转化可分离变量微分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束第二节解分离变量方程 xxfyyg d)(d)(?
可分离变量方程 )()(
d
d
21 yfxfx
y?
0 )(d )( 11 xNxxM yyNyM d)( ) 22
第十二章分离变量方程的解法,xxfyyg d)(d)(?
设 y＝? (x) 是方程①的解,
xxfxxxg d)(d)())((
两边积分,得 xxf d)(
①
则有恒等式
②
当 G(y) 与 F(x) 可微且 G’(y) ＝ g(y)≠0 时,
说明由②确定的隐函数 y＝?(x) 是①的解,
则有称②为方程①的 隐式通解,或 通积分,
同样,当 F’(x)
= f (x)≠0 时,
上述过程可逆,
由②确定的隐函数 x＝?(y) 也 是①的解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求微分方程 的通解,
解,分离变量得 xxy
y d3d 2?
两边积分得 13ln Cxy
Cxy lnln 3即 1CeC令
( C 为任意常数 )
或说明,在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、
减解,
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,解初值问题
0d)1(d 2 yxxyx
解,分离变量得 xx
x
y
y d
1
d
2
两边积分得即 Cxy 12
由初始条件得 C = 1,
112xy
( C 为任意常数 )
故所求特解为
1)0(?y
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求下述微分方程的通解,
解,令,1 yxu 则故有 uu 2s i n1
即
Cxuta n解得
Cxyx )1ta n( ( C 为任意常数 )所求通解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束练习,
解法 1 分离变量
Cee xy
即 01)( yx eCe ( C < 0 )
解法 2,yxu令故有 ueu 1
积分
Cxeu u )1(ln
( C 为任意常数 )所求通解,Cye yx )1(ln
ue ee u
uu
d1 )1(
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,
子的含量 M 成正比,求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律,
解,根据题意,有
)0(dd MtM
00 MM t (初始条件 )
对方程分离变量,
,lnln CtM得 即 teCM
利用初始条件,得 0MC?
故所求铀的变化规律为,0 teMM
M
0M
to
然后积分,?
已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5.
成正比,求解,根据牛顿第二定律列方程?t
vm
d
d
00tv初始条件为对方程分离变量,然后积分,
得 )0( vkgm此处利用初始条件,得 )(ln
1 gm
kC
代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时 ( t = 0 ) 速度为 0,
)1(
tmk
ek gmv
mg vk?
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系,
kmgv?
t 足够大时机动 目录 上页 下页 返回 结束
cm100
例 6,有高 1m 的半球形容器,水从它的底部小孔流出,
开始时容器内盛满了水,
从小孔流出过程中,容器里水面的高度 h 随时间 t 的变
r
解,由水力学知,水从孔口流出的流量为即 thgV d262.0d?
求水小孔横截面积化规律,
流量系数 孔口截面面积重力加速度设在 内水面高度由 h 降到 ),0d(d hhh
hh d?
h
h
o
机动 目录 上页 下页 返回 结束
cm100
r
hh d?
h
h
o
对应下降体积 hrV dd
2
22 )1 0 0(1 0 0 hr 22 0 0 hh
hhhV d)200(d 2
因此得微分方程定解问题,
将方程分离变量,hhh
gt d)200(262.0d
2321
机动 目录 上页 下页 返回 结束
gt 262.0
两端积分,得
g262.0
hhh d)2 0 0( 2
321
23
3
400( h )
5
2 25h? C?
利用初始条件,得
510
15
14
262.0 gC
因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系,
)310107(265.4 252335 hhgt
1 0 00th
cm100
r
hh d?
h
h
o
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,微分方程的概念微分方程 ; 定解条件 ;
2,可分离变量方程的求解方法,
说明,通解不一定是方程的全部解,
0)( yyx 有解后者是通解,但不包含前一个解,
例如,方程分离变量后积分 ; 根据定解条件定常数,
解 ; 阶 ; 通解 ; 特解
y = – x 及 y = C
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程,
常用的方法,
1) 根据几何关系列方程 ( 如,P263,5(2) )
2) 根据物理规律列方程 ( 如,例 4,例 5 )
3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如,例 6 )
(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件,
(3) 求通解,并根据定解条件确定特解,
3,解微分方程应用题的方法和步骤机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习求下列方程的通解,
提示,xx
xy
y
y d
1d1 22(1) 分离变量
(2) 方程变形为 yxy s inc o s2 Cxy sin2
2t a nln
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P 269 1 (1),(5),(7),(10);
2 (3),(4) ; 4 ; 5 ; 6
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
,0)1,0(,1 FCF
备用题 已知曲线积分与路径无关,其中 求由确定的隐函数解,因积分与路径无关,故有
xFxF x s inc o s xFxyF y s ins in即因此有
]dc o sds in[),( yxxxyyxFL
),(?yxF
.)( xfy?
xyFF
y
x t a n
xyy ta n 1
0xy x
y c o s1? xsec?
