第七节一、三角级数及三角函数系的正交性机动 目录 上页 下页 返回 结束二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数第十一章傅里叶级数一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动,(谐波函数 )
( A为 振幅,
复杂的周期运动,
tnAtnA nnnn s inc o sc o ss in?
令,s in nnn Aa,c o s nnn Ab
得函数项级数 )s i nc o s(2
1
0 xnbxnaa
nn
k
为 角频率,φ为 初相 )
(谐波迭加 )
称上述形式的级数为 三角级数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xxnkxnk d)c o s ()c o s (21
定理 1,组成三角级数的函数系证,
1 xnx dc o s
1 xnx dsin 0?
xxnxk dc o sc o s
0?
0ds ins in xxnxk同理可证,
正交,
上的积分等于 0,
即其中任意两个不同的函数之积在
0ds inc o s xxnxk
)( nk?
机动 目录 上页 下页 返回 结束上的积分不等于 0,
2d11 x
xxn ds i n 2
xxn dc o s 2
,2 2c o s1c o s 2 xnxn 2 2c o s1sin 2 xnxn
且有
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在机动 目录 上页 下页 返回 结束二,函数展开成傅里叶级数定理 2,设 f (x) 是周期为 2?的周期函数,且 )s i nc o s(
2)( 1
0 nxbnxaaxf
nn
n
右端级数可逐项积分,则有证,由定理条件,?
1
0 ds i ndc o sd
2
)(
n
nn xxnbxxnax
adxxf?
①
②
对①在 逐项积分,得机动 目录 上页 下页 返回 结束
xxkaxxkxf dc o s2dc o s)( 0
1n
xxnxka n dc o sc o s xxnxkb n ds i nc o s
xxka k dc o s 2
xxkxfa k dc o s)(1 ),2,1(k
(利用正交性 )
),2,1(ds i n)(1 kxxkxfb k
xxfa d)(10
类似地,用 sin k x 乘 ① 式两边,再逐项积分可得机动 目录 上页 下页 返回 结束叶系数为系数的三角级数 ① 称为的 傅 里 叶系数 ;
1
0 s i nc o s
2)( n nn xnbxna
axf
),1,0(dc o s)(1?nxnxxfa n
由公式 ② 确定的
①
②
以
),2,1(ds i n)(1?nxnxxfb n
的傅 里的 傅 里 叶级数,
称为函数傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束定理 3 (收敛定理,展开定理 ) 设 f (x) 是周期为 2?的周期函数,并满足 狄利克雷 ( Dirichlet )条件,
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅 里 叶级数收敛,且有
,)(xf
,2 )()(
xfxf
x 为间断点其中 nn ba,( 证明略 )为 f (x) 的傅 里 叶系数,
x 为连续点注意,函数展成傅 里 叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多,
简介 目录 上页 下页 返回 结束例 1,设 f (x) 是周期为 2?的周期函数,它在上的表达式为
x
xxf
0,1
0,1)(
解,先求傅 里 叶系数
00 dc o s11dc o s)1(1 xnxxnx
),2,1,0(0 n
将 f (x) 展成傅 里 叶级数,
o
y
x
1?
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
00 dsin11dsin)1(1 xnxxnx0c o s1
n
nx?
0
c o s1
n
nx
nn c o s12
nn )1(12,
4
n
,0
,5,3,1?n当
,6,4,2?n当?
xxf sin 4)(x3si n31 xkk )12sin (12 1?
),2,,0,( xx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
7
7si n x? ]
9
9si n x
1) 根据收敛定理可知,
时,级数收敛于 02
11
2) 傅氏级数的部分和逼近
3 3s i ns i n4)( xxxf55si n x?
o
y
x
1?
1
说明,
f (x) 的情况见右图,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
o
y
例 2.
上的表达式为将 f (x) 展成傅 里 叶级数,
解,
xxfa d)(
1
0
0 dc o s1 xxnx xnxxfa n dc o s)(1
0 d1 xx
02
2
1 x
2
0
2
c o ss i n1
n
nx
n
nxx
2
c o s1
n
2 33 2
设 f (x) 是周期为 2?的周期函数,它在机动 目录 上页 下页 返回 结束
),2,1(n
xnxxfb n dsin)(1 n
n 1)1(
),2,1(k
12 kn
kn 2,0
0 dsin1 xnxx
4 c o s?x?2 xsin x2si n21
3s in 3c o s xx232 31 x4si n41
5s in 5c o s xx252 51
2
c o s1
n
na
n
,2)12( 2k
),2,1,0,)12(,( kkxx?
