可降阶高阶微分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束第六节一,型的微分方程二,型的微分方程三,型的微分方程第十二章一,)()( xfy n?
令,)1( nyz 因此
1d)( Cxxfz
即同理可得 2)2( d Cxy n
xd
依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解,
21 CxC
型的微分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,
解, 12 c o s Cxdxey x
1
2 si n
2
1 Cxe x
xey 2
4
1
xey 2
8
1? xsin?
21xC? 32 CxC
xcos? 21 CxC
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,质量为 m 的质点受力 F 的作用沿 ox 轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大,此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0,如果开始时质点在原点,
解,据题意有
t
F
o T
0F
F )1(0 TtmF )1(
0 T
tF?
t = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数,F = F (t),
小,
求质点的运动规律,初初速度为 0,
且对方程两边积分,得机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
2
0 )
2(d
d C
T
tt
m
F
t
x
利用初始条件,01?C得 于是
)2(dd
2
0
T
tt
m
F
t
x
两边再积分得 2
32
0 )
62( CT
tt
m
Fx
再利用,02?C得 故所求质点运动规律为
)3(2
3
20
T
tt
m
Fx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),( yxfy 型的微分方程设,)( xpy 原方程化为一阶方程设其通解为 ),( 1Cxp
则得 ),( 1Cxy
再一次积分,得原方程的通解
21 d),( CxCxy
二、
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求解 yxyx 2)1(
2
,10xy 3 0xy
解,代入方程得
pxpx 2)1( 2 分离变量积分得,ln)1(lnln 12 Cxp
,3 0xy利用,31?C得 于是有 )1(3 2xy
两端再积分得 23 3 Cxxy
利用,10xy,12?C得
133 xxy
因此所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,绳索仅受重力作用而下垂,
解,取坐标系如图,考察最低点 A 到
(?,密度,s,弧长 )弧段重力大小按静力平衡条件,有
M?
sg?
o
y
x
)( gHa其中
y? xyx d10 2a1?故有 211 yay
设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,
问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?
任意点 M ( x,y ) 弧段的受力情况,T
A 点受水平张力 H
M 点受切向张力 T
两式相除得
H A
机动 目录 上页 下页 返回 结束
M?
sg?
o
y
x
H A
21 1 yy a,aOA?设则得定解问题,
),( xpy令,dd xpy则 原方程化为两端积分得
)1(lnshAr 2ppp
,shAr 1Cp ax,01?C得则有两端积分得 02?C得故所求绳索的形状为 a
xay ch? )(
2
axax eea
悬 链 线
a
机动 目录 上页 下页 返回 结束三,),( yyfy 型的微分方程令 ),( ypy x
py
d
d则
x
y
y
p
d
d
d
d
故方程化为设其通解为 ),,( 1Cyp 即得分离变量后积分,得原方程的通解机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,求解代入方程得两端积分得,lnlnln 1Cyp,1Cp?即
(一阶线性齐次方程 )
故所求通解为解,x
py
d
d则
x
y
y
p
d
d
d
d?
y
pp
d
d?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
M,地球质量
m,物体质量例 6.
静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间
(不计空气阻力 ),
解,如图所示选取坐标系,则有定解问题,?
2
2
d
d
t
ym
2y
Mmk?
,0 ly t 00ty
,dd tyv?设 tvt y dddd 2
2
则代入方程得 积分得一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由
y
o
R
l
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,1122?
lyMkv
,dd tyv td yyl yMk l d2
两端积分得
,0 ly t利用,02?C得 因此有
l
ylyyl a rc c o s2
,,0 000 lyyv ttt利用 lMkC 21得注意“－”号机动 目录 上页 下页 返回 结束由于 y = R 时 由原方程可得因此落到地面 ( y = R )时的速度和所需时间分别为
)a rc c o s(21 2 lRlRRlglRt Ry
2
2
d
d
t
ym,
2y
Mmk? y
o
R
l
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,若此例改为如图所示的坐标系,
R
y
o
l
2
2
d
d
t
ym
,00ty 00ty
，令 tyv dd?解方程可得问,此时开方根号前应取什么符号? 说明道理,
则定解问题为机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,解初值问题解,令
02 yey
,00xy 10xy
),( ypy,d
d
y
ppy则代入方程得积分得 1221221 Cep y
利用初始条件,,0100 xy yp,01?C得 根据 y
epxydd
积分得,2Cxe y,00xy再由 12C得故所求特解为 xe y1
得机动 目录 上页 下页 返回 结束为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例 8,二阶可导,且上任一点 P(x,y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,
区间 [ 0,x ] 上以解,
于是
c o t21 21 yS? 2S
在点 P(x,y) 处的切线倾角为?,
满足的方程,
积记为
( 99 考研 )
ttyS
x d)(
02
P
xy
1S 1
o
y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束再利用 y (0) = 1 得利用 得
x tty
y
y
0
2
1d)(
两边对 x 求导,得 2)( yyy
定解条件为 )0(,1)0( yy
),( ypy令 方程化为
y
y
p
p dd?
