第六节
Green 公式 Gauss 公式推广一、高斯公式
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、通量与散度机动 目录 上页 下页 返回 结束高斯公式 通量与散度第十章一、高斯 ( Gauss ) 公式定理 1,设空间闭区域? 由分片光滑的闭曲
上 有连续的一阶偏导数,
yxRxzQzyP dddddd
zyxzR ddd
yxR dd
下面先证,
函数 P,Q,R 在面?所围成,? 的方向取外侧,
则有
(Gauss 公式 )
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
2?
3?
1?
z
yx yxD? ),,( yxR? yxyxR dd),,(?
,),(,11 yxzz
证明,设
321
zzRyxz yxz d),( ),(2
1
yxD ),2 yxz
),(1 yxz
yxR dd
yxD
2
zyxzR ddd yx dd
1 3? yxR dd
为 XY型区域,
),,(,22 yxzz 则
yxyxR dd),,( yxD yxD ),(2 yxz yxyxR dd),,( ),(1 yxz
定理 1 目录 上页 下页 返回 结束所以 zyxz
R ddd
yxR dd
若? 不是 XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个 XY–型区域,
故上式仍成立,正反两侧面积分正负抵消,
在辅助面类似可证
zyxyQ ddd
yxRxzQzyP dddddd
zyxzRyQxP ddd
xzQ dd
zyxxP ddd
zyP dd
三式相加,即得所证 Gauss 公式：
定理 1 目录 上页 下页 返回 结束例 1,用 Gauss 公式计算其中?为柱面闭域? 的整个边界曲面的外侧,
解,这里利用 Gauss 公式,得原式 = zyxzy ddd)(
zrrzr ddd)s i n(
(用柱坐标 )
zzrrr d)s i n(dd 301020 29
x
3
o
z
1 y
,)( xzyP,0?Q yxR
及平面 z = 0,z = 3 所围空间思考,若? 改为内侧,结果有何变化?
若? 为圆柱侧面 (取外侧 ),如何计算?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,利用 Gauss 公式计算积分其中? 为锥面 222 zyx
h
o
z
y
x解,作辅助面
,:1 hz,:),( 222 hyxDyx yx取上侧
1(I 1 Szyx d)c o sc o sc o s)( 222
0,21上在介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧,
1,记
h1?
所围区域为?,则
zyxzyx ddd)(2 yxhyxD dd2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
zyxzyxI ddd)(2
利用重心公式,注意 0 yx
zyxz ddd2 4h
yxh
yxD
dd2
4
2
1 h
hz02 2z zd 4h
h
o
z
y
x
h1?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3.
.dddddd)( 2223 yxzxxzyzxzyxzxI
设?为曲面 21,2 22 zyxz 取上侧,求解,作取下侧的辅助面
1:1 z 1:),( 22 yxDyx yx
I
11
zyx ddd yxx dd)(
2
xyD)1(2
0 d?
1
0 r
2
0
2 dc o s
12
13
1
z
o
x
y
2
1
1?用柱坐标 用极坐标机动 目录 上页 下页 返回 结束
c o sc o sc o s
z
v
y
v
x
v
在闭区域?上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林 ( Green )第一公式
Sd
例 4,设函数
u zyx ddd
u
zyx dddxu yu yv zu zv
其中? 是整个? 边界面的外侧,
uP? x
v
uQ? y
v
uR? z
v
分析, zyxz
R
y
Q
x
P ddd
yxRxzQzyP dddddd
x
v
高斯公式
2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
v
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,令 uP?,x
v
uQ?,y
v
uR?,z
v
由高斯公式得
2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
v
c o sc o sc o s
z
v
y
v
x
v
u Sd
移项即得所证公式,(见 P171)
y
v
z
v
x
v
机动 目录 上页 下页 返回 结束
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
1,连通区域的类型 设有空间区域 G,
若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G
为 空间二维单连通域 ;
若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,
则称 G 为 空间一维单连通域,
例如,球面所围区域环面所围区域立方体中挖去一个小球所成的区域不是二维单连通区域,
既是一维也是二维单连通区域 ;
是二维但不是一维单连通区域 ;
是一维但机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,闭曲面积分为零的充要条件定理 2,),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP设 在空间二维单连通域 G内具有连续一阶偏导数,?为 G内任一闭曲面,则
0dddddd yxRxzQzyP
GzyxzRyQxP ),,(,0
①
证,,充分性”,根据高斯公式可知②是①的充分条件,
的充要条件是,
②
“必要性”,用反证法,使假设存在,0 GM
0
0
MzRyQxP
已知①成立,
机动 目录 上页 下页 返回 结束因 P,Q,R 在 G内具有连续一阶偏导数,则存在邻域
,)( 0 GM,)( 0 上使在 M?
0 zRyQxP
的边界为设 )( 0M? 则由高斯公式得
yxRxzQzyP dddddd zyx
z
R
y
Q
x
P
M ddd)( 0?
0?
