函数项级数的一致收敛性
*第六节一、函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质机动 目录 上页 下页 返回 结束第十一章一、函数项级数的一致收敛性幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,但一般函数项级数则不一定有这么好的特点,
例如,级数
)()()( 1232 nn xxxxxxx
每项在 [0,1] 上都连续,其前 n 项之和为,)( nn xxS?
和函数 )(l i m)( xSxS nn 10 x,0 1?x,1
该和函数在 x＝ 1 间断,
机动 目录 上页 下页 返回 结束因为对任意 x 都有,),2,1(
1sin
22
2
n
nn
xn
所以它的收敛域为 (－ ∞,+∞),但逐项求导后的级数
xnxx 22 c o s2c o sc o s
其一般项不趋于 0,所以对任意 x 都发散,
又如,函数项级数问题,对什么样的函数项级数才有,
逐项连续 和函数连续 ;
逐项求导 = 和函数求导 ; 逐项积分 = 和函数积分机动 目录 上页 下页 返回 结束定义,设 S(x) 为
)(
1
xu
n
n?
若对都有一个只依赖于?的自然数 N,使当 n > N 时,对区间 I 上的一切 x 都有
)()()( xSxSxr nn
则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数 S(x),
在区间 I 上的和函数,
任意给定的? > 0,
显然,在区间 I 上 )(
1
xu
n
n?
一致收敛于和函数 S(x)
部分和序列 )(xSn 一致收敛于 S(x)
余项 )(xrn 一致收敛于 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束几何解释,(如图 )
)( xSy
)( xSy
I x
)( xSy?
,0
, ZN 当 n > N 时,表示 )()( xSxS n
曲线 )()( xSyxSy 与总位于曲线
)( xSy n?
)( xSy n?
之间,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,研究级数
)1)((
1
)3)(2(
1
)2)(1(
1
nxnxxxxx
在区间 [0,+∞) 上的收敛性,
解,1
11
)1)((
1
kxkxkxkx? ),2,1(k
)3121()2111()( xxxxxS n
)111( nxnx
1
1
1
1
nxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(l i m)( xSxS nn )1111(lim nxxn 11 x
)0( x
余项的绝对值,
)()()( xSxSxr nn 11 nx 11
)0( x
因此,任给? > 0,取自然数,11N 则当 n > N 时有
)0()( xxr n?
这说明级数在 [0,+∞) 上一致收敛于,1
1)(
xxS
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,证明级数
)()()( 1232 nn xxxxxxx
在 [0,1] 上不一致收敛,
证,nnnn xxxxxxxS )()()( 12?
)(xS 10 x,0 1?x,1
)()()( xSxSxr nn 10 x,nx? 1?x,0
取正数,21 对无论多么大的正数 N,,)( 1
1
210 Nx取,]1,0[
0?x,)( 2101 xr N而 因此级数在 [0,1] 上不一致收敛,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
o x说明,1
1?n
nn xxS?)(
)(xS 10 x,0 1?x,1 2?n 4?n
10?n 30?n
)1,1(
)(xS
对任意正数 r < 1,
级数在 [ 0,r ] 上一致收敛,
事实上,因为在 [ 0,r ] 上,)( nn rxr?任给? > 0,欲使
,nr 只要,lnln rn 因此取,lnln rN?只要,Nn?
,)( nn rxr必有 即级数在 [ 0,r ] 上一致收敛,
机动 目录 上页 下页 返回 结束维尔斯特拉斯 (Weierstrass) 判别法用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时,需求出
),()( xSxS n 及这往往比较困难,下面介绍一个较方便的判别法,
若函数项级数
)(
1
xu n
n
在区间 I 上满足,;),2,1()()1 naxu nn,)2
1
收敛正项级数 n
n
a?
则函数项级数
)(
1
xu n
n
在区间 I 上一致收敛,
简介 目录 上页 下页 返回 结束证,由条件 2),根据柯西审敛原理,,,0 N 当
n > N 时,对任意正整数 p,都有
221
pnnn aaa?
由条件 1),对 x ∈ I,有
)()()( 21 xuxuxu pnnn
)()()( 21 xuxuxu pnnn
221
pnnn aaa?
