()([
)()(
yx
yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,已知求出 的表达式,),( yxf
解法 1 令
),( vuf?
即,)0,( xxf
)1(),( yxyxf
解法 2 )())((),( yxyxyxyxyxf
以下与解法 1 相同,
,)(),( 22 yxyxyxyxf
,)0( xxf?，
则
xx )(?
且
,yxv
)()()( 241241 uvuvu
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、多元函数微分法显示结构隐式结构1,分析复合结构 (画变量关系图 )
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定
2,正确使用求导法则
“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”
注意正确使用求导符号
3,利用一阶微分形式不变性机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,设 其中 f 与 F分别具解法 1 方程两边对 x 求导,得
xzdd
)0( 23 FFfx
23 FFfx
1
32 FF
fx
12 FF fxffx
221 FffFxfFx
有一阶导数或偏导数,求
fxfxzxyfx dddd
132 d
d
d
d F
x
zF
x
yF
(99 考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束解法 2
0),,(,)( zyxFyxfxz
方程两边求微分,得化简消去 即可得yd
yF d2
yfx d
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3.设 有二阶连续偏导数,且求,,
2
yx
u
x
u
解,
u
zyx
tx
yx
xu1f (3f
)
yx u
2
12f (13f )
32f33f )c o ss i n2(
2
yx
txtx
3f yxtx
1c o s2
2
2
)(
yx
x
)( yx? 1cos t?
yx
1
yx
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束练习题
1,设函数 f 二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数
),()3(
)()2(
)()1(
2
2
2
x
y
xfz
x
y
xfz
x
y
fxz
2,同济 (下 ) P73 题 12
机动 目录 上页 下页 返回 结束解答提示,
:)()1(
2
x
yfxz?
:)()2(
2
x
yxfz
f
x
y
x
yf
x
y )1(22
2
2
2
f
x
y
2
32 fy 2
fy2 )( 2
2
x
y?
fxy2 )1( 2
2
x
y f
x
y
2
2
第 1 题机动 目录 上页 下页 返回 结束
22
2 2
f
x
y
yx
z
) (2 xy 222
2
f
x
y
:),()3(
2
x
yxfz?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
vu
x
uv
P73 题 12 设 求
z
vu
yxyx
x
z
得由,s i n,c o s veyvex uu
得由,vuz?
vveuvex uu ds indc o sd
提示,
vveuvey uu dc o sds ind
机动 目录 上页 下页 返回 结束
①
y
vu
y
uv
y
z
②
利用行列式解出 du,dv,
veve
veve
vey
vex
u
uu
uu
u
u
c o ssi n
si nc o s
c o sd
si nd
d
ve u c o s? ve u sin?
机动 目录 上页 下页 返回 结束代入 ① 即得 ;x
z
ve u s i n ve u cos?
代入 ② 即得,y
z
td
t
teyxe zxxyx
0
s i n,2
有连续的一阶偏导数,
及 分别由下两式确定求又函数答案, 321 )s i n (
)(1
d
d f
zx
zxef
x
yf
x
u x?
( 2001考研 ）
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,设三、多元函数微分法的应用
1.在几何中的 应用求曲线在切线及法平面 (关键,抓住切向量 )
求曲面的切平面及法线 (关键,抓住法向量 )
2,极值与最值问题
极值的必要条件与充分条件
求条件极值的方法 (消元法,拉格朗日乘数法 )
求解最值问题
3,在微分方程变形等中的应用
最小二乘法机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4.在第一卦限作椭球面 的切平面,
使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点,
解,设,1),,( 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xzyxF
切点为则切平面的法向量为,2
2
0
a
x?
,2
2
0
b
y?
2
02
c
z
M
即 zc
zy
b
yx
a
x
2
0
2
0
2
0 1
2
2
0
2
2
0
2
2
0
c
z
b
y
a
x
1
切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束
),,( zyx FFFn?