]s i n),([]c o s),([ xyyxFyxyxFx
y?
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可分离变量方程 )()(
d
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21 yfxfx
y?
0 )(d )( 11 xNxxM yyNyM d)( ) 22
第十二章分离变量方程的解法,xxfyyg d)(d)(?
设 y＝? (x) 是方程①的解,
xxfxxxg d)(d)())((
两边积分,得 xxf d)(
①
则有恒等式
②
当 G(y) 与 F(x) 可微且 G’(y) ＝ g(y)≠0 时,
说明由②确定的隐函数 y＝?(x) 是①的解,
则有称②为方程①的 隐式通解,或 通积分,
同样,当 F’(x)
= f (x)≠0 时,
上述过程可逆,
由②确定的隐函数 x＝?(y) 也 是①的解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求微分方程 的通解,
解,分离变量得 xxy
y d3d 2?
两边积分得 13ln Cxy
Cxy lnln 3即 1CeC令
( C 为任意常数 )
或说明,在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、
减解,
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,解初值问题
0d)1(d 2 yxxyx
解,分离变量得 xx
x
y
y d
1
d
2
两边积分得即 Cxy 12
由初始条件得 C = 1,
112xy
( C 为任意常数 )
故所求特解为
1)0(?y
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求下述微分方程的通解,
解,令,1 yxu 则故有 uu 2s i n1
即
Cxuta n解得
Cxyx )1ta n( ( C 为任意常数 )所求通解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束练习,
解法 1 分离变量
Cee xy
即 01)( yx eCe ( C < 0 )
解法 2,yxu令故有 ueu 1
积分
Cxeu u )1(ln
( C 为任意常数 )所求通解,Cye yx )1(ln
ue ee u
uu
d1 )1(
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,
子的含量 M 成正比,求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律,
解,根据题意,有
)0(dd MtM
00 MM t (初始条件 )
对方程分离变量,
,lnln CtM得 即 teCM
利用初始条件,得 0MC?
故所求铀的变化规律为,0 teMM
M
0M
to
然后积分,?
已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5.
成正比,求解,根据牛顿第二定律列方程?t
vm
d
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00tv初始条件为对方程分离变量,然后积分,
得 )0( vkgm此处利用初始条件,得 )(ln
1 gm
kC
代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时 ( t = 0 ) 速度为 0,
)1(
tmk
ek gmv
mg vk?
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系,
kmgv?
t 足够大时机动 目录 上页 下页 返回 结束
cm100
例 6,有高 1m 的半球形容器,水从它的底部小孔流出,
开始时容器内盛满了水,
从小孔流出过程中,容器里水面的高度 h 随时间 t 的变
r
解,由水力学知,水从孔口流出的流量为即 thgV d262.0d?
求水小孔横截面积化规律,
流量系数 孔口截面面积重力加速度设在 内水面高度由 h 降到 ),0d(d hhh
hh d?
h
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cm100
r
hh d?
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对应下降体积 hrV dd
2
22 )1 0 0(1 0 0 hr 22 0 0 hh
hhhV d)200(d 2
因此得微分方程定解问题,
将方程分离变量,hhh
gt d)200(262.0d
2321
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gt 262.0
两端积分,得
g262.0
hhh d)2 0 0( 2
321
23
3
400( h )
5
2 25h? C?
利用初始条件,得
510
15
14
262.0 gC
因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系,
)310107(265.4 252335 hhgt
1 0 00th
cm100
r
hh d?
h
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o
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,微分方程的概念微分方程 ; 定解条件 ;
2,可分离变量方程的求解方法,
说明,通解不一定是方程的全部解,
0)( yyx 有解后者是通解,但不包含前一个解,
例如,方程分离变量后积分 ; 根据定解条件定常数,
解 ; 阶 ; 通解 ; 特解
y = – x 及 y = C
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(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程,
常用的方法,
1) 根据几何关系列方程 ( 如,P263,5(2) )
2) 根据物理规律列方程 ( 如,例 4,例 5 )
3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如,例 6 )
(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件,
(3) 求通解,并根据定解条件确定特解,
3,解微分方程应用题的方法和步骤机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习求下列方程的通解,
提示,xx
xy
y
y d
1d1 22(1) 分离变量
(2) 方程变形为 yxy s inc o s2 Cxy sin2
2t a nln
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P 269 1 (1),(5),(7),(10);
2 (3),(4) ; 4 ; 5 ; 6
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
,0)1,0(,1 FCF
备用题 已知曲线积分与路径无关,其中 求由确定的隐函数解,因积分与路径无关,故有
xFxF x s inc o s xFxyF y s ins in即因此有
]dc o sds in[),( yxxxyyxFL
),(?yxF
.)( xfy?
xyFF
y
x t a n
xyy ta n 1
0xy x
y c o s1? xsec?
]s i n),([]c o s),([ xyyxFyxyxFx
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