则由上式得令,p 2)( xr n
故函数项级数
)(
1
xu n
n
在区间 I 上一致收敛,证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束
o xRR? a b
推论,若幂级数
n
n
n xa?
0 的收敛半径 R > 0,则此级数在 (－ R,R ) 内任一闭区间 [ a,b ] 上一致收敛,
证,},,m a x { bar?设则对 [ a,b ] 上的一切 x,都有
),2,1,0( nraxa nnnn
,0 Rr而 由阿贝尔定理 (第三节定理 1) 级数
n
n
n ra?
0
绝对收敛,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立,
说明,若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛区间可包含此端点,
证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,证明级数在 (－ ∞,+∞) 上 一致收敛,
证,),,(x因对任意而级数?
0
2
1
n n收敛,
由维尔斯特拉斯判别法知所给级数在 (－ ∞,+∞) 上 一致收敛,
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收敛性,而且能判别其绝对收敛性,
当不易观察到不等式 时，nn axu?)( 可利用导数求
)(m a x xua nIxn
例如,级数,1 251 xn
xn
n?
),,0[x,1
2
11
1
m a x
2
32525),0[ nnuxn
xna
nn
用求导法可得已知 23
1
1 nn
收敛,因此原级数在 [0,+∞) 上 一致 收敛,
,1)( 25 xn xnxu n
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、一致收敛级数的基本性质定理 1,若级数
:)(
1
满足xu n
n
,)(],[)()2
1
xSbaxu n
n
上一致收敛于在区间?
,],[)( 上连续在则 baxS
证,只需证明,],[0 bax,)()(lim 0
0
xSxSxx
由于 )()( 0xSxS?
)]()([)]()([ 00 xrxSxrxS nnnn
)()()()( 00 xrxrxSxS nnnn;],[)()1 上连续在区间各项 baxu n
机动 目录 上页 下页 返回 结束因为级数 )(1 xu nn?
一致收敛于 S (x),N,0?故),(?N?
使当 n > N 时,有
3)(,3)( 0
xrxr
nn
对这样选定的 n,,)( 0 连续在 xxS n 从而必存在? > 0,
有时当,0 xx
3)()( 0
xSxS
nn
从而得 )()( 0xSxS
,)( 0 连续在故 xxS ).()(l im 0
0
xSxSxx即 证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
(1) 定理 1 表明,对一致收敛的级数,极限运算与无限求和运算可交换,即有 )(lim)(lim
00 11
xuxu n
xxnnnxx?
(2) 若函数项级数不一致收敛时,定理结论不一定成立,
例如,级数 )1()1()1( 12 xxxxxxx n
在区间 [ 0,1 ] 上处处收敛,而其和函数
)(xS 10 x,0 1?x,1 在 x = 1 处不连续,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2,若级数
:)(
1
满足xu n
n
,)(],[)()2
1
xSbaxu n
n
上一致收敛于在区间?
则该级数在 [a,b] 上可逐项积分,xxuxxS
n
x
xn
x
x d)(d)( 00 1
,0 bxxa即对且上式右端级数在 [a,b] 上也一致收敛,
证,因为 xxu
k
x
x
n
k
d)(
01?
xxSxxu nxxk
n
k
x
x d)(d)( 00 1;],[)()1 上连续在区间各项 baxu n
机动 目录 上页 下页 返回 结束所以只需证明对 任意 ),(],[,00 xxbaxx一致有 xxSxxS x
xn
x
xn d)(d)(lim 00
根据级数的一致收敛性,),(,0 NN 使当
n > N 时,有
abxSxS n
)()(
于是,当 n > N 时,对 一切 ),(],[,00 xxbaxx有
xxSxxS xxnxx d)(d)(
00
xxSxS nxx d)()(
0
xxSxS nba d)()(
因此定理结论正确,证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,若级数不一致收敛时,定理结论不一定成立,
例如,级数2222 )1(22
1
)1(22 xnxn
n
exnexn
它的部分和 因此级数在 [ 0,1 ] 上收敛于 S (x) = 0,所以,0d)(
1
0 xxS
但是
xexnexn xnxn
n
d)1(22
2222 )1(22
1
1
0
22)1(
1
nn
n
ee
1 10 )( dxxS
①
为什么对级数①定理结论不成立? 分析它是否满足机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2 条件,级数的余项
2222)( xn
n exnxr
,10 时当 nx?
