常系数非齐次线性微分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束第九节型)()( xPexf mx
xxPexf lx c o s)([)(?
型]s in)(~ xxP n
一、
二、
第十二章
)( xfyqypy ),( 为常数qp
二阶常系数线性非齐次微分方程,
根据解的结构定理,其通解为
Yy? *y?
非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式,的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数,
①
— 待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束
)([ xQe x )()2( xQp ])()( 2 xQqp
)( xPe mx
一,型)()( xPexf mx
为实数,)(xPm
设特解为,)(* xQey x 其中 为待定多项式,)(xQ
])()([* xQxQey x
])()(2)([* 2 xQxQxQey x
代入原方程,得
(1) 若? 不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为,)(* xQey mx
为 m 次多项式,
Q (x) 为 m 次待定系数多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 若?是特征方程的 单根,
为 m 次多项式,故特解形式为
(3) 若?是特征方程的 重根,
,02 p?
)( xQ则 是 m 次多项式,故特解形式为 xm exQxy?)(* 2?
小结 对方程①,
)2,1,0()(* kexQxy xmk?
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程,
)(xQ )( xPm? )()( 2 xQqp
即即当?是特征方程的 k 重根 时,可设特解机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,的一个特解,
解,本题 而特征方程为不是特征方程的根,
设所求特解为 代入方程,
比较系数,得
3
1,1
10 bb
于是所求特解为
0
,0
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,的通解,
解,本题 特征方程为,0652 rr 其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为 xebxbxy 210 )(*
比较系数,得 1,2
1
10 bb
因此特解为,)1(* 221 xexxy
代入方程得 xbbxb 010 22
所求通解为,)( 2221 xexx
,2
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求解定解问题
0)0()0()0(
123
yyy
yyy
解,本题 特征方程为 其 根为设非齐次方程特解为 代入方程得 故
2132 2 CC
故对应齐次方程通解为 1CY? xeC 2 xeC 23
原方程通解为
1Cy? xeC 2 xeC 23
由初始条件得
,0
机动 目录 上页 下页 返回 结束于是所求解为
xeey xx 214143 2
解得
4
1
1
4
3
3
2
1
C
C
C
机动 目录 上页 下页 返回 结束二, 型xxPxxPexf nlx s in)(~c o s)()(
xim exPxf )()()(xim exP )()(
第二步 求出如下两个方程的特解
xim exPyqypy )()(
yqypy
分析思路,
第一步 将 f (x) 转化为第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步 分析原方程特解的特点
xim exP )()(
机动 目录 上页 下页 返回 结束第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
xexf?)(
i
xPxP nl
2
)(~
2
)(
xie )(
i
xPxP nl
2
)(~
2
)(
xie )(
xim exPxf )()()(xim exP )()(
xim exP )()( xim exP )()(
则令,,m a x lnm?
)(xPl 2
xixi ee
)(~ xPn
i
ee xixi
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束第二步 求如下两方程的特解
i? 是特征方程的 k 重根 ( k = 0,1),
ximk exQxy )(1 )( ))(( 次多项式为 mxQ m
故 xim exPyqypy )(111 )()()(
等式两边取共轭,
xim exPyqypy )(111 )(
1y这说明 为方程 ③ 的特解,
xim exPyqypy )()( ②
xim exPyqypy )()( ③
设 则 ② 有特解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束第三步 求原方程的特解利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解,
11* yyy
xk ex ximxim eQeQ
原方程 yqypyxxPxxPe
nlx s in)(~c o s)(?
xk ex )s in( c o s xixQ m
)s i n(c o s xixQ m
xk ex xR m?c o s xR m?s in~?
mm RR ~,其中 均为 m 次多项式,
机动 目录 上页 下页 返回 结束第四步 分析 的特点?y
xRxRex
yyy
mm
xk s i n~c o s
11
因
11 yy
*y?
y所以 mm RR ~,因此 均为 m 次实多项式,
11 yyy
本质上为实函数,
11 yy
机动 目录 上页 下页 返回 结束小 结,
xxPxxPe nlx s in)(~c o s)(对非齐次方程 yqypy
),( 为常数qp
xRxRexy mmxk s in~c o s* 则可设特解,
其中为特征方程的 k 重根 ( k = 0,1), i?
上述结论也可推广到高阶方程的情形,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,的一个特解,
解,本题特征方程
,2,0
故设特解为不是特征方程的根,
代入方程得 xxxadxcxcbxa 2c o s2s in)433(2c o s)433(
012r
,)( xxPl,0)(~?Pn
比较系数,得 9
431, da
于是求得一个特解
13 a 043 cb
03 c 043 ad 0 cb
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,的通解,
解,特征方程为,092r 其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为 )3s in33c o s5(* xxxy
代入方程,xaxb 3s i n63c o s6?
所求通解为为特征方程的单根,
)3s in33c o s5( xxx
因此设非齐次方程特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6.