问题归结为求
222222
z
c
y
b
x
as
在条件 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
下的条件极值问题,
设拉格朗日函数 222222
z
c
y
b
x
aF
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x?
)0,0,0( zyx
机动 目录 上页 下页 返回 结束切平面在三坐标轴上的截距为,0
2
x
a,
0
2
y
b
0
2
z
c
令
2
22
2
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x 02 2 a
x?
022 22
22
b
y
y
b
y
bF
y?
022 22
22
c
z
z
c
z
cF
z?
由实际意义可知为所求切点,
机动 目录 上页 下页 返回 结束唯一驻点例 5,求旋转抛物面 与平面之间的最短距离,
解,设 为抛物面 上任一点,则 P 22 yxz
的距离为 022 zyx
问题归结为
( m in ))22( 2 zyx
约束条件,022 zyx
目标函数,
作拉氏函数
)()22(),,( 222 yxzzyxzyxF
机动 目录 上页 下页 返回 结束到平面
)()22(),,( 222 yxzzyxzyxF
.81,41,41 zyx
令
22 yxz
解此方程组得唯一驻点
02)22(2 yzyxF y?
0)2)(22(2zyxF z
02)22(2 xzyxF x?
由实际意义最小值存在,
64
7?故机动 目录 上页 下页 返回 结束上求一点,使该点处的法线垂直于练习题：
1,在曲面并写出该法线方程,
提示,设所求点为 则法线方程为利用 1
1
31
00 xy
得 3,1,3 000 zyx
平面
0y 0x 1?
000 yxz?
法线垂直于平面点在曲面上机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,在第一卦限内作椭球面 的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积,
提示,设切点为
)1( 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xzyxF?
用拉格朗日乘数法可求出则切平面为所指四面体围体积 000
222
6
1
zyx
cbaV?
V 最小等价于 f ( x,y,z ) = x y z 最大,故取拉格朗日函数例 4 目录 上页 下页 返回 结束
(见例 4)
作业
P73 5,6,10,15,17
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,多元函数的定义、极限,连续
定义域及对应规律
判断极限不存在及求极限的方法
函数的连续性及其性质
2,几个基本概念的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,讨论二重极限解法 1
01lim 11
0
0
xy
y
x
原式解法 2 令,xky?
解法 3 令,s in,c o s ryrx
时,下列算法 是否正确?
分析,
解法 1
01lim 11
0
0
xy
y
x
解法 2 令,xky?
机动 目录 上页 下页 返回 结束此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,
此法排除了沿曲线趋于原点的情况,
时例如 xxy 2
此时极限为 1,
第二步未考虑分母变化的所有情况,,1,,111 xyx xy 时例如解法 3 令,s in,c o s ryrx
机动 目录 上页 下页 返回 结束此法忽略了?的任意性,
极限不存在 !
由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点,
特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,
但要注意在定义域内 r,? 的变化应该是任意的,
同时还可看到,
本题极限实际上不存在,
0,0
0,
)(),(
22
22
2
3
22
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yx
yx
yx
yx
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提示,利用,2 22 yxyx
2122 )(
4
1),( yxyxf
)0,0(0),(lim
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y
x
故 f 在 (0,0) 连续 ;
,0),0()0,( yfxf又因 0)0,0()0,0( yx ff所以知在点 (0,0) 处连续且偏导数存在,但不可微,
2,证明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束而 )0,0(f
,00 时，当 yx
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)0,0(
)()( yx
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222
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所以 f 在点 (0,0)不可微 !
2
322
22
])()([
)()(
yx
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机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,已知求出 的表达式,),( yxf
解法 1 令
),( vuf?
即,)0,( xxf
)1(),( yxyxf
解法 2 )())((),( yxyxyxyxyxf
以下与解法 1 相同,
,)(),( 22 yxyxyxyxf
,)0( xxf?，
则
xx )(?