)2(12)( 0 nenxr n
可见级数①在 [ 0,1 ] 上不一致收敛,此即定理 2 结论对级数①不成立的原因,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 3,若级数满足：)(
1
xu n
n
,],[)()3
1
上一致收敛在级数 baxu n
n
)()(
1
xuxS n
n
且可逐项求导,即;),2,1(],[)()2 nbaxu n 上连续在
,],[)(
1
上一致收敛在区间则 baxu n
n
;)(],[)1 xSba 上收敛于在区间证,先证可逐项求导,
),()(
1
xxu n
n
设根据定理 2,
机动 目录 上页 下页 返回 结束有对,],[ bax? xxuxx
n
x
an
x
a d)(d)( 1
)()(
1
auxu nn
n
)()(
11
auxu n
n
n
n
)()( aSxS
上式两边对 x 求导,得 ).()( xxS
再证,],[)(
1
上一致收敛在 baxu n
n
根据定理 2,
,],[d)(
1
上一致收敛在级数 baxxu nxa
n
而
xxu nxa
n
d)(
1
)()(
11
auxu n
n
n
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(
1
xu n
n
xxu nxa
n
d)(
1
)(
1
au n
n
所以
.],[ 上一致收敛在 ba
级数一致收敛并不保证可以逐项求导,
例如,例 3中的级数说明,
在任意区间上都一致收敛,但求导后的级数
xnxx 22 c o s2c o sc o s
其一般项不趋于 0,所以对任意 x 都发散,
证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,证明函数 31
s i n)(
n
nxxf
n
对任意 x 有连续导数,
解,显然所给级数对任意 x 都收敛,且每项都有连续导数,而逐项求导后的级数?
3
1
sin
n
nx
n
2
1
c o s
n
nx
n
,1c o s 22
nn
nx,1
2
1
收敛
nn?
故级数②在 (－ ∞,+∞)
上一致收敛,故由定理 3可知
.c o s)( 2
1 n
nxxf
n
②
再由定理 1可知,),()( 上连续在 xf
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 4,若幂级数 的收敛半径
n
n
n xaxS
0
)(,1
1
n
n
n xan ),( RRx
xxaxxS
n
x n
n
x dd)(
0 00
,1 1
0
n
n
n x
n
a
),( RRx
则其和函在收敛域上 连续,且在收敛区间内可 逐项求导 与逐项求积分,运算前后收敛半径相同,即证,关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯特拉斯判别法的推论及定理 1,2 立即可得,
下面证明逐项可导的结论,
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,
.),(1
0
内收敛在先证级数 RRxan nn
n
),,( RRx任取,,11 Rxxx使再取定,11 x
xq记则 1?nn xan
n
n
n xa
xx
xn
1
11
1 n
n
n xa
xqn 11
1 1
由比值审敛法知级数
,1
0
收敛?
n
n
qn
故,0l i m 1 nn qn
,1 有界因此?nqn故存在 M > 0,使得
),2,1(111 nMqn xn
,0 1 Rx又,1
0
收敛级数 nn
n
xa?
由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束
.1
1
收敛级数?
nn
n
xan
),(1
1
RRxan nn
n
在因为幂级数 ],[ ba
上一致收敛,故原级数
],[
0
baxa nn
n
在?
内任一闭区间上满足定理 3条件,
从而可逐项求导,,],[ 的任意性再由 ba即知 ),(,1
10
RRxxanxa nn
n
n
n
n
再证级数
1
1
nn
n
xan
的收敛半径,RR
由前面的证明可知,RR 若将幂级数在1
1
nn
n
xan
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,)(],0[ 上逐项积分Rxx?,1
n
n
n
xa?
得级数的收敛半径不会缩小,.RR
因逐项积分所得
.RR于是幂级数
n
n
n
xa?
0
(－ R,R ) 内有任意阶导数,且有 kn
n
kn
k xaknnnxS
)1()1()()(?