说明,当?)12( kx 时,级数收敛于 22
)(0
机动 目录 上页 下页 返回 结束周期延拓
)(xF
傅 里 叶展开上的傅 里 叶级数定义在 [–?,?]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
),[,)(xxf
,)2(?kxf?其它机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,将函数级数,
o
y
x则
xxFa d)(10 xxf d)(1?
0
2
2
2
x
xnxxFa n dc o s)(1 xnxxf dc o s)(1?
02
c o ss i n2
n
nx
n
nxx
解,将 f (x)延拓成以展成傅 里 叶
2?为 周期 的函数 F(x),
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x3c o s312
)1c o s(22 nn 12 kn
kn 2,0? ),2,1(k
,2)12( 4 k
xnxxf ds i n)(1
2
xcosx5c o s
5
1
2
利用此展式可求出几个特殊的级数的和,
当 x = 0 时,f (0) = 0,得说明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
42
,
4
21
3
12
设 2221 7
1
5
1
3
11?
,
6
1
4
1
2
1
2222
已知 8
2
1
又 21
213
6248
222
12248
222
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、正弦级数和余弦级数
1,周期为 2?的 奇、偶函数的傅里叶级数定理 4,对周期为 2?的 奇 函数 f (x),其傅 里 叶 级数为周期为 2?的 偶 函数 f (x),其傅 里 叶级数为 余弦级数,
它的傅 里 叶系数为正弦级数,它的傅 里 叶系数为机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,设的 表达式为 f (x)＝ x,将 f (x) 展成傅 里 叶级数,
是 周期为 2?的周期函数,它在解,若不计周期为 2? 的奇函数,
y
xo
0 dsin)(
2 xnxxfb
n
),2,1,0(0 na n
),3,2,1(n
0 dsi n2 xnxx
因此
02
sinc o s2?
n
nx
n
nxx
nn c o s2 1)1(2 nn
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n＝ 1
根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数,
)(xf
)3sin312sin21(sin2 xxx
1
2
n
nxn
n
s i n)1(
1
y
xo
级数的部分和 ＝ 2＝ 3＝ 4
逼近 f (x) 的情况见右图,
＝ 5
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,将周期函数 展成傅 里 叶级数,其中 E 为正常数,
解,
2
y
xo 2?
0a?
0 dsi n2 ttE
ttntua n 0 dc o s)(2 ttntE 0 dc o ssin2
0 d)1s i n ()1s i n ( ttntnE
是周期为 2?的周期偶函数,因此
0 d)(2 ttu
机动 目录 上页 下页 返回 结束
t2c o s31?
0 d)1s i n ()1s i n ( ttntnEa n
12,0 kn
1a 0?
)(tu
0 d2si n ttE
2
1 t4c o s
15
1
t6c o s
35
1?
E2
E4
xk
k
E
k
2c o s
14
14
1
2?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,在 [0,?]上的函数展成正弦级数与余弦级数
],0[),(xxf
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0,? ] 上展成周期延拓 F (x)
余弦级数奇延拓 偶延拓
xo?
y
正弦级数
f (x) 在 [0,? ]上展成
xo?
y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1? xy o
例 6,将函数 分别展成正弦级数与余弦级数,
解,先求正弦级数,去掉端点,将 f (x) 作奇周期延拓,
0 dsin)1(2 xnxx
02
c o ss i nc o s2?
n
nx
n
nx
n
nxx
nnn c o sc o s12
),2,1(k
机动 目录 上页 下页 返回 结束
nb ),2,1(k
21x
xs in)2( x2si n2
x3si n3 2x4si n4?
注意,在端点 x = 0,?,级数的和为 0,与给定函数机动 目录 上页 下页 返回 结束
1? xy o
因此得
f (x) = x + 1 的值不同,
再求余弦级数,
x?
