第八章第八节一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束多元函数的极值及其求法
x y
z
一,多元函数的极值定义,若函数则称函数在该点取得 极大值 (极小值 ).
例如,
在点 (0,0) 有极小值 ;
在点 (0,0) 有极大值 ;
在点 (0,0) 无极值,
极大值和极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
的某邻域内有
x y
z
x
y
z
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,使偏导数都为 0 的点称为 驻点,
例如,
定理 1 (必要条件 ) 函数偏导数,
证,
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立,
0),(,0),( 0000 yxfyxf yx
取得极值,
取得极值取得极值但驻点不一定是极值点,
有驻点 ( 0,0 ),但在该点不取极值,
且在该点取得极值,则有存在故机动 目录 上页 下页 返回 结束时,具有极值定理 2 (充分条件 )
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则,1) 当
A<0 时取极大值 ;
A>0 时取极小值,
2) 当
3) 当证明见 第九节 (P65),
时,没有极值,
时,不能确定,需另行讨论,
若函数 的在点 ),(),( 00 yxyxfz?
0),(,0),( 0000 yxfyxf yx
),(,),(,),( 000000 yxfCyxfByxfA yyyxxx
02 BAC
02 BAC
02 BAC
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求函数解,第一步 求驻点,
得驻点,(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2),
第二步 判别,
在点 (1,0) 处为极小值 ;
解方程组
A
B
C
的极值,
求二阶偏导数
,66),( xyxf xx,0),(?yxf yx 66),( yyxf yy
,06122 BAC,0?A
机动 目录 上页 下页 返回 结束在点 (?3,0) 处不是极值 ;
在点 (?3,2) 处为极大值,
,66),( xyxf xx,0),(?yxf yx 66),( yyxf yy
,06122 BAC
,0)6(122 BAC,0?A
在点 (1,2) 处不是极值 ;,0)6(122 BAC
A B C
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2.讨论函数 及是否取得极值,
解,显然 (0,0) 都是它们的驻点,
在 (0,0)点邻域内的取值
,因此 z(0,0) 不是极值,
因此
,022 时当 yx 222 )( yxz 0)0,0( z
为极小值,
正负
0
在点 (0,0)
x y
z
o
并且在 (0,0) 都有可能为机动 目录 上页 下页 返回 结束二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值最值可疑点
驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且 只有一个 极值点 P 时,
)(Pf 为极小 值 )(Pf 为最小 值(大 ) (大 )
依据机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3.
解,设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为则水箱所用材料的面积为令 得驻点某厂要用铁板做一个体积为 2
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,
的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?
,m2yx
yxyx 222
0)(2 22 xx yA
0)(2 22 yy xA
因此可断定此唯一驻点就是最小值点,即当长、宽均为高为 时,水箱所用材料最省,
)2,2( 33
32
322 2 233
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,有一宽为 24cm 的长方形铁板,把它折起来做成解,设折起来的边长为 x cm,则断面面积
x
24
一个断面为等腰梯形的水槽,
倾角为?,
c o s2224 xx(21?sin) x?
s inc o ss in2s in24 22 xxx
x224?
x
积最大,
)0,120:( 2 xD
为问怎样折法才能使断面面机动 目录 上页 下页 返回 结束
co s24 x?c o s2 2x? 0)s in( c o s 222x令
xA?sin24?s in4 x? 0c o ss i n2x
A
解得,
由题意知,最大值在定义域 D 内达到,而在域 D 内只有一个驻点,故此点即为所求,
,0s in 0x
s inc o ss in2s in24 22 xxxA )0,120:(
2 xD
0c o s212xx
0)s in(c o sc o s2c o s24 22 xx
(c m )8,603 x
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、条件极值极值问题 无条件极值,
条 件 极 值,
条件极值的求法,
方法 1 代入法,
求一元函数 的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制例如,
转化
,0),( 下在条件?yx? 的极值求函数 ),( yxfz?
)(0),( xyyx 中解出从条件
))(,( xxfz
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,0),( 下在条件?yx?
方法 2 拉格朗日乘数法,
如方法 1 所述,
则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,
极值点必满足设记
.),( 的极值求函数 yxfz?