),2,1(k
其收敛半径都为 R,
推论,的和函数 S (x) 在收敛区间证毕作业
P237 1; 3(2); 4(2),(4),(5)
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
*第六节一、函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质机动 目录 上页 下页 返回 结束第十一章一、函数项级数的一致收敛性幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,但一般函数项级数则不一定有这么好的特点,
例如,级数
)()()( 1232 nn xxxxxxx
每项在 [0,1] 上都连续,其前 n 项之和为,)( nn xxS?
和函数 )(l i m)( xSxS nn 10 x,0 1?x,1
该和函数在 x＝ 1 间断,
机动 目录 上页 下页 返回 结束因为对任意 x 都有,),2,1(
1sin
22
2
n
nn
xn
所以它的收敛域为 (－ ∞,+∞),但逐项求导后的级数
xnxx 22 c o s2c o sc o s
其一般项不趋于 0,所以对任意 x 都发散,
又如,函数项级数问题,对什么样的函数项级数才有,
逐项连续 和函数连续 ;
逐项求导 = 和函数求导 ; 逐项积分 = 和函数积分机动 目录 上页 下页 返回 结束定义,设 S(x) 为
)(
1
xu
n
n?
若对都有一个只依赖于?的自然数 N,使当 n > N 时,对区间 I 上的一切 x 都有
)()()( xSxSxr nn
则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数 S(x),
在区间 I 上的和函数,
任意给定的? > 0,
显然,在区间 I 上 )(
1
xu
n
n?
一致收敛于和函数 S(x)
部分和序列 )(xSn 一致收敛于 S(x)
余项 )(xrn 一致收敛于 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束几何解释,(如图 )
)( xSy
)( xSy
I x
)( xSy?
,0
, ZN 当 n > N 时,表示 )()( xSxS n
曲线 )()( xSyxSy 与总位于曲线
)( xSy n?
)( xSy n?
之间,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,研究级数
)1)((
1
)3)(2(
1
)2)(1(
1
nxnxxxxx
在区间 [0,+∞) 上的收敛性,
解,1
11
)1)((
1
kxkxkxkx? ),2,1(k
)3121()2111()( xxxxxS n
)111( nxnx
1
1
1
1
nxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(l i m)( xSxS nn )1111(lim nxxn 11 x
)0( x
余项的绝对值,
)()()( xSxSxr nn 11 nx 11
)0( x
因此,任给? > 0,取自然数,11N 则当 n > N 时有
)0()( xxr n?
这说明级数在 [0,+∞) 上一致收敛于,1
1)(
xxS
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,证明级数
)()()( 1232 nn xxxxxxx
在 [0,1] 上不一致收敛,
证,nnnn xxxxxxxS )()()( 12?
)(xS 10 x,0 1?x,1
)()()( xSxSxr nn 10 x,nx? 1?x,0
取正数,21 对无论多么大的正数 N,,)( 1
1
210 Nx取,]1,0[
0?x,)( 2101 xr N而 因此级数在 [0,1] 上不一致收敛,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
o x说明,1
1?n
nn xxS?)(
)(xS 10 x,0 1?x,1 2?n 4?n
10?n 30?n
)1,1(
)(xS
对任意正数 r < 1,
级数在 [ 0,r ] 上一致收敛,
事实上,因为在 [ 0,r ] 上,)( nn rxr?任给? > 0,欲使
,nr 只要,lnln rn 因此取,lnln rN?只要,Nn?
,)( nn rxr必有 即级数在 [ 0,r ] 上一致收敛,
机动 目录 上页 下页 返回 结束维尔斯特拉斯 (Weierstrass) 判别法用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时,需求出
),()( xSxS n 及这往往比较困难,下面介绍一个较方便的判别法,
若函数项级数
)(
1
xu n
n
在区间 I 上满足,;),2,1()()1 naxu nn,)2
1
收敛正项级数 n
n
a?
则函数项级数
)(
1
xu n
n
在区间 I 上一致收敛,
简介 目录 上页 下页 返回 结束证,由条件 2),根据柯西审敛原理,,,0 N 当
n > N 时,对任意正整数 p,都有
221
pnnn aaa?
由条件 1),对 x ∈ I,有
)()()( 21 xuxuxu pnnn
)()()( 21 xuxuxu pnnn
221
pnnn aaa?
