第十章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域曲线积分曲线域 曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束对弧长的曲线积分第十章
A
B
一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为 AB,其线密度为
“大化小,常代变,近似和,求极限”
可得?
n
k 1?M
为计算此构件的质量,ks? 1?kM
kM ),,( kkk
1.引例,曲线形构件的质量采用机动 目录 上页 下页 返回 结束
设?是空间中一条有限长的光滑曲线,
义在?上的一个有界函数,
kkkk sf?),,(
都存在,
上 对弧长的曲线积分,
记作?
szyxf d),,(
若通过对?的 任意分割局部的 任意取点,
2.定义下列“乘积和式极限”
则称此极限为函数 在曲线或第一类曲线积分,
称为 被积函数,? 称为 积分弧段,
曲线形构件的质量 szyxM d),,(?
n
k 10
lim
ks? 1?kMk
M
),,( kkk
和对机动 目录 上页 下页 返回 结束如果 L 是 xoy 面上的曲线弧,
kk
n
k
k sf

),(lim
10

L syxf d),(
如果 L 是闭曲线,则记为,d),(?L syxf
则定义对弧长的曲线积分为机动 目录 上页 下页 返回 结束思考,
(1) 若在 L 上 f (x,y)≡1,?d 表示什么问? L s
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?
否 !对弧长的曲线积分要求 ds? 0,但定积分中
dx 可能为负,
3,性质
szyxf d ),,()1(
（ k 为常数 )
szyxf d),,()3(
(? 由 组成 )
( l 为曲线弧? 的长度 )
),,( zyxg
szyxf d),,( szyxg d),,(
21 d),,(d),,( szyxfszyxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束
tttttfsdyxfL d)()()](,)([),( 22
二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路,计算定积分转 化定理,
且上的连续函数,
证,
是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义
kk
n
k
k sf

),(lim
10

机动 目录 上页 下页 返回 结束点 ),( kk
ttts k
k
t
tk d)()(1
22?

,)()( 22 kkk t

n
k 10
lim
])(,)([ kkf
连续注意 )()( 22 tt
设各分点对应参数为对应参数为则

n
k 10
lim
])(,)([ kkf
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xd ydsd
x
y
o
说明,
,0,0)1( kk ts? 因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
22 )(d)(dd yxs
ttt d)()( 22
x因此上述计算公式相当于“换元法”,
因此机动 目录 上页 下页 返回 结束如果曲线 L 的方程为 则有如果方程为极坐标形式,),()(, rrL 则
)s i n)(,c o s)(( rrf
推广,设空间曲线弧的参数方程为
)()(,)(),(, ttztytx
则 szyxf d),,(
tttt d)()()( 222
xx d)(1 2
d)()( 22 rr
ba xxf ))(,(?
))(),(,)(( tttf
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,计算 其中 L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧,
解,)10(,2 xxyL
10 x
xxx d4110 2 1
0
2
32
)41(
12
1


x
)155(121
上点 O (0,0)
1
L
x
y
2xy?
o
)1,1(B
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,计算半径为 R,中心角为 的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I (设线密度? = 1),
解,建立坐标系如图,
R x
y
o L?syI L d2
d)c o s()s i n(s i n 2222 RRR
ds i n 23 R

0
3
4
2sin
2
2?

R
)c o ss in(3 R
则
)(s i nc o s, Ry RxL
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,计算 其中 L为双纽线
)0()()( 222222 ayxayx
解,在极坐标系下它在第一象限部分为
)40(2c o s:1 arL
利用对称性,得
40 22 d)()(c o s4 rrr
40 2 dc o s4a
y
o x
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,计算曲线积分 其中?为螺旋的一段弧,
解, szyx d)( 222
ttkaka d][20 22222
)43(32 22222 kaka
线机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,计算 其中?为球面被平面 所截的圆周,
解,由对称性可知 sx d2
szyxsx d)(31d 2222
sa d31 2 aa?231 2
3
3
2 a
sy d2 sz d2
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考,例 5中?改为计算解,令


1
1
zZ
yY
xX



0,
2222
ZYX
aZYX
,则
sX d)1( 2
3
3
2 a sX d2 圆?的形心在原点,故
0?X
aX?22
,如何机动 目录 上页 下页 返回 结束
d d?s
例 6,计算 其中?为球面 22 yx?
解,,1
1)(,24122121


zx
yx
: 20
2)s i n2( 2)s in2(
18d229 20I
d2?
c o s221z
,1 的交线与平面 zx292 z
化为参数方程
21c o s2x s in2y
则机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,有一半圆弧其线密度解,?
c o sdd
2R
skF
x?
s i ndd 2
R
skF
y? RR? o x
y
0 dc o s2RkF x
0 dsin2RkF y

0
c o ss i n2 Rk

0
s i nc o s2 Rk
故所求引力为
),( yx
求它对原点处单位质量质点的引力,
RkRkF?2,4
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,定义
szyxf d),,(
2,性质
L syxf d),(
szyxgzyxf d),,(),,()1(
21 d),,(d),,(d),,()2( szyxfszyxfszyxf
),( 21 组成由ls
d)3( ( l 曲线弧? 的长度 )
),( 为常数 szyxgL d),,(
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,计算
对光滑曲线弧
L syxf d),(
对光滑曲线弧
L syxf d),( ba xxf ))(,(?
L syxf d),(
)s i n)(,c o s)(( rrf
对光滑曲线弧
ttt d)()( 22
xx d)(1 2
d)()( 22 rr
)](),([ ttf
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,已知椭圆 134:
22
yxL 周长为 a,求
syxxyL d)432( 22
提示,0d2 sxyL
原式 = s
yx
L d)34(12
22
sL d12 a12?
o2? 2
y
x
3
利用对称性
sxyL d2? sxyL d2 上 sxyL d2 下
x2 )(2x
分析,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设均匀螺旋形弹簧 L的方程为
(1) 求它关于 z 轴的转动惯量 ;zI
(2) 求它的质心,
解,设其密度为 ρ (常数 ).
syxI Lz d)( 2220 2a tka d22?
2222 kaa
(2) L的质量 sm L d 222 ka
而 22 kaa
2
0 dc o s tt0?
(1)
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22 kaa
2
0 ds in tt0?
22 kak20 d tt 222 kak
故重心坐标为 ),0,0(?k
作业
P131 3 (3),(4),(6),(7)
5
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
o
备用题
1,设 C 是由极坐标系下曲线,ar? 0 及 4
所围区域的边界,求
a4?
xy?
0?y
ar?
提示,分段积分机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,L为球面 2222 Rzyx
面的交线,求其形心,
在第一卦限与三个坐标解,如图所示,交线长度为
R
o
z
y
x
R
R
1L
3L
2Lsl
L d3 1 4
23 R
2
3 R
由对称性,形心坐标为
321 d1 LLL sxlxyz

321
ddd1 LLL sxsxsxl
1
d2 L sxl
20 dc o s2 RRl?34R?
机动 目录 上页 下页 返回 结束