一阶微分方程的机动 目录 上页 下页 返回 结束习题课 (一 )
一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题解法及应用第十二章一、一阶微分方程求解
1,一阶标准类型方程求解关键,辨别方程类型,掌握求解步骤
2,一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换 自变量代换 因变量代换 某组合式
(2) 积分因子法 —— 选积分因子,解全微分方程四个标准类型,可分离变量方程,齐次方程,
线性方程,全微分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求下列方程的通解 ;01)1( 3
2
xye
y
y
提示,(1),33 xyxy eee因 故为分离变量方程,
通解;)2( 22 yyxyx;2 1)3( 2yxy,23 36)4( 32
23
yyx
yxxy
xeyey xy dd32
Cee xy 331
机动 目录 上页 下页 返回 结束方程两边同除以 x即为齐次方程,
yyxyx 22)2(
时，0?x
21 uux
21 uux
xyxyy 21
xyxyy 21
令 y = u x,化为分离变量方程,
调换自变量与因变量的地位,
22
1)3(
yx
y
,2dd 2yxyx
用线性方程通解公式求解,
化为机动 目录 上页 下页 返回 结束
32
23
23
36)4(
yyx
yxxy
方法 1 这是一个齐次方程,
方法 2 化为微分形式
0d)23(d)36( 3223 yyyxxyxx
故这是一个全微分方程,
x
yu?令机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
Qyx
y
P
6?
例 2,求下列方程的通解,)lnln()1( yxyyyx
提示,(1)
令 u = x y,得
(2) 将方程改写为
0d)1ln(dln2)2( 2 xxyyyxx
yyx
xyxy
22
363)3( 22
0d)31(d)3()4( 22 yyxxyxy
uxuxu lndd?
x
yy
xxx
y
2ln2
1
d
d 3
(贝努里方程 ) 2 yz令
(分离变量方程 )
原方程化为机动 目录 上页 下页 返回 结束令 y = u t
yyx
xyxy
22
363)3( 22
)1(2
)1(3
d
d 22
xy
yx
x
y
(齐次方程 ) yt
yt
t
y
2
3
d
d 22令 t = x – 1,则 t
y
x
t
t
y
x
y
d
d
d
d
d
d
d
d
可分离变量方程求解化方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束
0d)31(d)3()4( 22 yyxxyxy
变方程为 yxxy dd2?
两边乘积分因子 2 y?
0)dd(3dd 2 yxxyyyxx
用凑微分法得通解,
Cyxyx 321 12
0)dd(3 2 yxxyy
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3.
机动 目录 上页 下页 返回 结束设 F(x)＝ f (x) g(x),其中函数 f(x),g(x) 在 (－ ∞,+∞)
内满足以下条件,,0)0(),()(),()( fxfxgxgxf 且
(1) 求 F(x) 所满足的一阶微分方程 ;
(03考研 ) (2) 求出 F(x) 的表达式,
解,(1) )()()()()( xgxfxgxfxF
)()( 22 xfxg
)()(2)]()([ 2 xgxfxfxg
)(2)2( 2 xFe x
所以 F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程,
.2)()( xexgxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
CxeeexF xxx d4)( d22d2
Cxee xx d4 42
代入上式，将 0)0()0()0( gfF 1C得于是 xx eexF 22)(
xexFxF 24)(2)(
xx Cee 22
练习题,
(题 3只考虑方法及步骤 )
P326 题 2 求以 为通解的微分方程,
提示,
1)( 22 yCx
02)(2 yyCx 消去 C 得
P327 题 3 求下列微分方程的通解,
提示,令 u = x y,化成可分离变量方程,
提示,这是一阶线性方程,其中
P326 题 1,2,3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)ln(2d
d)3(
xy
y
x
y
提示,可化为 关于 x 的一阶线性方程 0
d
d)4( 33 yxyx
x
y
提示,为贝努里方程,令 2 yz 0dddd)5(
22
yx
yxyyyyxx
提示,为全微分方程,通解
0dd)3()9( 24 xyxyxy
提示,可化为贝努里方程令 2xz?
