第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二,对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系机动 目录 上页 下页 返回 结束对坐标的曲线积分第十章一,对坐标的曲线积分的概念与性质
1,引例,变力沿曲线所作的功,
设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,
A
BL
x
y
求移
c o sABFW?
“大化小”
“常代变”
“近似和”
“取极限”
变力沿直线所作的功解决办法,动过程中变力所作的功 W.
ABFA B
F
)),(,),((),( yxQyxPyxF?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1?kM
kM
A
B
x
y
1),大化小,,
2),常代变,
L
把 L分成 n 个小弧段,
有向小弧段近似代替,则有
kkkk yQxP ),(),( kk
所做的功为
F 沿
kkkk MMFW 1),( k
),( kkF
n
k
kWW
1
则用有向线段上任取一点在
ky?
kx?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3),近似和,
4),取极限,
n
k
W
1kkkkkk yξQxP ),(),(
n
k
W
10
lim
kkkkkk y) ΔηQ( ξx) ΔηξP,,(?
1?kM
kM
A
B
x
y L ),( kkF
ky?
kx?
(其中?为 n 个小弧段的最大长度 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,定义,设 L 为 xoy 平面内从 A 到 B 的一条 有向光滑弧,
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,
都存在,在有向曲线弧 L 上对 坐标的曲线积分,
L yyxQxyxP d),(d),(
kkk xP?),(kkk yQ ),(
n
k 10
lim
则称此极限为函数或 第二类曲线积分,其中,
L 称为 积分弧段 或 积分曲线,称为 被积函数,
在 L 上定义了一个向量函数极限记作机动 目录 上页 下页 返回 结束
L xyxP d),(,),(lim 10
n
k
kkk xP
L yyxQ d),(,),(lim 10
n
k
kkk yQ
若?为空间曲线弧,记称为对 x 的曲线积分 ;
称为对 y 的曲线积分,
若记,对坐标的曲线积分也可写作 )d,(dd yxs
LL yyxQxyxPsF d),(d),(d
)),,(,),,(,),,((),,( zyxRzyxQzyxPzyxF?
)d,d,(dd zyxs?类似地,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧?
L yyxQxyxP d),(d),(
k
i L i
yyxQxyxP
1
d),(d),(
(2) 用 L－ 表示 L 的反向弧,则?
L yyxQxyxP d),(d),(
则
定积分是第二类曲线积分的特例,
说明,
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的 方向 !
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、对坐标的曲线积分的计算法定理,在有向光滑弧 L 上有定义且
L 的参数方程为
)(
)(
ty
tx
,,t
则曲线积分
)](),([ ttP)(t )(t td )](),([ ttQ
连续,
证明,下面先证
tttP d )](),([)(t
存在,且有机动 目录 上页 下页 返回 结束对应参数设分点根据定义
ix,it,i? 由于
1 iii xxx )()( 1 ii tt ii t )(
tttP d )](),([
n
i
iiP
10
)](,)([lim
ii t )(
n
i
iiP
10
)](,)([lim
ii t )(
)(t
n
i
iii xP
10
),(l i m
对应参数因为 L 为光滑弧,
同理可证 tttQ d )](),([
)(t
机动 目录 上页 下页 返回 结束特别是,如果 L 的方程为,:),( baxxy则
xxxQxxPba d )](,[)](,[)(x
对空间光滑曲线弧?,类似有
)(t
)(t
)(t
)](,)(),[ tttP
,:
)(
)(
)(
t
tz
ty
tx
定理 目录 上页 下页 返回 结束例 1,计算,d?L xyx 其中 L 为沿抛物线 xy?2
解法 1 取 x 为参数,则 OBAOL?:
01:,, xxyAO
10:,, xxyOB
OBAOL xyxxyxxyx ddd
5
4d2 1
0
23 xx
yyyyxyxL d)(d 211 2
xy
xy?
解法 2 取 y 为参数,则从点的一段,)1,1()1,1( BA 到? )1,1(B
)1,1(?A
o
y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,计算 其中 L 为
,:,0 aaxy
y
B Aoa? a x(1) 半径为 a 圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向 ;
(2) 从点 A ( a,0 )沿 x 轴到点 B (– a,0 ),
解,(1) 取 L的参数方程为
xyL d2
32a
(2) 取 L 的方程为
ta 20 2 s i n tta d)s in(
132 334 a
则则机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
xo
例 3,计算 其中 L为
(1) 抛物线 ;10:,,2 xxyL
(2) 抛物线
(3) 有向折线,,ABOAL?