解,(1) 特征方程有二重根 所以设非齐次方程特解为
(2) 特征方程 有根
xexyy x s i n3)2( )4(
利用叠加原理,可设非齐次方程特解为
)s inc o s( xkxdx
设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7.
求物体的运动规律,
解,问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 tphxk
t
x s i n
d
d 2
2
2
当 p ≠ k 时,齐次通解,
tkCtkCX c o ss in 21 )(s in tkA
tpbtpax c o ss in非齐次特解形式,0,
22 bpk
ha
因此原方程④之解为第七节例 1 (P294)中若设物体只受弹性恢复力 f
,s in 的作用ptHF?和铅直干扰力
x
o
x
代入④可得,
④
机动 目录 上页 下页 返回 结束当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
)(s in?tkAx tppk
h s i n
22?
自由振动 强迫振动
!22 将很大振幅
pk
h
当 p = k 时,
)c o ss in( tkbtkatx
非齐次特解形式,
代入④可得,k
hba
2,0
方程④的解为机动 目录 上页 下页 返回 结束若要利用共振现象,应使 p 与 k 尽量靠近,或使
)(s in tkAx tktk
h c o s
2?
随着 t 的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象,可无限增大,
若要避免共振现象,应使 p 远离固有频率 k ;
p = k,
自由振动 强迫振动
x
o
x
对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,
电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理,
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
xm exPyqypy?)(.1
为特征方程的 k (＝ 0,1,2) 重根,
xmk exQxy?)(*?
则设特解为
]s in)(~c o s)([.2 xxPxxPeyqypy nlx
为特征方程的 k (＝ 0,1 )重根, i?
xk exy*
则设特解为
]s in)(~c o s)([ xxRxxR mm
3,上述结论也可推广到高阶方程的情形,
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习时可设特解为
xy?* xbxa c o s)(?
*y xdxcxbxa 2s in)(2c o s)( xek 2?
时可设特解为提示,
xdcx s in)(
1,(填空 ) 设
]s in)(~c o s)([ xxRxxR mm
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,求微分方程 xeyyy 44的通解 (其中?
为实数 ),
解,特征方程,0442 rr 特征根,221 rr
对应齐次方程通解,
2 时,,xeAy令 代入原方程得,2)2( 1
故原方程通解为
2 时,,2 xexBy令 代入原方程得,21?B
故原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,已知二阶常微分方程 xecybyay 有特解
,)1( 2 xx exey求微分方程的通解,
解,将特解代入方程得恒等式
xxxx ecexbaeaeba )1()2()1(
比较系数得
01 ba ca2
01 ba
0?a 1b
2?c
故原方程为对应齐次方程通解,xx eCeCY 21
xx exey
原方程通解为 xx eCeCy 21xex?
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P317 1 (1),(5),(6),(10) ;
2 (2),(4) ;
3 ; 6
习题课 2 目录 上页 下页 返回 结束
xxPexf lx c o s)([)(?
型]s in)(~ xxP n
一、
二、
第十二章
)( xfyqypy ),( 为常数qp
二阶常系数线性非齐次微分方程,
根据解的结构定理,其通解为
Yy? *y?
非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式,的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数,
①
— 待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束
)([ xQe x )()2( xQp ])()( 2 xQqp
)( xPe mx
一,型)()( xPexf mx
为实数,)(xPm
设特解为,)(* xQey x 其中 为待定多项式,)(xQ
])()([* xQxQey x
])()(2)([* 2 xQxQxQey x
代入原方程,得
(1) 若? 不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为,)(* xQey mx
为 m 次多项式,
Q (x) 为 m 次待定系数多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 若?是特征方程的 单根,
为 m 次多项式,故特解形式为
(3) 若?是特征方程的 重根,
,02 p?
)( xQ则 是 m 次多项式,故特解形式为 xm exQxy?)(* 2?
小结 对方程①,
)2,1,0()(* kexQxy xmk?
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程,
)(xQ )( xPm? )()( 2 xQqp
即即当?是特征方程的 k 重根 时,可设特解机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,的一个特解,
解,本题 而特征方程为不是特征方程的根,
设所求特解为 代入方程,
比较系数,得
3
1,1
10 bb
于是所求特解为
0
,0
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,的通解,
解,本题 特征方程为,0652 rr 其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为 xebxbxy 210 )(*
比较系数,得 1,2
1
10 bb
因此特解为,)1(* 221 xexxy
代入方程得 xbbxb 010 22
所求通解为,)( 2221 xexx
,2
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求解定解问题
0)0()0()0(
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yyy
yyy
解,本题 特征方程为 其 根为设非齐次方程特解为 代入方程得 故
2132 2 CC
故对应齐次方程通解为 1CY? xeC 2 xeC 23
原方程通解为
1Cy? xeC 2 xeC 23
由初始条件得
,0
机动 目录 上页 下页 返回 结束于是所求解为
xeey xx 214143 2
解得
4
1
1
4
3
3
2
1
C
C
C
机动 目录 上页 下页 返回 结束二, 型xxPxxPexf nlx s in)(~c o s)()(
xim exPxf )()()(xim exP )()(
第二步 求出如下两个方程的特解
xim exPyqypy )()(
yqypy
分析思路,
第一步 将 f (x) 转化为第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步 分析原方程特解的特点
xim exP )()(
机动 目录 上页 下页 返回 结束第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
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i
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2
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则令,,m a x lnm?