则由上式得令,p 2)( xr n
故函数项级数
)(
1
xu n
n
在区间 I 上一致收敛,证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束
o xRR? a b
推论,若幂级数
n
n
n xa?
0 的收敛半径 R > 0,则此级数在 (－ R,R ) 内任一闭区间 [ a,b ] 上一致收敛,
证,},,m a x { bar?设则对 [ a,b ] 上的一切 x,都有
),2,1,0( nraxa nnnn
,0 Rr而 由阿贝尔定理 (第三节定理 1) 级数
n
n
n ra?
0
绝对收敛,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立,
说明,若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛区间可包含此端点,
证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,证明级数在 (－ ∞,+∞) 上 一致收敛,
证,),,(x因对任意而级数?
0
2
1
n n收敛,
由维尔斯特拉斯判别法知所给级数在 (－ ∞,+∞) 上 一致收敛,
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收敛性,而且能判别其绝对收敛性,
当不易观察到不等式 时，nn axu?)( 可利用导数求
)(m a x xua nIxn
例如,级数,1 251 xn
xn
n?
),,0[x,1
2
11
1
m a x
2
32525),0[ nnuxn
xna
nn
用求导法可得已知 23
1
1 nn
收敛,因此原级数在 [0,+∞) 上 一致 收敛,
,1)( 25 xn xnxu n
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、一致收敛级数的基本性质定理 1,若级数
:)(
1
满足xu n
n
,)(],[)()2
1
xSbaxu n
n
上一致收敛于在区间?
,],[)( 上连续在则 baxS
证,只需证明,],[0 bax,)()(lim 0
0
xSxSxx
由于 )()( 0xSxS?
)]()([)]()([ 00 xrxSxrxS nnnn
)()()()( 00 xrxrxSxS nnnn;],[)()1 上连续在区间各项 baxu n
机动 目录 上页 下页 返回 结束因为级数 )(1 xu nn?
一致收敛于 S (x),N,0?故),(?N?
使当 n > N 时,有
3)(,3)( 0
xrxr
nn
对这样选定的 n,,)( 0 连续在 xxS n 从而必存在? > 0,
有时当,0 xx
3)()( 0
xSxS
nn
从而得 )()( 0xSxS
,)( 0 连续在故 xxS ).()(l im 0
0
xSxSxx即 证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
(1) 定理 1 表明,对一致收敛的级数,极限运算与无限求和运算可交换,即有 )(lim)(lim
00 11
xuxu n
xxnnnxx?
(2) 若函数项级数不一致收敛时,定理结论不一定成立,
例如,级数 )1()1()1( 12 xxxxxxx n
在区间 [ 0,1 ] 上处处收敛,而其和函数
)(xS 10 x,0 1?x,1 在 x = 1 处不连续,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2,若级数
:)(
1
满足xu n
n
,)(],[)()2
1
xSbaxu n
n
上一致收敛于在区间?
则该级数在 [a,b] 上可逐项积分,xxuxxS
n
x
xn
x
x d)(d)( 00 1
,0 bxxa即对且上式右端级数在 [a,b] 上也一致收敛,
证,因为 xxu
k
x
x
n
k
d)(
01?
xxSxxu nxxk
n
k
x
x d)(d)( 00 1;],[)()1 上连续在区间各项 baxu n
机动 目录 上页 下页 返回 结束所以只需证明对 任意 ),(],[,00 xxbaxx一致有 xxSxxS x
xn
x
xn d)(d)(lim 00
根据级数的一致收敛性,),(,0 NN 使当
n > N 时,有
abxSxS n
)()(
于是,当 n > N 时,对 一切 ),(],[,00 xxbaxx有
xxSxxS xxnxx d)(d)(
00
xxSxS nxx d)()(
0
xxSxS nba d)()(
因此定理结论正确,证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,若级数不一致收敛时,定理结论不一定成立,
例如,级数2222 )1(22
1
)1(22 xnxn
n
exnexn
它的部分和 因此级数在 [ 0,1 ] 上收敛于 S (x) = 0,所以,0d)(
1
0 xxS
但是
xexnexn xnxn
n
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2222 )1(22
1
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1
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1 10 )( dxxS
①
为什么对级数①定理结论不成立? 分析它是否满足机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2 条件,级数的余项
2222)( xn
n exnxr
,10 时当 nx?