解,(1) 原式 xx d4
1
0
3
(2) 原式 yyy 22 2?
(3) 原式
10 2 d)002( xxx
)0,1(A
)1,1(B
2yx?
2xy?
10( yy d)4?
10 d)102( yy
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,设在力场 作用下,质点由沿?移动到解,(1)
ttkR20 22 d)(
(2)? 的参数方程为?
AB zzyxxy ddd k tt?20 d
B
A
z
yx试求力场对质点所作的功,
其中?为机动 目录 上页 下页 返回 结束
o
z
yx
例 5,求 其中从 z 轴正向看为顺时针方向,
解,取? 的参数方程,s in,c o s tytx )02:(s inc o s2tttz
ttt c o s)s inc o s22(
tt d)c o s41( 2202
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知 L切向量的方向余弦为 s
y
s
x
d
dc o s,
d
dc o s
则两类曲线积分有如下联系?
L yyxQxyxP d),(d),(
ssysxQsysxPl dc o s)](),([c o s)](),([0
L syxQyxP dc o s),(c o s),(
机动 目录 上页 下页 返回 结束类似地,在 空间曲线?上的两类曲线积分的联系是 zRyQxP ddd
sRQP dc o sc o sc o s
令
tA
,),,( RQPA? )d,d,(dd zyxs?
)c o s,c o s,( c o st?
sA d
sA d
stA d
记 A 在 t 上的投影为机动 目录 上页 下页 返回 结束二者夹角为?
例 6,设曲线段 L 的长度为 s,证明续,
证,
sQPL dc o sc o s
设
sQPL dc o sc o s
说明,上述证法可推广到三维的第二类曲线积分,
在 L上连
)c o s,( c o s,),( tQPA
stAL d sAL dc o s
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7.将积分 化为对弧长的积分,
解：
o
y
xB
,2 2xxy xxx
xy d
2
1d
2?
sd xy d1 2 xxx d2
1
2
,2 2xx x1
yyxQxyxPL d),(d),(
22 xx? )1( x?
其中 L 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,定义
kkkk
n
k
yQxP
),(),(lim kk
10
2,性质
(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧
iL
k
i
yyxQxyxP d),(d),(
1
(2) L－ 表示 L 的反向弧?
L yyxQxyxP d),(d),(
对坐标的曲线积分必须注意 积分弧段的方向 !
内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,计算,
)(
)(:
ty
txL
:t
tttQttP d )](),([ )](),([)(t )(t
对有向光滑弧
对有向光滑弧 baxxyL,,)(,?
xxxQxxPba d )](,[)](,[)(x
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:,
)(
)(
)(
t
tz
ty
tx
)](,)(),([ tttP)(t
)(t
)(t
4,两类曲线积分的联系
L yQxP dd zRyQxP ddd
)](,)(),([ tttQ
)](,)(),([ tttR td
对空间有向光滑弧?:
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F
原点 O 的距离成正比,
思考与练习
1,设一个质点在 处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到
),( yxM
x
y
o )0,(aA
),0( bB
提示,
yykxxkW ddAB
:AB tax c o s? tby s in? 20,t (解见 P139 例 5)
,),( yxOM?
F 的大小与 M 到原
F 的方向力 F 的作用,
求力 F 所作的功,
),( yxkF
F
),( xyk?
思考,若题中 F 的方向改为与 OM 垂直且与
y 轴夹锐角,则机动 目录 上页 下页 返回 结束
)0,0,1(A
)0,1,0(B
)1,0,0(C
o
x
y
z
2,已知? 为折线 ABCOA(如图 ),计算提示,
0?
01 d)1( yy 10 dx
2 )211( 1?
01 d2 x
1 yx
1 zy
yxAB dd zyyBC dd OA x
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P141 3 (2),(4),(6),(7) ;
4 ; 5 ; 7 ; 8
第三节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 1.
解,z
x
o yA
B
z
k 222 zyx
kzjyix
z
k
L zyxz zzyyxxk 222 ddd
:L 22 tx 22 ty 1 tz )10:(?
10 1d3t tk 2ln3 k
)1,2,2(A
线移动到,)2,4,4(B
向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比,
沿直
sFW L d
F )( 0r?
