二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法机动 目录 上页 下页 返回 结束第十一章一、正项级数及其审敛法若,0?nu?
1n
nu
定理 1,正项级数 收敛 部分和序列有界,
若 收敛,
∴ 部分和数列有界,故 从而又已知故有界,
则称 为 正项级数,
单调递增,
收敛,也收敛,
证,,”
,”
机动 目录 上页 下页 返回 结束都有定理 2 (比较审敛法 ) 设且存在 对一切 有
(1) 若 强 级数 则 弱 级数
(2) 若 弱 级数 则 强 级数证,
设对一切则有收敛,也收敛 ;
发散,也发散,
分别表示 弱 级数和 强 级数的部分和,则有是两个 正项级数,
(常数 k > 0 ),
因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束
(1) 若 强 级数 则有因此对一切 有由定理 1 可知,
则有(2) 若 弱 级数因此 这说明 强 级数 也发散,
也收敛,
发散,
收敛,
弱 级数机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,讨论 p 级数 ppp n
1
3
1
2
11
(常数 p > 0)
的敛散性,
解,1) 若,1?p 因为对一切而调和级数?
1
1
n n 由比较审敛法可知 p 级数
n
1?
发散,
发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,1?p 因为当,
11
pp xn?故
nn pp xnn 1 d11
nn p xx1 d1 11 1)1( 111 pp nnp
考虑强级数
11
2
1
)1(
1
pp
n nn
的部分和
n
11
1 )1(
11
pp
n
k kk
n
故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛,
时,
1)1(
11
pn
11111 )1(
11
3
1
2
1
2
11
ppppp nn?
1
2) 若机动 目录 上页 下页 返回 结束调和级数 与 p 级数 是两个常用的比较级数,
若存在, ZN 对一切,Nn?
机动 目录 上页 下页 返回 结束证明级数 发散,
证,因为
2)1(
1
)1(
1
nnn
而级数?
2
1
k k
发散根据比较审敛法可知,所给级数发散,
例 2.
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 3.(比较审敛法的极限形式 )
,l i m lvu
n
n
n
则有两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞
证,据极限定义,
设两正项级数满足
(1) 当 0 < l <∞ 时,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
nnn vluvl )()(
由 定理 2 可知?
1n
nv
同时收敛或同时发散 ;
)( Nn?
(3) 当 l = ∞时,即
nn vu?
由 定理 2可知,若?
1n
nv发散,
(1) 当 0 < l <∞时,
(2) 当 l = 0时,由 定理 2 知
1n
nv收敛,若机动 目录 上页 下页 返回 结束是两个 正项级数,
(1) 当 时, l0 两个级数同时收敛或发散 ;
特别取,
1
pn nv? 可得如下结论,对正项级数,? nu
,1?p l0 ln nnl i mpn
l0 发散? nu
(2) 当 且 收敛时,0?l? nv
(3) 当 且 发散时,l? nv
也收敛 ;
也发散,
收敛? nu
机动 目录 上页 下页 返回 结束的敛散性,
～
nnn
1lim
例 3,判别级数?
1
1si n
n n的敛散性,
解,nlim?
sin1n n11?
根据比较审敛法的极限形式知
.1sin
1
发散?
n n
例 4,判别级数
1
2
11ln
n n
解,nlim? 2
2 1l i m
nnn 1?
根据比较审敛法的极限形式知
,11ln
1
2 收敛?
n n
n n1sin
)1ln ( 21n?～ 21n
2n2
11ln
n?
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 4,比值审敛法 ( D’alembert 判别法 )
设 为正项级数,且,lim
1
n
n
n u
u
则
(1) 当 1
(2) 当 1
证,(1),1 时当
11
n
n
u
u
收敛,.收敛? nu
时,级数收敛 ;
或 时,级数发散,
, ZN知存在,时当 Nn?
由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束
,1 时或,0, NuZN必存在
,0lim Nnn uu因此 所以级数发散,
Nn?当时
(2) 当
nn uu1 1 nu Nu
1lim 1
n
n
n u
u
说明,当 时,级数可能收敛也可能发散,
例如,p – 级数 n
n
n u
u 1lim?
p
p
n
n
n 1
)1(
1
l i m?
1?
但,1?p
级数收敛 ;
,1?p 级数发散,
从而机动 目录 上页 下页 返回 结束
l i m
n
例 5,讨论级数 的敛散性,
解,
n
n
n u
u 1l im?
nxn )1(?
1?nxn x?
根据定理 4可知,
,10 时当 x级数收敛 ;
,1时当?x 级数发散 ;
,1时当?x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
对任意给定的正数?,li m n nn u?