)2(12)( 0 nenxr n
可见级数①在 [ 0,1 ] 上不一致收敛,此即定理 2 结论对级数①不成立的原因,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 3,若级数满足：)(
1
xu n
n
,],[)()3
1
上一致收敛在级数 baxu n
n
)()(
1
xuxS n
n
且可逐项求导,即;),2,1(],[)()2 nbaxu n 上连续在
,],[)(
1
上一致收敛在区间则 baxu n
n
;)(],[)1 xSba 上收敛于在区间证,先证可逐项求导,
),()(
1
xxu n
n
设根据定理 2,
机动 目录 上页 下页 返回 结束有对,],[ bax? xxuxx
n
x
an
x
a d)(d)( 1
)()(
1
auxu nn
n
)()(
11
auxu n
n
n
n
)()( aSxS
上式两边对 x 求导,得 ).()( xxS
再证,],[)(
1
上一致收敛在 baxu n
n
根据定理 2,
,],[d)(
1
上一致收敛在级数 baxxu nxa
n
而
xxu nxa
n
d)(
1
)()(
11
auxu n
n
n
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(
1
xu n
n
xxu nxa
n
d)(
1
)(
1
au n
n
所以
.],[ 上一致收敛在 ba
级数一致收敛并不保证可以逐项求导,
例如,例 3中的级数说明,
在任意区间上都一致收敛,但求导后的级数
xnxx 22 c o s2c o sc o s
其一般项不趋于 0,所以对任意 x 都发散,
证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,证明函数 31
s i n)(
n
nxxf
n
对任意 x 有连续导数,
解,显然所给级数对任意 x 都收敛,且每项都有连续导数,而逐项求导后的级数?
3
1
sin
n
nx
n
2
1
c o s
n
nx
n
,1c o s 22
nn
nx,1
2
1
收敛
nn?
故级数②在 (－ ∞,+∞)
上一致收敛,故由定理 3可知
.c o s)( 2
1 n
nxxf
n
②
再由定理 1可知,),()( 上连续在 xf
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 4,若幂级数 的收敛半径
n
n
n xaxS
0
)(,1
1
n
n
n xan ),( RRx
xxaxxS
n
x n
n
x dd)(
0 00
,1 1
0
n
n
n x
n
a
),( RRx
则其和函在收敛域上 连续,且在收敛区间内可 逐项求导 与逐项求积分,运算前后收敛半径相同,即证,关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯特拉斯判别法的推论及定理 1,2 立即可得,
下面证明逐项可导的结论,
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,
.),(1
0
内收敛在先证级数 RRxan nn
n
),,( RRx任取,,11 Rxxx使再取定,11 x
xq记则 1?nn xan
n
n
n xa
xx
xn
1
11
1 n
n
n xa
xqn 11
1 1
由比值审敛法知级数
,1
0
收敛?
n
n
qn
故,0l i m 1 nn qn
,1 有界因此?nqn故存在 M > 0,使得
),2,1(111 nMqn xn
,0 1 Rx又,1
0
收敛级数 nn
n
xa?
由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束
.1
1
收敛级数?
nn
n
xan
),(1
1
RRxan nn
n
在因为幂级数 ],[ ba
上一致收敛,故原级数
],[
0
baxa nn
n
在?
内任一闭区间上满足定理 3条件,
从而可逐项求导,,],[ 的任意性再由 ba即知 ),(,1
10
RRxxanxa nn
n
n
n
n
再证级数
1
1
nn
n
xan
的收敛半径,RR
由前面的证明可知,RR 若将幂级数在1
1
nn
n
xan
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,)(],0[ 上逐项积分Rxx?,1
n
n
n
xa?
得级数的收敛半径不会缩小,.RR
因逐项积分所得
.RR于是幂级数
n
n
n
xa?
0
(－ R,R ) 内有任意阶导数,且有 kn
n
kn
k xaknnnxS
)1()1()()(?
),2,1(k
其收敛半径都为 R,
推论,的和函数 S (x) 在收敛区间证毕作业
P237 1; 3(2); 4(2),(4),(5)
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