二阶微分方程的机动 目录 上页 下页 返回 结束习题课 (二 )
二、微分方程的应用解法及应用一、两类二阶微分方程的解法第十二章一、两类二阶微分方程的解法
1,可降阶微分方程的解法 —降阶法
)(
d
d
2
2
xf
x
y
)dd,(
d
d
2
2
x
yxf
x
y
令 x
yxp
d
d)(?
),(dd pxfxp?
)dd,(
d
d
2
2
x
yyf
x
y
令 x
yyp
d
d)(?
逐次积分求解机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,二阶线性微分方程的解法
常系数情形 齐次非齐次 代数法
欧拉方程
yx2 yxp yq? )(xf?
tDex
t
d
d,令
qpDDD )1( y )( tef?
练习题,P327 题 2 ; 3 (6),(7) ;
4(2)； 8
机动 目录 上页 下页 返回 结束解答提示
P327 题 2 求以 为通解的微分方程,
提示,由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为
P327 题 3 求下列微分方程的通解
,01)6( 2 yyy,2s in52)7( xyyy
提示,(6) 令 则方程变为,01
d
d 2 p
y
ppy
机动 目录 上页 下页 返回 结束特征根,
xyyy 2s in52)7(
齐次方程通解,)2s in2c o s( 21 xCxCeY x
令非齐次方程特解为代入方程可得 174171, BA
思 考若 (7) 中非齐次项改为提示,xBxAy 2s in2c o s*故 D?
原方程通解为 )2s in2c o s( 21 xCxCey x
特解设法有何变化?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P327 题 4(2) 求解
02 yay
,00xy 10xy
提示,令 则方程变为积分得,
1
1Cxap 利用 100 xx yp 11?C得再解,1
1
d
d
xax
y
并利用,00xy 定常数,2C
思考 若问题改为求解
,0
0xy
则求解过程中得 问开方时 正负号如何确定?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P327 题 8 设函数 在 r > 0
内 满足拉普拉斯方程
,02
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
二阶可导,且 试将方程化为以 r 为自变量的常微分方程,并求 f (r),
提示,r
xrf
x
u )(
2
2
2
2
)(
r
xrf
x
u
)( rf?r1 3
2
r
x?
利用对称性,
即 ( 欧拉方程 )
原方程可化为机动 目录 上页 下页 返回 结束解初值问题,
则原方程化为通解,
利用初始条件得特解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xxCxCy s inc o s 21
特征根,,2,1 ir
例 1,求微分方程
2
, xxyy
提示,
故通解为
2,04 xyy
满足条件解满足 xyy,00xy 00xy
处连续且可微的解,
设特解,,BAxy 代入方程定 A,B,得
,0,0 00 xx yy利用 得机动 目录 上页 下页 返回 结束处的衔接条件可知,
04 yy
解满足故所求解为
y 2221,2c o s)1(2s in xxx
xCxCy 2c o s2s in 21其通解,
定解问题的解,2221,2c o s)1(2s in xxxy
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,且满足方程?
x tdtftxxxf 0 )()(s in)(
.)( xf求提示,,)()(s in)( 00
xx tdtfttdtfxxxf
则
xxf c o s)(
)(s in)( xfxxf
x tdtf0 )( )(fx? )( xfx?
问题化为解初值问题,xxfxf s in)()(,0)0(?f 1)0(f
最后求得机动 目录 上页 下页 返回 结束思考,设,0)0(,d)()( 0
xx uuxxex
提示,对积分换元,,uxt?令 则有解初值问题,
答案,
机动 目录 上页 下页 返回 结束的解,
例 3,设函数 内具有连续二阶导机动 目录 上页 下页 返回 结束
(1) 试将 x＝ x( y) 所满足的微分方程变换为 y＝ y(x) 所满足的微分方程 ;
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件
0)dd)(s i n(
d
d 3
2
2
yxxy
y
x
数,且解,
上式两端对 x 求导,得,
(1) 由反函数的导数公式知
(03考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0)(
d
d
d
d 2
2
2
y
y
x
y
xy
22
2
)(
d
d
d
d
y
y
x
y
y
x
3)( y
y
代入原微分方程得 xyy s in
①
(2) 方程①的对应齐次方程的通解为
xx eCeCY 21
设①的特解为,s inc o s xBxAy 代入①得 A＝ 0,,
2
1B,si n
2
1 xy故从而得①的通解,
题 目录 上页 下页 返回 结束
xeCeCy xx sin2121
由初始条件,2
3)0(,0)0( yy
得
1,1 21 CC
故所求初值问题的解为
xeey xx sin21
二、微分方程的应用
1,建立数学模型 — 列微分方程问题建立微分方程 ( 共性 ) 利用物理规律利用几何关系确定定解条件 ( 个性 )
初始条件边界条件可能还要衔接条件
2,解微分方程问题
3,分析解所包含的实际意义机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,
解,
欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度,
设人造地球卫星质量为 m,地球质量为 M,卫星的质心到地心的距离为 h,由牛顿第二定律得,
22
2
d
d
h
mMG
t
hm
00 d
d,v
t
hRh
t
②
,0v为
(G 为引力系数 )
则有初值问题,
22
2
d
d
h
MG
t
h
又设卫星的初速度,已知地球半径 51063R
机动 目录 上页 下页 返回 结束
③
),(dd hvth?设,dddd 2
2
h
vv
t
h?则代入原方程 ②,得
2d
d
h
MG
h
vv h
h
MGvv dd
2
两边积分得 Ch
MGv2
2
1
利用初始条件 ③,得 R
MGvC 2
02
1
因此RhMGvv
11
2
1
2
1 2
02
2
2
1lim v
h R
MGv 121 20?注意到机动 目录 上页 下页 返回 结束为使,0?v 应满足0v
R
MGv 2
0?