定理 5.根值审敛法 ( Cauchy判别法 ) 设 为正项级
,li m n nn u则证明提示,
, ZN存在
n nu
即 nnn u )()(
分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确,
1 1
1 1
数,且机动 目录 上页 下页 返回 结束时,级数可能收敛也可能发散,
例如,p – 级数 p
n
n n
nu
1
)(1 n
说明,
但
,1?p 级数收敛 ;
,1?p 级数发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,证明级数 收敛于 S,
似代替和 S 时所产生的误差,
解,n nn n nu 1
由定理 5可知该级数收敛,令,nn SSr 则所求误差为
21 )2( 1)1( 10 nnn nnr
1)1( 1 nn nnn )1( 1
1
11
1
n
并估计以部分和 Sn近机动 目录 上页 下页 返回 结束二,交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为 交错级数,
定理 6,( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件,
则级数;),2,1()1 1 nuu nn
,0l i m)2 nn u
n
n
n u?
1
1)1(
收敛,且其和,1uS? 其余项满足
.1 nn ur
,,2,1,0 nu n设机动 目录 上页 下页 返回 结束证,)()()( 21243212 nnn uuuuuuS
)()()( 1222543212 nnn uuuuuuuS?
是单调递增有界数列,
又 )(limlim 12212 nnnnn uSS
故级数收敛于 S,且,1uS?
nu2?
)( 21 nn uu
21 nnn uur 1 nu
故机动 目录 上页 下页 返回 结束收敛收敛
nn 1)1(4131211)1 1
!1)1(!41!31!211)2 1 nn
用 Leibnitz 判别法 判别下列级数的敛散性,
nn n
10
)1(
10
4
10
3
10
2
10
1)3 1
432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)1
1
n n;!1)2
1
n n
.
10
)3
1
n
n
n
发散 收敛 收敛
!)1(
1
n
!
1
n
1
1
n
n
n
u
u 1
10
1
1?
n
n
n
n
10
n
n 1
10
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、绝对收敛与条件收敛定义,对任意项级数 若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级
1
1 1)1(
n
n
n
1
1
10
)1(
n
n
n n
收敛,
数为条件收敛,
均为绝对收敛,
例如,
绝对收敛 ；
则称原级数条件收敛,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 7,绝对收敛的级数一定收敛,
证,设
nv ),2,1(n
根据比较审敛法显然,0?nv?
1n
nv收敛,
收敛?
1
2
n
nv
nnn uvu 2
,
1
n
nu
1n
nu也收敛
)(21 nn uu
且 nv,nu?
收敛,令机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,证明下列级数绝对收敛,,)1()2(;sin)1(
1
2
1
4
n
n
n
n e
n
n
n?
证,(1),
1s i n
44 nn
n
而?
1
4
1
n n收敛,
1
4
si n
n n
n?
收敛因此?
1
4
si n
n n
n?
绝对收敛,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 令
n
n
n u
u 1l i m?
l i m n
1
2)1(
ne
n
ne
n2
211
l i m?
n
n
en 1
1
e
因此?
1
2
)1(
n
n
n
e
n
1
2
)1(
n
n
n
e
n
收敛,绝对收敛,
机动 目录 上页 下页 返回 结束其和分别为绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质,
*定理 8,绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和,
( P203 定理 9 )
说明,证明参考 P203～ P206,这里从略,
*定理 9,( 绝对收敛级数的乘法 )
.?S
则对所有乘积 按 任意顺序 排列得到的级数也绝对收敛,
设级数 与 都绝对收敛,,,?S
其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质,
(P205 定理 10)
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2,利用正项级数审敛法必要条件 0lim nn u 不满足 发 散满足比值审敛法
lim
n 1?n
u
nu
根值审敛法 n nn uli m
1
收 敛 发 散
1 不定 比较审敛法用它法判别
积分判别法部分和极限
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,任意项级数审敛法为收敛级数
Leibniz判别法,
01nn uu
0l im nn u 则交错级数 nn
n u?
1
)1( 收敛概念,
绝对收敛条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习设正项级数?
1n
nu收敛,能否推出?
1
2
n
nu收敛?
提示,
n
n
n u
u 2lim
nn u lim0?
由比较判敛法可知?