微分倒推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束原方程化为
yxxy 2)10(
xyxu 2,即,2 2uuxy 则
x
y
d
d
故原方程通解
uuex d2Cue uu d2 d
2
Cuuu d21 22
u2 x
ux
d
d2
x
uu
d
d2?提示,令机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,设河边点 O 的正对岸为点 A,河宽 OA = h,
一鸭子从点 A 游向点二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件,
为平行直线,
且鸭子游动方向始终朝着点 O,h
提示,如图所示建立坐标系,
设时刻 t 鸭子位于点 P (x,y),
设鸭子 (在静水中 )的游速大小为 b
P求鸭子游动的轨迹方程,
O,
水流速度大小为 a,
两岸
),( ab?
)0,(aa?
ab
y
x
A
o则关键问题是正确建立数学模型,要点,
则鸭子游速 b 为机动 目录 上页 下页 返回 结束定解条件
a
由此得微分方程 y
x
v
v
y
x?
d
d
y
x
yb
yxa 22
即
v?
鸭子的实际运动速度为
( 求解过程参考 P273例 3 ).0 hyx
yxdd yxyxba 12( 齐次方程 )
b 0PObb?
,dd,dd tytxv?
bav
h P ab
y
x
A
o 2222,yx
yb
yx
xb
2222,yx
y
yx
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考,能否根据草图列方程?
),( yxMy
xo
练习题,P327 题 5,6
P327 题 5,已知某曲线经过点 ( 1,1 ),
轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程,
提示,设曲线上的动点为 M (x,y),
令 X = 0,得截距 由题意知微分方程为
xxyy
即 1
1 y
xy
定解条件为,11xy
yxxta n
x
此点处切线方程为它的切线在纵机动 目录 上页 下页 返回 结束
P327 题 6,已知某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空的含量不超过 0.06 %?
提示,设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含则在 ],[ ttt内车间内
x 两端除以,t?并令
0 t
与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出 )
得微分方程
tk 10004.0 txk 5 4 0 0
5400
( 假定输入的新鲜空气输入,
的改变量为机动 目录 上页 下页 返回 结束
t = 30 时 5406.05 4 0 01 0 0
06.0x
2504ln180k
2 5 0 05 4 0 0d
d kxk
t
x
5412.00tx
解定解问题因此每分钟应至少输入 250 3m 新鲜空气,
初始条件得机动 目录 上页 下页 返回 结束
k =?
作业
P269 3,7;
P276 *4 (2) ;
P282 9 (2),(4)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题解法及应用第十二章一、一阶微分方程求解
1,一阶标准类型方程求解关键,辨别方程类型,掌握求解步骤
2,一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换 自变量代换 因变量代换 某组合式
(2) 积分因子法 —— 选积分因子,解全微分方程四个标准类型,可分离变量方程,齐次方程,
线性方程,全微分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求下列方程的通解 ;01)1( 3
2
xye
y
y
提示,(1),33 xyxy eee因 故为分离变量方程,
通解;)2( 22 yyxyx;2 1)3( 2yxy,23 36)4( 32
23
yyx
yxxy
xeyey xy dd32
Cee xy 331
机动 目录 上页 下页 返回 结束方程两边同除以 x即为齐次方程,
yyxyx 22)2(
时，0?x
21 uux
21 uux
xyxyy 21
xyxyy 21
令 y = u x,化为分离变量方程,
调换自变量与因变量的地位,
22
1)3(
yx
y
,2dd 2yxyx
用线性方程通解公式求解,
化为机动 目录 上页 下页 返回 结束
32
23
23
36)4(
yyx
yxxy
方法 1 这是一个齐次方程,
方法 2 化为微分形式
0d)23(d)36( 3223 yyyxxyxx
故这是一个全微分方程,
x
yu?令机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
Qyx
y
P
6?
例 2,求下列方程的通解,)lnln()1( yxyyyx
提示,(1)
令 u = x y,得
(2) 将方程改写为
0d)1ln(dln2)2( 2 xxyyyxx
yyx
xyxy
22
363)3( 22
0d)31(d)3()4( 22 yyxxyxy
uxuxu lndd?
x
yy
xxx
y
2ln2
1
d
d 3
(贝努里方程 ) 2 yz令
(分离变量方程 )
原方程化为机动 目录 上页 下页 返回 结束令 y = u t
yyx
xyxy
22
363)3( 22
)1(2
)1(3
d
d 22
xy
yx
x
y
(齐次方程 ) yt
yt
t
y
2
3
d
d 22令 t = x – 1,则 t
y
x
t
t
y
x
y
d
d
d
d
d
d
d
d
可分离变量方程求解化方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束
0d)31(d)3()4( 22 yyxxyxy
变方程为 yxxy dd2?