因为当 h = R (在地面上 ) 时,引力 = 重力,
)sm81.9( 22 ggmh mMG
即
,2 gRMG?故
④
代入 ④ 即得
81.9106322 50 gRv
)s(m102.11 3
这说明第二宇宙速度为 skm2.11
机动 目录 上页 下页 返回 结束求质点的运动规例 5,
上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数提示,,d0 tksF
s
s由题设 两边对 s 求导得,
牛顿第二定律 s
tk
t
sm
d
d
d
d
2
2
m
k
t
s
t
s?
2
2
d
d
d
d
td
d2
d
d
t
s
m
k?
2dd ts 12 Ctmk …
为 k),
开方如何定 + –?
已知一质量为 m 的质点作直线运动,作用在质点机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子 8 m,
另一端离钉子 12 m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间,
解,建立坐标系如图,设在时刻 t,链条较长一段
x
o
x
下垂 x m,又设链条线密度为常数,? 此时链条受力
F gx? gx?)20( gx?)10(2
由牛顿第二定律,得
2
2
d
d20
t
x?
gx?)10(2
,120tx 0d
d
0
tt
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束由初始条件得 故定解问题的解为解得
),1( 舍去另一根左端
当 x = 20 m 时,(s)
微分方程通解,
思考,若摩擦力为链条 1 m 长的重量,定解问题的数学模型是什么?
机动 目录 上页 下页 返回 结束摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为 x
o
x
不考虑摩擦力时的数学模型为
g1
2
2
d
d20
t
x?
gx?)10(2
,120tx 0d
d
0
tt
x
2
2
d
d20
t
x?
gx?)10(2
,120tx 0d
d
0
tt
x
此时链条滑下来所需时间为机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
o
y
练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关系,设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,
在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为 m,
体积为 B,海水比重为?,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为 k ( k > 0 ),试建立 y 与 v 所满足的微分方程,并求出函数关系式 y = y (v),( 95考研 )
提示,建立坐标系如图,
质量 m
体积 B
由牛顿第二定律
B?2
2
d
d
t
ym
vk?重力 浮力 阻力mg?
t
y
y
v
d
d
d
d?
y
vv
d
d?
注意,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Bgm
vkBgm
k
Bgmmv
k
my
ln)(
2
vkBgmyvvmdd
初始条件为 00yv
用分离变量法解上述初值问题得
y
o
y
质量 m
体积 B
作业 P317 5,6 ;
P327 3 (8) ; 4 (2),(4)
8 ; *11(1)
得机动 目录 上页 下页 返回 结束备用题 有特而对应齐次方程有解微分方程的通解,
解,,0)(2 yxyxy?代入将代入再将 xy 1? )(1 xfyxy
故所给二阶非齐次方程为 3
31
xyxy
方程化为
1,设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程机动 目录 上页 下页 返回 结束故
xxe d1
xCx 121
再积分得通解 2
2
1
1 CxC
xy )( 1211 CC
1d
1
3 d
3 Cxe
x
xx
)()( xfyxpy
Cxexfey xxpxxp d)( d)(d)(
复习,一阶线性微分方程通解公式机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,(1) 验证函数满足微分方程
(2) 利用 (1)的结果求幂级数 的和,
解,(1)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(02考研 )
所以
(2) 由 (1)的结果可知所给级数的和函数满足
xeyyy
,1)0(?y 0)0(y
其特征方程,特征根,
∴ 齐次方程通解为设非齐次方程特解为 代入原方程得故非齐次方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束
xe
3
1?