1
2
n
nu收敛,
注意,反之不成立,例如,
1
2
1
n n收敛,
1
1
n n
发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P206 1 (1),(3),(5) ;
2 (2),(3),(4) ;
3 (1),(2) ;
4 (1),(3),(5),(6) ;
5 (2),(3),(5)
第三节 目录 上页 下页 返回 结束备用题
1,判别级数的敛散性,
解,(1)
1
1
n n发散,故原级数发散,
不是 p–级数
(2)
1
1
n n发散,故原级数发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛 ;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定,
分析,∴ (B) 错 ;
又
C
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1n
nu
定理 1,正项级数 收敛 部分和序列有界,
若 收敛,
∴ 部分和数列有界,故 从而又已知故有界,
则称 为 正项级数,
单调递增,
收敛,也收敛,
证,,”
,”
机动 目录 上页 下页 返回 结束都有定理 2 (比较审敛法 ) 设且存在 对一切 有
(1) 若 强 级数 则 弱 级数
(2) 若 弱 级数 则 强 级数证,
设对一切则有收敛,也收敛 ;
发散,也发散,
分别表示 弱 级数和 强 级数的部分和,则有是两个 正项级数,
(常数 k > 0 ),
因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束
(1) 若 强 级数 则有因此对一切 有由定理 1 可知,
则有(2) 若 弱 级数因此 这说明 强 级数 也发散,
也收敛,
发散,
收敛,
弱 级数机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,讨论 p 级数 ppp n
1
3
1
2
11
(常数 p > 0)
的敛散性,
解,1) 若,1?p 因为对一切而调和级数?
1
1
n n 由比较审敛法可知 p 级数
n
1?
发散,
发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,1?p 因为当,
11
pp xn?故
nn pp xnn 1 d11
nn p xx1 d1 11 1)1( 111 pp nnp
考虑强级数
11
2
1
)1(
1
pp
n nn
的部分和
n
11
1 )1(
11
pp
n
k kk
n
故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛,
时,
1)1(
11
pn
11111 )1(
11
3
1
2
1
2
11
ppppp nn?
1
2) 若机动 目录 上页 下页 返回 结束调和级数 与 p 级数 是两个常用的比较级数,
若存在, ZN 对一切,Nn?
机动 目录 上页 下页 返回 结束证明级数 发散,
证,因为
2)1(
1
)1(
1
nnn
而级数?
2
1
k k
发散根据比较审敛法可知,所给级数发散,
例 2.
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 3.(比较审敛法的极限形式 )
,l i m lvu
n
n
n
则有两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞
证,据极限定义,
设两正项级数满足
(1) 当 0 < l <∞ 时,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
nnn vluvl )()(
由 定理 2 可知?
1n
nv
同时收敛或同时发散 ;
)( Nn?
(3) 当 l = ∞时,即
nn vu?
由 定理 2可知,若?
1n
nv发散,
(1) 当 0 < l <∞时,
(2) 当 l = 0时,由 定理 2 知
1n
nv收敛,若机动 目录 上页 下页 返回 结束是两个 正项级数,
(1) 当 时, l0 两个级数同时收敛或发散 ;
特别取,
1
pn nv? 可得如下结论,对正项级数,? nu
,1?p l0 ln nnl i mpn
l0 发散? nu
(2) 当 且 收敛时,0?l? nv
(3) 当 且 发散时,l? nv
也收敛 ;
也发散,
收敛? nu
机动 目录 上页 下页 返回 结束的敛散性,
～
nnn
1lim
例 3,判别级数?
1
1si n
n n的敛散性,
解,nlim?
sin1n n11?
根据比较审敛法的极限形式知
.1sin
1
发散?
n n
例 4,判别级数
1
2
11ln
n n
解,nlim? 2
2 1l i m
nnn 1?
根据比较审敛法的极限形式知
,11ln
1
2 收敛?
n n
n n1sin
)1ln ( 21n?～ 21n
2n2
11ln
n?
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 4,比值审敛法 ( D’alembert 判别法 )
设 为正项级数,且,lim
1
n
n
n u
u
则
(1) 当 1
(2) 当 1
证,(1),1 时当
11
n
n
u
u
收敛,.收敛? nu
时,级数收敛 ;
或 时,级数发散,
, ZN知存在,时当 Nn?
由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束
,1 时或,0, NuZN必存在
,0lim Nnn uu因此 所以级数发散,
Nn?当时
(2) 当
nn uu1 1 nu Nu
1lim 1
n
n
n u
u
说明,当 时,级数可能收敛也可能发散,
例如,p – 级数 n
n
n u
u 1lim?
p
p
n
n
n 1
)1(
1
l i m?
1?
但,1?p
级数收敛 ;
,1?p 级数发散,
从而机动 目录 上页 下页 返回 结束
l i m
n
例 5,讨论级数 的敛散性,
解,
n
n
n u
u 1l im?
nxn )1(?
1?nxn x?
