习题课一,曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束线面积分的计算第十章一、曲线积分的计算法
1,基本方法曲线积分 第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )
(1) 统一积分变量转化 定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程
(2) 确定积分上下限第一类,下小上大第二类,下始上终练习题,P184 题 3 (1),(3),(6)
机动 目录 上页 下页 返回 结束解答提示,
计算 其中 L为圆周提示,利用极坐标,
dd 22 rrs
原式 = sxaL d?
说明,若用参数方程计算,
xao
y r
da?
t则
tyxs dd 22
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P184 3 (1)
P184 3(3),计算 其中 L为摆线上对应 t 从 0 到 2? 的一段弧,
提示,
202 ds i n ttta原式
202 s inc o s ttta
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z
o y
x
1
P184 3(6),计算 其中?由平面 y = z 截球面提示,因在?上有 故原式 =
221432212
从 z 轴正向看沿逆时针方向,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;
(2) 利用积分与路径无关的等价条件 ;
(3) 利用格林公式 (注意 加辅助线的技巧 ) ;
(4) 利用斯托克斯公式 ;
(5) 利用两类曲线积分的联系公式,
2,基本技巧机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,计算 其中?为曲线解,利用轮换对称性,有
szsysx ddd 222
利用 重心公式 知
szyxI d)(32 222
3
3
4 a
z
o y
x
(?的 重心在原点 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,计算 其中 L 是沿逆时针方向以原点为中心,
C
o
y
xAB
L
解法 1 令,,22 xyQyxP 则这说明积分与路径无关,故
yxyxyxI AB d)(d)( 22
aa xx d2
a 为半径的上半圆周,
机动 目录 上页 下页 返回 结束解法 2,BA它与 L所围区域为 D,
C
o
y
xAB
L
D yx dd0
yxyxyxBA d)(d)( 22
xxaa d2
D
(利用格林公式 )
思考,
(2) 若 L 同例 2,如何计算下述积分,?
L yxyxyxI d)(d) ( 222 2y?
L yxyxyxI d)(d)( 221 3
3
3
2 a
(1) 若 L 改为 顺时针方向,如何计算下述积分,
BAL yxyxyxI d)(d)( 22
则添加辅助线段机动 目录 上页 下页 返回 结束思考题解答,
L yxyxyxI d)(d)( 221 3(1)
ABABL
D yx dd2 )32(2 aa
L yxyxyxI d)(d) ( 222 2y?(2)
L yxyxyx d)(d)( 22 L xy d2
tta ds i n 30 3
,s in,c o s,taytaxL3
3
2 a 32a0:t
3
3
2 a?
I?
C
o
y
xAB
L
D
机动 目录 上页 下页 返回 结束


sin
)c o s1(:
tay
taxL D
y
a
L
xo
计算其中 L为上半圆周提示,?
L xx yyexyeI d)2c o s(ds i n L xy d2
L xy d2
BA
yxD dd0 a x20 d00 22 ds i n2 tta
0:t
2a
沿逆时针方向,
ABABL
练习题,P184 题 3(5) ; P185 题 6; 10
3(5).
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P185 6,设在右半平面 x > 0 内,力构成力场,其中 k 为常数,证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关,
提示,
令 33,
ykQxkP
易证
F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为机动 目录 上页 下页 返回 结束
P185 10,求力 沿有向闭曲线? 所作的功,其中? 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三提示,
B
A
z
yx Co AB zxyzxy ddd3
AB zx d3
10 d)1(3 zz
方法 1
从 z 轴正向看去沿 顺时针方向,
利用对称性角形的整个边界,
机动 目录 上页 下页 返回 结束设三角形区域为?,方向 向上,则

zyx?
Sd
31 31 31
y z x
1, zyx
Sd)3(31 )1,1,1(31?n
方法 2
n?
B
A
z
yx Co
2
3?
利用斯托克斯公式机动 目录 上页 下页 返回 结束二、曲面积分的计算法
1,基本方法曲面积分
第一类 ( 对面积 )
第二类 ( 对坐标 ) 转化二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2) 积分元素投影
第一类,始终非负第二类,有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面机动 目录 上页 下页 返回 结束思 考 题
1) 二重积分是哪一类积分?
答,第一类曲面积分的特例,
2) 设曲面 问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与?的 侧有关机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算
(2) 利用高斯公式

注意公式使用条件添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面 )
(3) 两类曲面积分的转化机动 目录 上页 下页 返回 结束
z
yxo
练习,P185 题 4(3)
,dddddd yxzxzyzyx其中? 为半球面的上侧,
且取下侧,
提示,以半球底面
0?
原式 =
3
3
23 R 0? 32 R
P185 题 4(2),P185 题 9 同样可利用高斯公式计算,
0?
zyx ddd3 0 dddddd yxzxzyzyx
记半球域为?,
高斯公式有计算为辅助面,
利用机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3.
证明,设
(常向量 )
则单位外法向向量,试证
Sdc o sc o sc o sc o sc o sc o s
0?
zy ddc o s xz ddc o s yx ddc o s
设? 为简单闭曲面,a 为 任意固定 向量,n 为?的
Sa,n d)c o s ( San d0
)c o s,c o s,( c o sn
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,计算曲面积分其中,,222 zyxr,,2222 取外侧Rzyx
解,
zyxR ddd31 3
思考,本题? 改为椭球面 12
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
时,应如何计算?
提示,在椭球面内作辅助小球面 取2222 zyx
内侧,然后用高斯公式,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,计算曲面积分中?是球面,22222 zxzyx
解,
Szx d)22(
SzyxI d )( 222zyyx 22?
Syzx d)(2
Szx d)(2 0?
利用对称性用重心公式机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
z
o y
例 7,设 L 是平面 与柱面 的交线从 z 轴正向看去,L 为逆时针方向,计算解,记? 为平面 上 L 所围部分的上侧,
D为?在 xoy 面上的投影,
I
31 31 31
223 yx?
Szyx d)324(32
22 zy? 222 z?
S
zyx
d
L
D
由 斯托克斯公式公式 目录 上页 下页 返回 结束
D yxyx dd)6(2 D x
y
o 1
1
D 的形心 0 yx
D yx dd12
24
SzyxI d)324(32?
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P184 3 (2),(4) ; 3 (2)
5 ; 8
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yo
z
x
斯托克斯 ( Stokes ) 公式
n
RQP
zyx
yxxzzy dddddd
zRyQxP ddd
S
RQP
zyx
d
c o sc o sc o s