代入初始条件可得故所求级数的和机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、微分方程的应用解法及应用一、两类二阶微分方程的解法第十二章一、两类二阶微分方程的解法
1,可降阶微分方程的解法 —降阶法
)(
d
d
2
2
xf
x
y
)dd,(
d
d
2
2
x
yxf
x
y
令 x
yxp
d
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),(dd pxfxp?
)dd,(
d
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2
2
x
yyf
x
y
令 x
yyp
d
d)(?
逐次积分求解机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,二阶线性微分方程的解法
常系数情形 齐次非齐次 代数法
欧拉方程
yx2 yxp yq? )(xf?
tDex
t
d
d,令
qpDDD )1( y )( tef?
练习题,P327 题 2 ; 3 (6),(7) ;
4(2)； 8
机动 目录 上页 下页 返回 结束解答提示
P327 题 2 求以 为通解的微分方程,
提示,由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为
P327 题 3 求下列微分方程的通解
,01)6( 2 yyy,2s in52)7( xyyy
提示,(6) 令 则方程变为,01
d
d 2 p
y
ppy
机动 目录 上页 下页 返回 结束特征根,
xyyy 2s in52)7(
齐次方程通解,)2s in2c o s( 21 xCxCeY x
令非齐次方程特解为代入方程可得 174171, BA
思 考若 (7) 中非齐次项改为提示,xBxAy 2s in2c o s*故 D?
原方程通解为 )2s in2c o s( 21 xCxCey x
特解设法有何变化?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P327 题 4(2) 求解
02 yay
,00xy 10xy
提示,令 则方程变为积分得,
1
1Cxap 利用 100 xx yp 11?C得再解,1
1
d
d
xax
y
并利用,00xy 定常数,2C
思考 若问题改为求解
,0
0xy
则求解过程中得 问开方时 正负号如何确定?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P327 题 8 设函数 在 r > 0
内 满足拉普拉斯方程
,02
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
二阶可导,且 试将方程化为以 r 为自变量的常微分方程,并求 f (r),
提示,r
xrf
x
u )(
2
2
2
2
)(
r
xrf
x
u
)( rf?r1 3
2
r
x?
利用对称性,
即 ( 欧拉方程 )
原方程可化为机动 目录 上页 下页 返回 结束解初值问题,
则原方程化为通解,
利用初始条件得特解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xxCxCy s inc o s 21
特征根,,2,1 ir
例 1,求微分方程
2
, xxyy
提示,
故通解为
2,04 xyy
满足条件解满足 xyy,00xy 00xy
处连续且可微的解,
设特解,,BAxy 代入方程定 A,B,得
,0,0 00 xx yy利用 得机动 目录 上页 下页 返回 结束处的衔接条件可知,
04 yy
解满足故所求解为
y 2221,2c o s)1(2s in xxx
xCxCy 2c o s2s in 21其通解,
定解问题的解,2221,2c o s)1(2s in xxxy
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,且满足方程?
x tdtftxxxf 0 )()(s in)(
.)( xf求提示,,)()(s in)( 00
xx tdtfttdtfxxxf
则
xxf c o s)(
)(s in)( xfxxf
x tdtf0 )( )(fx? )( xfx?
问题化为解初值问题,xxfxf s in)()(,0)0(?f 1)0(f
最后求得机动 目录 上页 下页 返回 结束思考,设,0)0(,d)()( 0
xx uuxxex
提示,对积分换元,,uxt?令 则有解初值问题,
答案,
机动 目录 上页 下页 返回 结束的解,
例 3,设函数 内具有连续二阶导机动 目录 上页 下页 返回 结束
(1) 试将 x＝ x( y) 所满足的微分方程变换为 y＝ y(x) 所满足的微分方程 ;
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件
0)dd)(s i n(
d
d 3
2
2
yxxy
y
x
数,且解,
上式两端对 x 求导,得,
(1) 由反函数的导数公式知
(03考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0)(
d
d
d
d 2
2
2
y
y
x
y
xy
22
2
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d
d
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y
y
x
y
y
x
3)( y
y
代入原微分方程得 xyy s in
①
(2) 方程①的对应齐次方程的通解为
xx eCeCY 21
设①的特解为,s inc o s xBxAy 代入①得 A＝ 0,,
2
1B,si n
2
1 xy故从而得①的通解,
题 目录 上页 下页 返回 结束
xeCeCy xx sin2121
由初始条件,2
3)0(,0)0( yy
得
1,1 21 CC
故所求初值问题的解为
xeey xx sin21
二、微分方程的应用
1,建立数学模型 — 列微分方程问题建立微分方程 ( 共性 ) 利用物理规律利用几何关系确定定解条件 ( 个性 )
初始条件边界条件可能还要衔接条件
2,解微分方程问题
3,分析解所包含的实际意义机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,
解,
欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度,
设人造地球卫星质量为 m,地球质量为 M,卫星的质心到地心的距离为 h,由牛顿第二定律得,
22
2
d
d
h
mMG
t
hm
00 d
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t
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t
②
,0v为
(G 为引力系数 )
则有初值问题,
22
2
d
d
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t
h
又设卫星的初速度,已知地球半径 51063R
机动 目录 上页 下页 返回 结束
③
),(dd hvth?设,dddd 2
2
h
vv
t
h?则代入原方程 ②,得
2d
d
h
MG
h
vv h
h
MGvv dd
2
两边积分得 Ch
MGv2
2
1
利用初始条件 ③,得 R
MGvC 2
02
1
因此RhMGvv
11
2
1
2
1 2
02
2
2
1lim v
h R
MGv 121 20?注意到机动 目录 上页 下页 返回 结束为使,0?v 应满足0v
R
MGv 2
0?