与①矛盾,故假设不真,因此条件②是必要的,
取外侧,
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、通量与散度引例,设稳定流动的不可压缩流体的密度为 1,速度场为
kzyxRjzyxQizyxPzyxv ),,(),,(),,(),,(
理意义可知,
设?为场中任一有向曲面,
yxRxzQzyP dddddd单位时间通过曲面?的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为
SRQP dc o sc o sc o s
Snv d
机动 目录 上页 下页 返回 结束若?为方 向向外的闭曲面,
yxRxzQzyP dddddd
当? > 0 时,说明流 入?的流体质量少于当? < 0 时,说明流 入?的流体质量多于流 出 的,
则单位时间通过?的流量为当? = 0 时,说明流入与流出?的流体质量相等,
n流 出 的,表明?内有泉 ;
表明
内有洞 ;
根据高斯公式,流量也可表为
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
③
方向向外的任一闭曲面,记?所围域为?,
设?是 包含点 M 且为了揭示场内任意点 M 处的特性,
在 ③ 式两边同除以?的体积 V,并令?以任意方式缩小至点 M 则有
VM
lim
MzRyQxP
此式反应了流速场在点 M 的特点,其值为正,负或 0,
分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定义,设有向量场
kzyxRjzyxQizyxPzyxA ),,(),,(),,(),,(
其中 P,Q,R 具有连续一阶偏导数,?是 场内的一片有向则称曲面,其单位法向量 n, SnA d为向量场 A 通过有向曲面? 的 通量 (流量 ),
在场中点 M(x,y,z) 处称为向量场 A 在点 M 的 散度,
记作 Adiv z
R
y
Q
x
P
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0div?A表明该点处有正源,
0div?A表明该点处有负源,
0div?A表明该点处无源,
散度绝对值的大小反映了源的强度,
0div?A若向量场 A 处处有,则称 A 为 无源场,
例如,匀速场 ),,,(),,( 为常数其中 zyxzyx vvvvvvv?
0div?v
故它是无源场,
P16 目录 上页 下页 返回 结束说明,由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且
*例 5.置于原点,电量为 q 的点电荷产生的场强为r
r
qE
3?
.d iv E求解,
3r
y
y
3r
z
z
35
22
r
xrq
5
22 3
r
yr
5
22 3
r
zr
0?
3rxx
),,(3 zyx
r
q?
)0(?r
计算结果与仅原点有点电荷的事实相符,
)0(?r
机动 目录 上页 下页 返回 结束
qEd i v
内容小结
1,高斯公式及其应用公式, yxRxzQzyP dddddd zyx
z
R
y
Q
x
P ddd
应用,(1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧 )
(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件,
0dddddd yxRxzQzyP
0 zRyQxP
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,通量与散度设向量场 P,Q,R,在域 G内有一阶 连续偏导数,则向量场通过有向曲面? 的通量为
G 内任意点处的散度为
),,,( RQPA?
SnA d
z
R
y
Q
x
PA
d i v
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?
(1) yxr
zxz
r
yzy
r
x dddddd
3
3
3
3
3
3
vR d
3 24 R
(2) yxr
zxz
r
yzy
r
x dddddd
3
3
3
3
3
3
v
r
z
zr
y
yr
x
x d3
3
3
3
3
3
31R yxzxzyzyx dddddd
333
31R vzyx d)(3
222
为?
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P174 1 (2),(4),(5); 2(2) ;
3; 4
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
00
c o s rn
00 rn
备用题 设? 是一光滑闭曲面,所围立体? 的体
是? 外法线向量与点 ( x,y,z ) 的向径试证证,设? 的单位外法向量为则
c o sc o sc o s rzryrx
Sr dc o s31
vd331 V?
的夹角,
积为 V,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Green 公式 Gauss 公式推广一、高斯公式
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、通量与散度机动 目录 上页 下页 返回 结束高斯公式 通量与散度第十章一、高斯 ( Gauss ) 公式定理 1,设空间闭区域? 由分片光滑的闭曲
上 有连续的一阶偏导数,
yxRxzQzyP dddddd
zyxzR ddd
yxR dd
下面先证,
函数 P,Q,R 在面?所围成,? 的方向取外侧,
则有
(Gauss 公式 )
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
2?
3?
1?
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证明,设
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yxD
2
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1 3? yxR dd
为 XY型区域,
),,(,22 yxzz 则
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定理 1 目录 上页 下页 返回 结束所以 zyxz
R ddd
yxR dd
若? 不是 XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个 XY–型区域,
故上式仍成立,正反两侧面积分正负抵消,
在辅助面类似可证
zyxyQ ddd
yxRxzQzyP dddddd
zyxzRyQxP ddd
xzQ dd
zyxxP ddd
zyP dd
三式相加,即得所证 Gauss 公式：
定理 1 目录 上页 下页 返回 结束例 1,用 Gauss 公式计算其中?为柱面闭域? 的整个边界曲面的外侧,
解,这里利用 Gauss 公式,得原式 = zyxzy ddd)(
zrrzr ddd)s i n(
(用柱坐标 )
zzrrr d)s i n(dd 301020 29
x
3
o
z
1 y
,)( xzyP,0?Q yxR
及平面 z = 0,z = 3 所围空间思考,若? 改为内侧,结果有何变化?
