齐次方程机动 目录 上页 下页 返回 结束第三节一、齐次方程
*二、可化为齐次方程第十二章一、齐次方程形如 的方程叫做 齐次方程,
令,x
yu?
代入原方程得 )(d
d u
x
uxu
x
x
uu
u d
)(
d?
两边积分,得 x
x
uu
u d
)(
d
积分后再用 代替 u,便得原方程的通解,
解法,
分离变量,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,解微分方程,t a n x
y
x
yy
解,,x
yu?令,uxuy则代入原方程得
uuuxu ta n
分离变量 x
xu
u
u dd
si n
c o s?
两边积分 x
xu
u
u dd
si n
c o s
得,lnlns i nln Cxu xCus in即故原方程的通解为 xCx
y?si n
( 当 C = 0 时,y = 0 也是方程的解 )
( C 为任意常数 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,解微分方程解,,2d
d 2
x
y
x
y
x
y方程变形为,
x
yu?令则有
22 uuuxu
分离变量 x
x
uu
u dd
2
积分得,lnln
1ln Cx
u
u
x xuuu dd111即代回原变量得通解即 Cu
ux )1(
yCxyx )(
说明,显然 x = 0,y = 0,y = x 也是原方程的解,但在
(C 为任意常数 )
求解过程中丢失了,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
o
y
x
可得?OMA =? OAM =?
例 3,在制造探照灯反射镜面时,
解,设光源在坐标原点,
则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成,
过曲线上任意点 M (x,y) 作切线 M T,
由光的反射定律,入射角 = 反射角
xyc o t xy
y?
22 yxOM
T
M
A P
y?
取 x 轴平行于光线反射方向,
从而 AO = OM
OPAP
要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状,
而 AO
于是得微分方程,xy
y?
22 yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束利用曲线的对称性,不妨设 y > 0,
,yxv?令
21
d
d v
y
vy y
vyv
y
x
d
d
d
d
Cyvv lnln)1(ln 2积分得故有 1
2
2
2
C vyCy
得 )2(2
2 CxCy
(抛物线 )
22 1)( vv
C
y
故反射镜面为旋转抛物面,
于是方程化为
(齐次方程 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束顶到底的距离为 h,
h
dC
8
2
说明,
)(2 22 CxCy
则将这时旋转曲面方程为
hdxhdzy 164
22
22
h
d若已知反射镜面的底面直径为 d,
代入通解表达式得
)0,( 2C?
o
y
x
A
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( h,k 为待
*二、可化为齐次方程的方程
)0( 212 cc
,.1 11 时当 bbaa?作变换 kYyhXx,
,dd,dd YyXx则 原方程化为
ckbha
111 ckbha
令,解出 h,k
(齐次方程 )
定常数 ),
机动 目录 上页 下页 返回 结束求出其解后,即得原方程的解,,.2 11 时当
b
b
a
a
原方程可化为
1)(d
d
cybxa
cybxa
x
y
令,ybxav x
yba
x
v
d
d
d
d则
1d
d
cv
cvba
x
v
(可分离变量方程 )
注,上述方法可适用于下述更一般的方程
)0( 212 cc
)0(?b
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求解解,04 kh
令,5,1 YyXx YX
YX
X
Y
d
d
得再令 Y＝ X u,得令 06 kh 5,1 kh得
X
Xu
u
u dd
1
1
2
积分得 uarctan )1(ln 221 u XCln?
代回原变量,得原方程的通解,
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1
5a rc t a n
x
y
2
1
51ln
2
1
x
y
)1(ln xC
得 C = 1,故所求特解为思考,若方程改为 如何求解?
提示,
作业
P276 1(1),(4),(6); 2 (2),(3); 3; 4(4)
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*二、可化为齐次方程第十二章一、齐次方程形如 的方程叫做 齐次方程,
令,x
yu?
代入原方程得 )(d
d u
x
uxu
x
x
uu
u d
)(
d?
两边积分,得 x
x
uu
u d
)(
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积分后再用 代替 u,便得原方程的通解,
解法,
分离变量,
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y
x
yy
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yu?令,uxuy则代入原方程得
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分离变量 x
xu
u
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两边积分 x
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得,lnlns i nln Cxu xCus in即故原方程的通解为 xCx
y?si n
( 当 C = 0 时,y = 0 也是方程的解 )
( C 为任意常数 )
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d 2
x
y
x
y
x
y方程变形为,
x
yu?令则有
22 uuuxu
分离变量 x
x
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2
积分得,lnln
1ln Cx
u
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x xuuu dd111即代回原变量得通解即 Cu
ux )1(
yCxyx )(
说明,显然 x = 0,y = 0,y = x 也是原方程的解,但在
(C 为任意常数 )
求解过程中丢失了,
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o
y
x
可得?OMA =? OAM =?
例 3,在制造探照灯反射镜面时,
解,设光源在坐标原点,
则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成,
过曲线上任意点 M (x,y) 作切线 M T,
由光的反射定律,入射角 = 反射角
xyc o t xy
y?
22 yxOM
T
M
A P
y?
取 x 轴平行于光线反射方向,
从而 AO = OM
OPAP
要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状,
而 AO
于是得微分方程,xy
y?
22 yx
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,yxv?令
21
d
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y
vy y
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y
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d
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Cyvv lnln)1(ln 2积分得故有 1
2
2
2
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得 )2(2
2 CxCy
(抛物线 )
22 1)( vv
C
y
故反射镜面为旋转抛物面,
于是方程化为
(齐次方程 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束顶到底的距离为 h,
h
dC
8
2
说明,
)(2 22 CxCy
则将这时旋转曲面方程为
hdxhdzy 164
22
22
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d若已知反射镜面的底面直径为 d,
代入通解表达式得
)0,( 2C?
o
y
x
A
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( h,k 为待
*二、可化为齐次方程的方程
)0( 212 cc
,.1 11 时当 bbaa?作变换 kYyhXx,
,dd,dd YyXx则 原方程化为
ckbha
111 ckbha
令,解出 h,k
(齐次方程 )
定常数 ),
机动 目录 上页 下页 返回 结束求出其解后,即得原方程的解,,.2 11 时当
b
b
a
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原方程可化为
1)(d
d
cybxa
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x
y
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yba
x
v
d
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d
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x
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(可分离变量方程 )
注,上述方法可适用于下述更一般的方程
)0( 212 cc
)0(?b
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求解解,04 kh
令,5,1 YyXx YX
YX
X
Y
d
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得再令 Y＝ X u,得令 06 kh 5,1 kh得
X
Xu
u
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1
1
2
积分得 uarctan )1(ln 221 u XCln?
代回原变量,得原方程的通解,
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1
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x
y
2
1
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2
1
x
y
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得 C = 1,故所求特解为思考,若方程改为 如何求解?
提示,
作业
P276 1(1),(4),(6); 2 (2),(3); 3; 4(4)
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