,1 yCp?解得 利用定解条件得,11?C,yy再解 得
,2 xeCy?,12?C 故所求曲线方程为
2
d
d p
y
ppy?
1
2S P
xy
1S 1
o
y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结可降阶微分方程的解法 —— 降阶法逐次积分令,)( xpy
令,)( ypy
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,方程 如何代换求解?
答,令 或一般说,用前者方便些,
均可,
有时用后者方便,例如,
2,解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?
答,(1) 一般情况,边解边定常数计算简便,
(2) 遇到开平方时,要根据题意确定正负号,
例 6 例 7
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P292 1 (5),(7),(10) ;
2 (3),(6) ;
3 ; 4
作业第七节 目录 上页 下页 返回 结束
o
y
x
)1,0(
A
速度大小为 2v,方向指向 A,
)0,1(?
),( yxB
tv
提示,设 t 时刻 B 位于 ( x,y ),如图所示,则有y
xys x d11 2
xyt x d1dd 1 2
去分母后两边对 x求导,得又由于
ytv1 x?
设物体 A 从点 ( 0,1 )出发,以大小为常数 v 备用题的速度沿 y 轴正向运动,物体 B 从 (–1,0 ) 出发,
试建立物体 B 的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件,
①
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0121
d
d 2
2
2
y
x
yx代入 ① 式得所求微分方程,
其初始条件为
,01xy 11xy
o
y
x
A
)0,1(?
),( yxB
tv
机动 目录 上页 下页 返回 结束
令,)1( nyz 因此
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1
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1 Cxe x
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机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,质量为 m 的质点受力 F 的作用沿 ox 轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大,此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0,如果开始时质点在原点,
解,据题意有
t
F
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0F
F )1(0 TtmF )1(
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t = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数,F = F (t),
小,
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且对方程两边积分,得机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
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),( yxfy 型的微分方程设,)( xpy 原方程化为一阶方程设其通解为 ),( 1Cxp
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再一次积分,得原方程的通解
21 d),( CxCxy
二、
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求解 yxyx 2)1(
2
,10xy 3 0xy
解,代入方程得
pxpx 2)1( 2 分离变量积分得,ln)1(lnln 12 Cxp
,3 0xy利用,31?C得 于是有 )1(3 2xy
两端再积分得 23 3 Cxxy
利用,10xy,12?C得
133 xxy
因此所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,绳索仅受重力作用而下垂,
解,取坐标系如图,考察最低点 A 到
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M?
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设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,
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任意点 M ( x,y ) 弧段的受力情况,T
A 点受水平张力 H
M 点受切向张力 T
两式相除得
H A
机动 目录 上页 下页 返回 结束
M?
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21 1 yy a,aOA?设则得定解问题,
),( xpy令,dd xpy则 原方程化为两端积分得
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故方程化为设其通解为 ),,( 1Cyp 即得分离变量后积分,得原方程的通解机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,求解代入方程得两端积分得,lnlnln 1Cyp,1Cp?即
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故所求通解为解,x
py
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
M,地球质量
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02 yey
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利用初始条件,,0100 xy yp,01?C得 根据 y
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积分得,2Cxe y,00xy再由 12C得故所求特解为 xe y1
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区间 [ 0,x ] 上以解,
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机动 目录 上页 下页 返回 结束再利用 y (0) = 1 得利用 得
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两边对 x 求导,得 2)( yyy
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机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结可降阶微分方程的解法 —— 降阶法逐次积分令,)( xpy
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机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,方程 如何代换求解?
答,令 或一般说,用前者方便些,
均可,
有时用后者方便,例如,
2,解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?
答,(1) 一般情况,边解边定常数计算简便,
(2) 遇到开平方时,要根据题意确定正负号,
例 6 例 7
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P292 1 (5),(7),(10) ;
2 (3),(6) ;
3 ; 4
作业第七节 目录 上页 下页 返回 结束
o
y
x
)1,0(
A
速度大小为 2v,方向指向 A,
)0,1(?
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提示,设 t 时刻 B 位于 ( x,y ),如图所示,则有y
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去分母后两边对 x求导,得又由于
ytv1 x?
设物体 A 从点 ( 0,1 )出发,以大小为常数 v 备用题的速度沿 y 轴正向运动,物体 B 从 (–1,0 ) 出发,
试建立物体 B 的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件,
①
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0121
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其初始条件为
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