且
,yxv
)()()( 241241 uvuvu
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、多元函数微分法显示结构隐式结构1,分析复合结构 (画变量关系图 )
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定
2,正确使用求导法则
“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”
注意正确使用求导符号
3,利用一阶微分形式不变性机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,设 其中 f 与 F分别具解法 1 方程两边对 x 求导,得
xzdd
)0( 23 FFfx
23 FFfx
1
32 FF
fx
12 FF fxffx
221 FffFxfFx
有一阶导数或偏导数,求
fxfxzxyfx dddd
132 d
d
d
d F
x
zF
x
yF
(99 考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束解法 2
0),,(,)( zyxFyxfxz
方程两边求微分,得化简消去 即可得yd
yF d2
yfx d
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3.设 有二阶连续偏导数,且求,,
2
yx
u
x
u
解,
u
zyx
tx
yx
xu1f (3f
)
yx u
2
12f (13f )
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机动 目录 上页 下页 返回 结束练习题
1,设函数 f 二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数
),()3(
)()2(
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2
2
2
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2,同济 (下 ) P73 题 12
机动 目录 上页 下页 返回 结束解答提示,
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2
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第 1 题机动 目录 上页 下页 返回 结束
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
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P73 题 12 设 求
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提示,
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
①
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利用行列式解出 du,dv,
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机动 目录 上页 下页 返回 结束代入 ① 即得 ;x
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ve u s i n ve u cos?
代入 ② 即得,y
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0
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有连续的一阶偏导数,
及 分别由下两式确定求又函数答案, 321 )s i n (
)(1
d
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zx
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x
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x
u x?
( 2001考研 ）
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,设三、多元函数微分法的应用
1.在几何中的 应用求曲线在切线及法平面 (关键,抓住切向量 )
求曲面的切平面及法线 (关键,抓住法向量 )
2,极值与最值问题
极值的必要条件与充分条件
求条件极值的方法 (消元法,拉格朗日乘数法 )
求解最值问题
3,在微分方程变形等中的应用
最小二乘法机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4.在第一卦限作椭球面 的切平面,
使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点,
解,设,1),,( 2
2
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2
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c
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切点为则切平面的法向量为,2
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切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束
),,( zyx FFFn?
问题归结为求
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在条件 12
2
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下的条件极值问题,
设拉格朗日函数 222222
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机动 目录 上页 下页 返回 结束切平面在三坐标轴上的截距为,0
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022 22
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cF
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由实际意义可知为所求切点,
机动 目录 上页 下页 返回 结束唯一驻点例 5,求旋转抛物面 与平面之间的最短距离,
解,设 为抛物面 上任一点,则 P 22 yxz
的距离为 022 zyx
问题归结为
( m in ))22( 2 zyx
约束条件,022 zyx
目标函数,
作拉氏函数
)()22(),,( 222 yxzzyxzyxF
机动 目录 上页 下页 返回 结束到平面
)()22(),,( 222 yxzzyxzyxF
.81,41,41 zyx
令
22 yxz
解此方程组得唯一驻点
02)22(2 yzyxF y?
0)2)(22(2zyxF z
02)22(2 xzyxF x?
由实际意义最小值存在,
64
7?故机动 目录 上页 下页 返回 结束上求一点,使该点处的法线垂直于练习题：
1,在曲面并写出该法线方程,
提示,设所求点为 则法线方程为利用 1
1
31
00 xy
得 3,1,3 000 zyx
平面
0y 0x 1?
000 yxz?
法线垂直于平面点在曲面上机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,在第一卦限内作椭球面 的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积,
提示,设切点为
)1( 2
2
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用拉格朗日乘数法可求出则切平面为所指四面体围体积 000
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V 最小等价于 f ( x,y,z ) = x y z 最大,故取拉格朗日函数例 4 目录 上页 下页 返回 结束
(见例 4)
作业
P73 5,6,10,15,17
机动 目录 上页 下页 返回 结束