因为当 h = R (在地面上 ) 时,引力 = 重力,
)sm81.9( 22 ggmh mMG
即
,2 gRMG?故
④
代入 ④ 即得
81.9106322 50 gRv
)s(m102.11 3
这说明第二宇宙速度为 skm2.11
机动 目录 上页 下页 返回 结束求质点的运动规例 5,
上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数提示,,d0 tksF
s
s由题设 两边对 s 求导得,
牛顿第二定律 s
tk
t
sm
d
d
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2
2
m
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2
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s
m
k?
2dd ts 12 Ctmk …
为 k),
开方如何定 + –?
已知一质量为 m 的质点作直线运动,作用在质点机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子 8 m,
另一端离钉子 12 m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间,
解,建立坐标系如图,设在时刻 t,链条较长一段
x
o
x
下垂 x m,又设链条线密度为常数,? 此时链条受力
F gx? gx?)20( gx?)10(2
由牛顿第二定律,得
2
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d
d20
t
x?
gx?)10(2
,120tx 0d
d
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x
机动 目录 上页 下页 返回 结束由初始条件得 故定解问题的解为解得
),1( 舍去另一根左端
当 x = 20 m 时,(s)
微分方程通解,
思考,若摩擦力为链条 1 m 长的重量,定解问题的数学模型是什么?
机动 目录 上页 下页 返回 结束摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为 x
o
x
不考虑摩擦力时的数学模型为
g1
2
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gx?)10(2
,120tx 0d
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x
2
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gx?)10(2
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此时链条滑下来所需时间为机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
o
y
练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关系,设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,
在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为 m,
体积为 B,海水比重为?,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为 k ( k > 0 ),试建立 y 与 v 所满足的微分方程,并求出函数关系式 y = y (v),( 95考研 )
提示,建立坐标系如图,
质量 m
体积 B
由牛顿第二定律
B?2
2
d
d
t
ym
vk?重力 浮力 阻力mg?
t
y
y
v
d
d
d
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y
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注意,
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Bgm
vkBgm
k
Bgmmv
k
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ln)(
2
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初始条件为 00yv
用分离变量法解上述初值问题得
y
o
y
质量 m
体积 B
作业 P317 5,6 ;
P327 3 (8) ; 4 (2),(4)
8 ; *11(1)
得机动 目录 上页 下页 返回 结束备用题 有特而对应齐次方程有解微分方程的通解,
解,,0)(2 yxyxy?代入将代入再将 xy 1? )(1 xfyxy
故所给二阶非齐次方程为 3
31
xyxy
方程化为
1,设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程机动 目录 上页 下页 返回 结束故
xxe d1
xCx 121
再积分得通解 2
2
1
1 CxC
xy )( 1211 CC
1d
1
3 d
3 Cxe
x
xx
)()( xfyxpy
Cxexfey xxpxxp d)( d)(d)(
复习,一阶线性微分方程通解公式机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,(1) 验证函数满足微分方程
(2) 利用 (1)的结果求幂级数 的和,
解,(1)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(02考研 )
所以
(2) 由 (1)的结果可知所给级数的和函数满足
xeyyy
,1)0(?y 0)0(y
其特征方程,特征根,
∴ 齐次方程通解为设非齐次方程特解为 代入原方程得故非齐次方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束
xe
3
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代入初始条件可得故所求级数的和机动 目录 上页 下页 返回 结束