1
y
将 则有
o
0 d)1(2 xx
0 dc o s)1(2 xnxx 0
2
2
2?
xx
02
s i nc o ss i n2?
n
nx
n
nx
n
nxx
1c o s22 nn
),2,1(k
作偶周期延拓,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
121x
xcos?x3c o s312x5c o s5
1
2
说明,令 x = 0 可得即
41
2
1
2)12(
14
k k? xk )12c o s (?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
y
o x
内容小结
1,周期为 2?的函数的傅 里 叶级数及收敛定理 )s i nc o s(
2)( 1
0 xnbxnaaxf
nn
n
)( 间断点?x
其中
xxnxfa n dc o s)(1
xxnxfb n dsin)(1
),2,1,0(n
),2,1(n
注意,若 为间断点,则级数收敛于 2
)()( 00 xfxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,周期为 2?的奇、偶函数的傅 里 叶级数
奇函数 正弦级数
偶函数 余弦级数
3,在 [ 0,? ] 上函数的傅 里 叶展开法
作奇周期延拓,展开为正弦级数
作偶周期延拓,展开为余弦级数
1,在 [ 0,? ] 上的函数的傅 里 叶展开法唯一吗?
答,不唯一,延拓方式不同级数就不同,
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习处收敛于
2.
则它的傅 里 叶级数在x
在?4?x 处收敛于,
提示,
2
)()( ff
2
)(f )(f
2
2?
2?
2
)4()4( ff
2
)0()0( ff 11
02
设周期函数在一个周期内的表达式为机动 目录 上页 下页 返回 结束
,
x
y
o?1?1
3,设 又设 )(xS
求当的表达式,
解,由题设可知应对 作奇延拓,
由周期性,
)0,(2x
为周期的正弦级数展开式的和函数,
定义域机动 目录 上页 下页 返回 结束
4,写出函数傅氏级数的和函数,
答案,
定理 3 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
o?1?1
P250 1(1),(3) ; 2 (1),(2) ;
3; 5 ; 7 ; 8 (2)
第八节 目录 上页 下页 返回 结束作业备用题 1.
叶级数展式为 则其中系提示,
32?
利用“偶倍奇零”
(93 考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束的傅里
2,设 是以 2?为周期的函数,其傅氏系数为则 的傅氏系数提示,hx? 令
nhbnha nn s inc o s? nhanhb nn s inc o s?
h h利用周期函数性质机动 目录 上页 下页 返回 结束
( A为 振幅,
复杂的周期运动,
tnAtnA nnnn s inc o sc o ss in?
令,s in nnn Aa,c o s nnn Ab
得函数项级数 )s i nc o s(2
1
0 xnbxnaa
nn
k
为 角频率,φ为 初相 )
(谐波迭加 )
称上述形式的级数为 三角级数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xxnkxnk d)c o s ()c o s (21
定理 1,组成三角级数的函数系证,
1 xnx dc o s
1 xnx dsin 0?
xxnxk dc o sc o s
0?
0ds ins in xxnxk同理可证,
正交,
上的积分等于 0,
即其中任意两个不同的函数之积在
0ds inc o s xxnxk
)( nk?
机动 目录 上页 下页 返回 结束上的积分不等于 0,
2d11 x
xxn ds i n 2
xxn dc o s 2
,2 2c o s1c o s 2 xnxn 2 2c o s1sin 2 xnxn
且有
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在机动 目录 上页 下页 返回 结束二,函数展开成傅里叶级数定理 2,设 f (x) 是周期为 2?的周期函数,且 )s i nc o s(
2)( 1
0 nxbnxaaxf
nn
n
右端级数可逐项积分,则有证,由定理条件,?
1
0 ds i ndc o sd
2
)(
n
nn xxnbxxnax
adxxf?