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2
机动 目录 上页 下页 返回 结束第二步 求如下两方程的特解
i? 是特征方程的 k 重根 ( k = 0,1),
ximk exQxy )(1 )( ))(( 次多项式为 mxQ m
故 xim exPyqypy )(111 )()()(
等式两边取共轭,
xim exPyqypy )(111 )(
1y这说明 为方程 ③ 的特解,
xim exPyqypy )()( ②
xim exPyqypy )()( ③
设 则 ② 有特解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束第三步 求原方程的特解利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解,
11* yyy
xk ex ximxim eQeQ
原方程 yqypyxxPxxPe
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mm RR ~,其中 均为 m 次多项式,
机动 目录 上页 下页 返回 结束第四步 分析 的特点?y
xRxRex
yyy
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xk s i n~c o s
11
因
11 yy
*y?
y所以 mm RR ~,因此 均为 m 次实多项式,
11 yyy
本质上为实函数,
11 yy
机动 目录 上页 下页 返回 结束小 结,
xxPxxPe nlx s in)(~c o s)(对非齐次方程 yqypy
),( 为常数qp
xRxRexy mmxk s in~c o s* 则可设特解,
其中为特征方程的 k 重根 ( k = 0,1), i?
上述结论也可推广到高阶方程的情形,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,的一个特解,
解,本题特征方程
,2,0
故设特解为不是特征方程的根,
代入方程得 xxxadxcxcbxa 2c o s2s in)433(2c o s)433(
012r
,)( xxPl,0)(~?Pn
比较系数,得 9
431, da
于是求得一个特解
13 a 043 cb
03 c 043 ad 0 cb
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,的通解,
解,特征方程为,092r 其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为 )3s in33c o s5(* xxxy
代入方程,xaxb 3s i n63c o s6?
所求通解为为特征方程的单根,
)3s in33c o s5( xxx
因此设非齐次方程特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6.
解,(1) 特征方程有二重根 所以设非齐次方程特解为
(2) 特征方程 有根
xexyy x s i n3)2( )4(
利用叠加原理,可设非齐次方程特解为
)s inc o s( xkxdx
设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7.
求物体的运动规律,
解,问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 tphxk
t
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d
d 2
2
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当 p ≠ k 时,齐次通解,
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tpbtpax c o ss in非齐次特解形式,0,
22 bpk
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因此原方程④之解为第七节例 1 (P294)中若设物体只受弹性恢复力 f
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④
机动 目录 上页 下页 返回 结束当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
)(s in?tkAx tppk
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22?
自由振动 强迫振动
!22 将很大振幅
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2,0
方程④的解为机动 目录 上页 下页 返回 结束若要利用共振现象,应使 p 与 k 尽量靠近,或使
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随着 t 的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象,可无限增大,
若要避免共振现象,应使 p 远离固有频率 k ;
p = k,
自由振动 强迫振动
x
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对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,
电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理,
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
xm exPyqypy?)(.1
为特征方程的 k (＝ 0,1,2) 重根,
xmk exQxy?)(*?
则设特解为
]s in)(~c o s)([.2 xxPxxPeyqypy nlx
为特征方程的 k (＝ 0,1 )重根, i?
xk exy*
则设特解为
]s in)(~c o s)([ xxRxxR mm
3,上述结论也可推广到高阶方程的情形,
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习时可设特解为
xy?* xbxa c o s)(?
*y xdxcxbxa 2s in)(2c o s)( xek 2?
时可设特解为提示,
xdcx s in)(
1,(填空 ) 设
]s in)(~c o s)([ xxRxxR mm
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,求微分方程 xeyyy 44的通解 (其中?
为实数 ),
解,特征方程,0442 rr 特征根,221 rr
对应齐次方程通解,
2 时,,xeAy令 代入原方程得,2)2( 1
故原方程通解为
2 时,,2 xexBy令 代入原方程得,21?B
故原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,已知二阶常微分方程 xecybyay 有特解
,)1( 2 xx exey求微分方程的通解,
解,将特解代入方程得恒等式
xxxx ecexbaeaeba )1()2()1(
比较系数得
01 ba ca2
01 ba
0?a 1b
2?c
故原方程为对应齐次方程通解,xx eCeCY 21
xx exey
原方程通解为 xx eCeCy 21xex?
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P317 1 (1),(5),(6),(10) ;
2 (2),(4) ;
3 ; 6
习题课 2 目录 上页 下页 返回 结束