两边乘积分因子 2 y?
0)dd(3dd 2 yxxyyyxx
用凑微分法得通解,
Cyxyx 321 12
0)dd(3 2 yxxyy
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3.
机动 目录 上页 下页 返回 结束设 F(x)＝ f (x) g(x),其中函数 f(x),g(x) 在 (－ ∞,+∞)
内满足以下条件,,0)0(),()(),()( fxfxgxgxf 且
(1) 求 F(x) 所满足的一阶微分方程 ;
(03考研 ) (2) 求出 F(x) 的表达式,
解,(1) )()()()()( xgxfxgxfxF
)()( 22 xfxg
)()(2)]()([ 2 xgxfxfxg
)(2)2( 2 xFe x
所以 F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程,
.2)()( xexgxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
CxeeexF xxx d4)( d22d2
Cxee xx d4 42
代入上式，将 0)0()0()0( gfF 1C得于是 xx eexF 22)(
xexFxF 24)(2)(
xx Cee 22
练习题,
(题 3只考虑方法及步骤 )
P326 题 2 求以 为通解的微分方程,
提示,
1)( 22 yCx
02)(2 yyCx 消去 C 得
P327 题 3 求下列微分方程的通解,
提示,令 u = x y,化成可分离变量方程,
提示,这是一阶线性方程,其中
P326 题 1,2,3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)ln(2d
d)3(
xy
y
x
y
提示,可化为 关于 x 的一阶线性方程 0
d
d)4( 33 yxyx
x
y
提示,为贝努里方程,令 2 yz 0dddd)5(
22
yx
yxyyyyxx
提示,为全微分方程,通解
0dd)3()9( 24 xyxyxy
提示,可化为贝努里方程令 2xz?
微分倒推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束原方程化为
yxxy 2)10(
xyxu 2,即,2 2uuxy 则
x
y
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故原方程通解
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2
Cuuu d21 22
u2 x
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d
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d2?提示,令机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,设河边点 O 的正对岸为点 A,河宽 OA = h,
一鸭子从点 A 游向点二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件,
为平行直线,
且鸭子游动方向始终朝着点 O,h
提示,如图所示建立坐标系,
设时刻 t 鸭子位于点 P (x,y),
设鸭子 (在静水中 )的游速大小为 b
P求鸭子游动的轨迹方程,
O,
水流速度大小为 a,
两岸
),( ab?
)0,(aa?
ab
y
x
A
o则关键问题是正确建立数学模型,要点,
则鸭子游速 b 为机动 目录 上页 下页 返回 结束定解条件
a
由此得微分方程 y
x
v
v
y
x?
d
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y
x
yb
yxa 22
即
v?
鸭子的实际运动速度为
( 求解过程参考 P273例 3 ).0 hyx
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b 0PObb?
,dd,dd tytxv?
bav
h P ab
y
x
A
o 2222,yx
yb
yx
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2222,yx
y
yx
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考,能否根据草图列方程?
),( yxMy
xo
练习题,P327 题 5,6
P327 题 5,已知某曲线经过点 ( 1,1 ),
轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程,
提示,设曲线上的动点为 M (x,y),
令 X = 0,得截距 由题意知微分方程为
xxyy
即 1
1 y
xy
定解条件为,11xy
yxxta n
x
此点处切线方程为它的切线在纵机动 目录 上页 下页 返回 结束
P327 题 6,已知某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空的含量不超过 0.06 %?
提示,设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含则在 ],[ ttt内车间内
x 两端除以,t?并令
0 t
与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出 )
得微分方程
tk 10004.0 txk 5 4 0 0
5400
( 假定输入的新鲜空气输入,
的改变量为机动 目录 上页 下页 返回 结束
t = 30 时 5406.05 4 0 01 0 0
06.0x
2504ln180k
2 5 0 05 4 0 0d
d kxk
t
x
5412.00tx
解定解问题因此每分钟应至少输入 250 3m 新鲜空气,
初始条件得机动 目录 上页 下页 返回 结束
k =?
作业
P269 3,7;
P276 *4 (2) ;
P282 9 (2),(4)
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