若? 为圆柱侧面 (取外侧 ),如何计算?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,利用 Gauss 公式计算积分其中? 为锥面 222 zyx
h
o
z
y
x解,作辅助面
,:1 hz,:),( 222 hyxDyx yx取上侧
1(I 1 Szyx d)c o sc o sc o s)( 222
0,21上在介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧,
1,记
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所围区域为?,则
zyxzyx ddd)(2 yxhyxD dd2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
zyxzyxI ddd)(2
利用重心公式,注意 0 yx
zyxz ddd2 4h
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机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3.
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设?为曲面 21,2 22 zyxz 取上侧,求解,作取下侧的辅助面
1:1 z 1:),( 22 yxDyx yx
I
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zyx ddd yxx dd)(
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1?用柱坐标 用极坐标机动 目录 上页 下页 返回 结束
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在闭区域?上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林 ( Green )第一公式
Sd
例 4,设函数
u zyx ddd
u
zyx dddxu yu yv zu zv
其中? 是整个? 边界面的外侧,
uP? x
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移项即得所证公式,(见 P171)
y
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
1,连通区域的类型 设有空间区域 G,
若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G
为 空间二维单连通域 ;
若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,
则称 G 为 空间一维单连通域,
例如,球面所围区域环面所围区域立方体中挖去一个小球所成的区域不是二维单连通区域,
既是一维也是二维单连通区域 ;
是二维但不是一维单连通区域 ;
是一维但机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,闭曲面积分为零的充要条件定理 2,),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP设 在空间二维单连通域 G内具有连续一阶偏导数,?为 G内任一闭曲面,则
0dddddd yxRxzQzyP
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①
证,,充分性”,根据高斯公式可知②是①的充分条件,
的充要条件是,
②
“必要性”,用反证法,使假设存在,0 GM
0
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已知①成立,
机动 目录 上页 下页 返回 结束因 P,Q,R 在 G内具有连续一阶偏导数,则存在邻域
,)( 0 GM,)( 0 上使在 M?
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的边界为设 )( 0M? 则由高斯公式得
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与①矛盾,故假设不真,因此条件②是必要的,
取外侧,
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、通量与散度引例,设稳定流动的不可压缩流体的密度为 1,速度场为
kzyxRjzyxQizyxPzyxv ),,(),,(),,(),,(
理意义可知,
设?为场中任一有向曲面,
yxRxzQzyP dddddd单位时间通过曲面?的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为
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机动 目录 上页 下页 返回 结束若?为方 向向外的闭曲面,
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当? > 0 时,说明流 入?的流体质量少于当? < 0 时,说明流 入?的流体质量多于流 出 的,
则单位时间通过?的流量为当? = 0 时,说明流入与流出?的流体质量相等,
n流 出 的,表明?内有泉 ;
表明
内有洞 ;
根据高斯公式,流量也可表为
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
③
方向向外的任一闭曲面,记?所围域为?,
设?是 包含点 M 且为了揭示场内任意点 M 处的特性,
在 ③ 式两边同除以?的体积 V,并令?以任意方式缩小至点 M 则有
VM
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此式反应了流速场在点 M 的特点,其值为正,负或 0,
分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定义,设有向量场
kzyxRjzyxQizyxPzyxA ),,(),,(),,(),,(
其中 P,Q,R 具有连续一阶偏导数,?是 场内的一片有向则称曲面,其单位法向量 n, SnA d为向量场 A 通过有向曲面? 的 通量 (流量 ),
在场中点 M(x,y,z) 处称为向量场 A 在点 M 的 散度,
记作 Adiv z
R
y
Q
x
P
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0div?A表明该点处有正源,
0div?A表明该点处有负源,
0div?A表明该点处无源,
散度绝对值的大小反映了源的强度,
0div?A若向量场 A 处处有,则称 A 为 无源场,
例如,匀速场 ),,,(),,( 为常数其中 zyxzyx vvvvvvv?
0div?v
故它是无源场,
P16 目录 上页 下页 返回 结束说明,由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且
*例 5.置于原点,电量为 q 的点电荷产生的场强为r
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.d iv E求解,
3r
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计算结果与仅原点有点电荷的事实相符,
)0(?r
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内容小结
1,高斯公式及其应用公式, yxRxzQzyP dddddd zyx
z
R
y
Q
x
P ddd
应用,(1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧 )
(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件,
0dddddd yxRxzQzyP
0 zRyQxP
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2,通量与散度设向量场 P,Q,R,在域 G内有一阶 连续偏导数,则向量场通过有向曲面? 的通量为
G 内任意点处的散度为
),,,( RQPA?
SnA d
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y
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机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?
(1) yxr
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3
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3 24 R
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333
31R vzyx d)(3
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为?
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P174 1 (2),(4),(5); 2(2) ;
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备用题 设? 是一光滑闭曲面,所围立体? 的体
是? 外法线向量与点 ( x,y,z ) 的向径试证证,设? 的单位外法向量为则
c o sc o sc o s rzryrx
Sr dc o s31
vd331 V?
的夹角,
积为 V,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