)1,2,2(?AB
r
求 F 所作的功 W,已知 F 的方向指一质点在力场 F作用下由点机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设曲线 C为曲面 与曲面从 ox 轴正向看去为逆时针方向,
(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;
(2) 计算曲线积分解,(1)
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(2) 原式 =
令利用“偶倍奇零
”
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1,引例,变力沿曲线所作的功,
设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,
A
BL
x
y
求移
c o sABFW?
“大化小”
“常代变”
“近似和”
“取极限”
变力沿直线所作的功解决办法,动过程中变力所作的功 W.
ABFA B
F
)),(,),((),( yxQyxPyxF?
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1?kM
kM
A
B
x
y
1),大化小,,
2),常代变,
L
把 L分成 n 个小弧段,
有向小弧段近似代替,则有
kkkk yQxP ),(),( kk
所做的功为
F 沿
kkkk MMFW 1),( k
),( kkF
n
k
kWW
1
则用有向线段上任取一点在
ky?
kx?
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3),近似和,
4),取极限,
n
k
W
1kkkkkk yξQxP ),(),(
n
k
W
10
lim
kkkkkk y) ΔηQ( ξx) ΔηξP,,(?
1?kM
kM
A
B
x
y L ),( kkF
ky?
kx?
(其中?为 n 个小弧段的最大长度 )
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2,定义,设 L 为 xoy 平面内从 A 到 B 的一条 有向光滑弧,
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,
都存在,在有向曲线弧 L 上对 坐标的曲线积分,
L yyxQxyxP d),(d),(
kkk xP?),(kkk yQ ),(
n
k 10
lim
则称此极限为函数或 第二类曲线积分,其中,
L 称为 积分弧段 或 积分曲线,称为 被积函数,
在 L 上定义了一个向量函数极限记作机动 目录 上页 下页 返回 结束
L xyxP d),(,),(lim 10
n
k
kkk xP
L yyxQ d),(,),(lim 10
n
k
kkk yQ
若?为空间曲线弧,记称为对 x 的曲线积分 ;
称为对 y 的曲线积分,
若记,对坐标的曲线积分也可写作 )d,(dd yxs
LL yyxQxyxPsF d),(d),(d
)),,(,),,(,),,((),,( zyxRzyxQzyxPzyxF?
)d,d,(dd zyxs?类似地,
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3,性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧?
L yyxQxyxP d),(d),(
k
i L i
yyxQxyxP
1
d),(d),(
(2) 用 L－ 表示 L 的反向弧,则?
L yyxQxyxP d),(d),(
则
定积分是第二类曲线积分的特例,
说明,
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的 方向 !
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、对坐标的曲线积分的计算法定理,在有向光滑弧 L 上有定义且
L 的参数方程为
)(
)(
ty
tx
,,t
则曲线积分
)](),([ ttP)(t )(t td )](),([ ttQ
连续,
证明,下面先证
tttP d )](),([)(t
存在,且有机动 目录 上页 下页 返回 结束对应参数设分点根据定义
ix,it,i? 由于
1 iii xxx )()( 1 ii tt ii t )(
tttP d )](),([
n
i
iiP
10
)](,)([lim
ii t )(
n
i
iiP
10
)](,)([lim
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)(t
n
i
iii xP
10
),(l i m
对应参数因为 L 为光滑弧,
同理可证 tttQ d )](),([
)(t
机动 目录 上页 下页 返回 结束特别是,如果 L 的方程为,:),( baxxy则
xxxQxxPba d )](,[)](,[)(x
对空间光滑曲线弧?,类似有
)(t
)(t
)(t
)](,)(),[ tttP
,:
)(
)(
)(
t
tz
ty
tx
定理 目录 上页 下页 返回 结束例 1,计算,d?L xyx 其中 L 为沿抛物线 xy?2
解法 1 取 x 为参数,则 OBAOL?:
01:,, xxyAO
10:,, xxyOB
OBAOL xyxxyxxyx ddd
5
4d2 1
0
23 xx
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xy
xy?
解法 2 取 y 为参数,则从点的一段,)1,1()1,1( BA 到? )1,1(B
)1,1(?A
o
y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,计算 其中 L 为
,:,0 aaxy
y
B Aoa? a x(1) 半径为 a 圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向 ;
(2) 从点 A ( a,0 )沿 x 轴到点 B (– a,0 ),
解,(1) 取 L的参数方程为
xyL d2
32a
(2) 取 L 的方程为
ta 20 2 s i n tta d)s in(
132 334 a
则则机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
xo
例 3,计算 其中 L为
(1) 抛物线 ;10:,,2 xxyL
(2) 抛物线
(3) 有向折线,,ABOAL?