①
②
对①在 逐项积分,得机动 目录 上页 下页 返回 结束
xxkaxxkxf dc o s2dc o s)( 0
1n
xxnxka n dc o sc o s xxnxkb n ds i nc o s
xxka k dc o s 2
xxkxfa k dc o s)(1 ),2,1(k
(利用正交性 )
),2,1(ds i n)(1 kxxkxfb k
xxfa d)(10
类似地,用 sin k x 乘 ① 式两边,再逐项积分可得机动 目录 上页 下页 返回 结束叶系数为系数的三角级数 ① 称为的 傅 里 叶系数 ;
1
0 s i nc o s
2)( n nn xnbxna
axf
),1,0(dc o s)(1?nxnxxfa n
由公式 ② 确定的
①
②
以
),2,1(ds i n)(1?nxnxxfb n
的傅 里的 傅 里 叶级数,
称为函数傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束定理 3 (收敛定理,展开定理 ) 设 f (x) 是周期为 2?的周期函数,并满足 狄利克雷 ( Dirichlet )条件,
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅 里 叶级数收敛,且有
,)(xf
,2 )()(
xfxf
x 为间断点其中 nn ba,( 证明略 )为 f (x) 的傅 里 叶系数,
x 为连续点注意,函数展成傅 里 叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多,
简介 目录 上页 下页 返回 结束例 1,设 f (x) 是周期为 2?的周期函数,它在上的表达式为
x
xxf
0,1
0,1)(
解,先求傅 里 叶系数
00 dc o s11dc o s)1(1 xnxxnx
),2,1,0(0 n
将 f (x) 展成傅 里 叶级数,
o
y
x
1?
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
00 dsin11dsin)1(1 xnxxnx0c o s1
n
nx?
0
c o s1
n
nx
nn c o s12
nn )1(12,
4
n
,0
,5,3,1?n当
,6,4,2?n当?
xxf sin 4)(x3si n31 xkk )12sin (12 1?
),2,,0,( xx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
7
7si n x? ]
9
9si n x
1) 根据收敛定理可知,
时,级数收敛于 02
11
2) 傅氏级数的部分和逼近
3 3s i ns i n4)( xxxf55si n x?
o
y
x
1?
1
说明,
f (x) 的情况见右图,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
o
y
例 2.
上的表达式为将 f (x) 展成傅 里 叶级数,
解,
xxfa d)(
1
0
0 dc o s1 xxnx xnxxfa n dc o s)(1
0 d1 xx
02
2
1 x
2
0
2
c o ss i n1
n
nx
n
nxx
2
c o s1
n
2 33 2
设 f (x) 是周期为 2?的周期函数,它在机动 目录 上页 下页 返回 结束
),2,1(n
xnxxfb n dsin)(1 n
n 1)1(
),2,1(k
12 kn
kn 2,0
0 dsin1 xnxx
4 c o s?x?2 xsin x2si n21
3s in 3c o s xx232 31 x4si n41
5s in 5c o s xx252 51
2
c o s1
n
na
n
,2)12( 2k
),2,1,0,)12(,( kkxx?
说明,当?)12( kx 时,级数收敛于 22
)(0
机动 目录 上页 下页 返回 结束周期延拓
)(xF
傅 里 叶展开上的傅 里 叶级数定义在 [–?,?]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
),[,)(xxf
,)2(?kxf?其它机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,将函数级数,
o
y
x则
xxFa d)(10 xxf d)(1?
0
2
2
2
x
xnxxFa n dc o s)(1 xnxxf dc o s)(1?
02
c o ss i n2
n
nx
n
nxx
解,将 f (x)延拓成以展成傅 里 叶
2?为 周期 的函数 F(x),
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x3c o s312
)1c o s(22 nn 12 kn
kn 2,0? ),2,1(k
,2)12( 4 k
xnxxf ds i n)(1
2
xcosx5c o s
5
1
2
利用此展式可求出几个特殊的级数的和,
当 x = 0 时,f (0) = 0,得说明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
42
,
4
21
3
12
设 2221 7
1
5
1
3
11?
,
6
1
4
1
2
1
2222
已知 8
2
1
又 21
213
6248
222
12248
222
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、正弦级数和余弦级数
1,周期为 2?的 奇、偶函数的傅里叶级数定理 4,对周期为 2?的 奇 函数 f (x),其傅 里 叶 级数为周期为 2?的 偶 函数 f (x),其傅 里 叶级数为 余弦级数,
它的傅 里 叶系数为正弦级数,它的傅 里 叶系数为机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,设的 表达式为 f (x)＝ x,将 f (x) 展成傅 里 叶级数,
是 周期为 2?的周期函数,它在解,若不计周期为 2? 的奇函数,
y
xo
0 dsin)(
2 xnxxfb
n
),2,1,0(0 na n
),3,2,1(n
0 dsi n2 xnxx
因此
02
sinc o s2?
n
nx
n
nxx
nn c o s2 1)1(2 nn
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n＝ 1
根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数,
)(xf
)3sin312sin21(sin2 xxx
1
2
n
nxn
n
s i n)1(
1
y
xo
级数的部分和 ＝ 2＝ 3＝ 4
逼近 f (x) 的情况见右图,
＝ 5
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,将周期函数 展成傅 里 叶级数,其中 E 为正常数,
解,
2
y
xo 2?