根据定理 4可知,
,10 时当 x级数收敛 ;
,1时当?x 级数发散 ;
,1时当?x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
对任意给定的正数?,li m n nn u?
定理 5.根值审敛法 ( Cauchy判别法 ) 设 为正项级
,li m n nn u则证明提示,
, ZN存在
n nu
即 nnn u )()(
分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确,
1 1
1 1
数,且机动 目录 上页 下页 返回 结束时,级数可能收敛也可能发散,
例如,p – 级数 p
n
n n
nu
1
)(1 n
说明,
但
,1?p 级数收敛 ;
,1?p 级数发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,证明级数 收敛于 S,
似代替和 S 时所产生的误差,
解,n nn n nu 1
由定理 5可知该级数收敛,令,nn SSr 则所求误差为
21 )2( 1)1( 10 nnn nnr
1)1( 1 nn nnn )1( 1
1
11
1
n
并估计以部分和 Sn近机动 目录 上页 下页 返回 结束二,交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为 交错级数,
定理 6,( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件,
则级数;),2,1()1 1 nuu nn
,0l i m)2 nn u
n
n
n u?
1
1)1(
收敛,且其和,1uS? 其余项满足
.1 nn ur
,,2,1,0 nu n设机动 目录 上页 下页 返回 结束证,)()()( 21243212 nnn uuuuuuS
)()()( 1222543212 nnn uuuuuuuS?
是单调递增有界数列,
又 )(limlim 12212 nnnnn uSS
故级数收敛于 S,且,1uS?
nu2?
)( 21 nn uu
21 nnn uur 1 nu
故机动 目录 上页 下页 返回 结束收敛收敛
nn 1)1(4131211)1 1
!1)1(!41!31!211)2 1 nn
用 Leibnitz 判别法 判别下列级数的敛散性,
nn n
10
)1(
10
4
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3
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2
10
1)3 1
432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)1
1
n n;!1)2
1
n n
.
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1
n
n
n
发散 收敛 收敛
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1
n
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n
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1
1?
n
n
n
n
10
n
n 1
10
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、绝对收敛与条件收敛定义,对任意项级数 若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级
1
1 1)1(
n
n
n
1
1
10
)1(
n
n
n n
收敛,
数为条件收敛,
均为绝对收敛,
例如,
绝对收敛 ；
则称原级数条件收敛,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 7,绝对收敛的级数一定收敛,
证,设
nv ),2,1(n
根据比较审敛法显然,0?nv?
1n
nv收敛,
收敛?
1
2
n
nv
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,
1
n
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1n
nu也收敛
)(21 nn uu
且 nv,nu?
收敛,令机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,证明下列级数绝对收敛,,)1()2(;sin)1(
1
2
1
4
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证,(1),
1s i n
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n
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1
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1
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n n
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收敛因此?
1
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绝对收敛,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 令
n
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1
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ne
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1
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1
2
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n
n
n
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n
收敛,绝对收敛,
机动 目录 上页 下页 返回 结束其和分别为绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质,
*定理 8,绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和,
( P203 定理 9 )
说明,证明参考 P203～ P206,这里从略,
*定理 9,( 绝对收敛级数的乘法 )
.?S
则对所有乘积 按 任意顺序 排列得到的级数也绝对收敛,
设级数 与 都绝对收敛,,,?S
其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质,
(P205 定理 10)
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2,利用正项级数审敛法必要条件 0lim nn u 不满足 发 散满足比值审敛法
lim
n 1?n
u
nu
根值审敛法 n nn uli m
1
收 敛 发 散
1 不定 比较审敛法用它法判别
积分判别法部分和极限
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,任意项级数审敛法为收敛级数
Leibniz判别法,
01nn uu
0l im nn u 则交错级数 nn
n u?
1
)1( 收敛概念,
绝对收敛条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习设正项级数?
1n
nu收敛,能否推出?
1
2
n
nu收敛?
提示,
n
n
n u
u 2lim
nn u lim0?
由比较判敛法可知?
1
2
n
nu收敛,
注意,反之不成立,例如,
1
2
1
n n收敛,
1
1
n n
发散,
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P206 1 (1),(3),(5) ;
2 (2),(3),(4) ;
3 (1),(2) ;
4 (1),(3),(5),(6) ;
5 (2),(3),(5)
第三节 目录 上页 下页 返回 结束备用题
1,判别级数的敛散性,
解,(1)
1
1
n n发散,故原级数发散,
不是 p–级数
(2)
1
1
n n发散,故原级数发散,
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2,则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛 ;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定,
分析,∴ (B) 错 ;
又
C
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