解,(1) 原式 xx d4
1
0
3
(2) 原式 yyy 22 2?
(3) 原式
10 2 d)002( xxx
)0,1(A
)1,1(B
2yx?
2xy?
10( yy d)4?
10 d)102( yy
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,设在力场 作用下,质点由沿?移动到解,(1)
ttkR20 22 d)(
(2)? 的参数方程为?
AB zzyxxy ddd k tt?20 d
B
A
z
yx试求力场对质点所作的功,
其中?为机动 目录 上页 下页 返回 结束
o
z
yx
例 5,求 其中从 z 轴正向看为顺时针方向,
解,取? 的参数方程,s in,c o s tytx )02:(s inc o s2tttz
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机动 目录 上页 下页 返回 结束三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知 L切向量的方向余弦为 s
y
s
x
d
dc o s,
d
dc o s
则两类曲线积分有如下联系?
L yyxQxyxP d),(d),(
ssysxQsysxPl dc o s)](),([c o s)](),([0
L syxQyxP dc o s),(c o s),(
机动 目录 上页 下页 返回 结束类似地,在 空间曲线?上的两类曲线积分的联系是 zRyQxP ddd
sRQP dc o sc o sc o s
令
tA
,),,( RQPA? )d,d,(dd zyxs?
)c o s,c o s,( c o st?
sA d
sA d
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记 A 在 t 上的投影为机动 目录 上页 下页 返回 结束二者夹角为?
例 6,设曲线段 L 的长度为 s,证明续,
证,
sQPL dc o sc o s
设
sQPL dc o sc o s
说明,上述证法可推广到三维的第二类曲线积分,
在 L上连
)c o s,( c o s,),( tQPA
stAL d sAL dc o s
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解：
o
y
xB
,2 2xxy xxx
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2
1d
2?
sd xy d1 2 xxx d2
1
2
,2 2xx x1
yyxQxyxPL d),(d),(
22 xx? )1( x?
其中 L 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,定义
kkkk
n
k
yQxP
),(),(lim kk
10
2,性质
(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧
iL
k
i
yyxQxyxP d),(d),(
1
(2) L－ 表示 L 的反向弧?
L yyxQxyxP d),(d),(
对坐标的曲线积分必须注意 积分弧段的方向 !
内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,计算,
)(
)(:
ty
txL
:t
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对有向光滑弧
对有向光滑弧 baxxyL,,)(,?
xxxQxxPba d )](,[)](,[)(x
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:,
)(
)(
)(
t
tz
ty
tx
)](,)(),([ tttP)(t
)(t
)(t
4,两类曲线积分的联系
L yQxP dd zRyQxP ddd
)](,)(),([ tttQ
)](,)(),([ tttR td
对空间有向光滑弧?:
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F
原点 O 的距离成正比,
思考与练习
1,设一个质点在 处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到
),( yxM
x
y
o )0,(aA
),0( bB
提示,
yykxxkW ddAB
:AB tax c o s? tby s in? 20,t (解见 P139 例 5)
,),( yxOM?
F 的大小与 M 到原
F 的方向力 F 的作用,
求力 F 所作的功,
),( yxkF
F
),( xyk?
思考,若题中 F 的方向改为与 OM 垂直且与
y 轴夹锐角,则机动 目录 上页 下页 返回 结束
)0,0,1(A
)0,1,0(B
)1,0,0(C
o
x
y
z
2,已知? 为折线 ABCOA(如图 ),计算提示,
0?
01 d)1( yy 10 dx
2 )211( 1?
01 d2 x
1 yx
1 zy
yxAB dd zyyBC dd OA x
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P141 3 (2),(4),(6),(7) ;
4 ; 5 ; 7 ; 8
第三节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 1.
解,z
x
o yA
B
z
k 222 zyx
kzjyix
z
k
L zyxz zzyyxxk 222 ddd
:L 22 tx 22 ty 1 tz )10:(?
10 1d3t tk 2ln3 k
)1,2,2(A
线移动到,)2,4,4(B
向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比,
沿直
sFW L d
F )( 0r?
)1,2,2(?AB
r
求 F 所作的功 W,已知 F 的方向指一质点在力场 F作用下由点机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设曲线 C为曲面 与曲面从 ox 轴正向看去为逆时针方向,
(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;
(2) 计算曲线积分解,(1)
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(2) 原式 =
令利用“偶倍奇零
”
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