0a?
0 dsi n2 ttE
ttntua n 0 dc o s)(2 ttntE 0 dc o ssin2
0 d)1s i n ()1s i n ( ttntnE
是周期为 2?的周期偶函数,因此
0 d)(2 ttu
机动 目录 上页 下页 返回 结束
t2c o s31?
0 d)1s i n ()1s i n ( ttntnEa n
12,0 kn
1a 0?
)(tu
0 d2si n ttE
2
1 t4c o s
15
1
t6c o s
35
1?
E2
E4
xk
k
E
k
2c o s
14
14
1
2?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,在 [0,?]上的函数展成正弦级数与余弦级数
],0[),(xxf
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0,? ] 上展成周期延拓 F (x)
余弦级数奇延拓 偶延拓
xo?
y
正弦级数
f (x) 在 [0,? ]上展成
xo?
y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1? xy o
例 6,将函数 分别展成正弦级数与余弦级数,
解,先求正弦级数,去掉端点,将 f (x) 作奇周期延拓,
0 dsin)1(2 xnxx
02
c o ss i nc o s2?
n
nx
n
nx
n
nxx
nnn c o sc o s12
),2,1(k
机动 目录 上页 下页 返回 结束
nb ),2,1(k
21x
xs in)2( x2si n2
x3si n3 2x4si n4?
注意,在端点 x = 0,?,级数的和为 0,与给定函数机动 目录 上页 下页 返回 结束
1? xy o
因此得
f (x) = x + 1 的值不同,
再求余弦级数,
x?
1
y
将 则有
o
0 d)1(2 xx
0 dc o s)1(2 xnxx 0
2
2
2?
xx
02
s i nc o ss i n2?
n
nx
n
nx
n
nxx
1c o s22 nn
),2,1(k
作偶周期延拓,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
121x
xcos?x3c o s312x5c o s5
1
2
说明,令 x = 0 可得即
41
2
1
2)12(
14
k k? xk )12c o s (?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
y
o x
内容小结
1,周期为 2?的函数的傅 里 叶级数及收敛定理 )s i nc o s(
2)( 1
0 xnbxnaaxf
nn
n
)( 间断点?x
其中
xxnxfa n dc o s)(1
xxnxfb n dsin)(1
),2,1,0(n
),2,1(n
注意,若 为间断点,则级数收敛于 2
)()( 00 xfxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,周期为 2?的奇、偶函数的傅 里 叶级数
奇函数 正弦级数
偶函数 余弦级数
3,在 [ 0,? ] 上函数的傅 里 叶展开法
作奇周期延拓,展开为正弦级数
作偶周期延拓,展开为余弦级数
1,在 [ 0,? ] 上的函数的傅 里 叶展开法唯一吗?
答,不唯一,延拓方式不同级数就不同,
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习处收敛于
2.
则它的傅 里 叶级数在x
在?4?x 处收敛于,
提示,
2
)()( ff
2
)(f )(f
2
2?
2?
2
)4()4( ff
2
)0()0( ff 11
02
设周期函数在一个周期内的表达式为机动 目录 上页 下页 返回 结束
,
x
y
o?1?1
3,设 又设 )(xS
求当的表达式,
解,由题设可知应对 作奇延拓,
由周期性,
)0,(2x
为周期的正弦级数展开式的和函数,
定义域机动 目录 上页 下页 返回 结束
4,写出函数傅氏级数的和函数,
答案,
定理 3 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
o?1?1
P250 1(1),(3) ; 2 (1),(2) ;
3; 5 ; 7 ; 8 (2)
第八节 目录 上页 下页 返回 结束作业备用题 1.
叶级数展式为 则其中系提示,
32?
利用“偶倍奇零”
(93 考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束的傅里
2,设 是以 2?为周期的函数,其傅氏系数为则 的傅氏系数提示,hx? 令
nhbnha nn s inc o s? nhanhb nn s inc o s?
h h利用周期函数性质机动 目录 上页 下页 返回 结束