0),(?yx?,)( xy
))(( xxfz
例如,
故
0dddd xyffxz yx
,dd
y
x
x
y
因 0
y
xyx ff
y
y
x
x ff
故有
机动 目录 上页 下页 返回 结束引入辅助函数辅助函数 F称为拉格朗日 ( Lagrange )函数,利用拉格极值点必满足
0 xxf
0 yyf
0),(?yx?
则极值点满足,
朗日函数求极值的方法称为 拉格朗日乘数法,
),(),( yxyxfF
机动 目录 上页 下页 返回 结束推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形,
设解方程组可得到条件极值的可疑点,
例如,求函数下的极值,
在条件 ),,( zyxfu?,0),,(?zyx?
0),,(?zyx?
),,(),,(),,( 21 zyxzyxzyxfF
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,要设计一个容量为
0V
则问题为求 x,y,
令解方程组解,设 x,y,z 分别表示长、宽、高,
下水箱表面积最小,
z 使在条件
02 zyyz?
02 zxxz?
0)(2 yxyx?
00 Vzyx
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
的长方体开口水箱,试问
0Vzyx? yxzyzxS )(2
)()(2 0VzyxyxzyzxF
x y
z
机动 目录 上页 下页 返回 结束得唯一驻点,22 3 0Vzyx 3 02 4V
由题意可知合理的设计是存在的,
长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省,
因此,当高为,3 40V
x y
z
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考,
1) 当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?
提示,利用对称性可知,3 0Vzyx
2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?
提示,)()(2 0VzyxyxzyzxF2
长、宽、高尺寸相等,
内容小结
1,函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点,
即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点,
2,函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
,),( yxfz?
0),(
0),(
yxf
yxf
y
x如对二元函数
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法机动 目录 上页 下页 返回 结束设拉格朗日函数如求二元函数 下的极值,
解方程组第二步 判别
比较驻点及边界点上函数值的大小
根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数,确定定义域 ( 及约束条件 )
3,函数的最值问题在条件求驻点,
),( yxfz? 0),(?yx?
),(),( yxyxfF
机动 目录 上页 下页 返回 结束已知平面上两定点 A( 1,3 ),B( 4,2 ),
试在椭圆 圆周上求一点 C,使
△ ABC 面积 S△ 最大,
解答提示,
C
B
A
o
y
xE
D设 C 点坐标为 (x,y),
思考与练习
031
013
yx
kji
)103,0,0(21 yx
)0,0(149
22
yxyx
则
10321 yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束设拉格朗日函数解方程组得驻点 对应面积而 比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大,
)491()103(
22
2 yxyxF
092)103(2 xyx?
042)103(6 yyx?
0491
22
yx
646.1?S,5
4,
5
3 yx
,5.3,2 CD SS
点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P61 3,4,8,9,10
习题课 目录 上页 下页 返回 结束备用题 1,求半径为 R 的圆的内接三角形中面积最大者,
解,设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则,2 zyx
z
y
x
它们所对应的三个三角形面积分别为
zRS s in2213?
0,0,0 zyx
设拉氏函数 )2(s ins ins in zyxzyxF
解方程组
0c o sx
,得 3
2 zyx
故圆内接正三角形面积最大,最大面积为
3
2s in3
2
2
m ax
RS,
4
33 2R?
0c o sy 0c o sz
02zyx
机动 目录 上页 下页 返回 结束为边的面积最大的四边形,
试列出其目标函数和约束条件?
提示,
sin21sin21 dcbaS
)0,0(
目标函数,
c o s2c o s2 2222 dcdcbaba约束条件,
dcba,,,
a b
cd
答案,, 即四边形内接于圆时面积最大,
2,求平面上以机动 目录 上页 下页 返回 结束
x y
z
一,多元函数的极值定义,若函数则称函数在该点取得 极大值 (极小值 ).
例如,
在点 (0,0) 有极小值 ;
在点 (0,0) 有极大值 ;
在点 (0,0) 无极值,
极大值和极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
的某邻域内有
x y
z
x
y
z
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,使偏导数都为 0 的点称为 驻点,
例如,
定理 1 (必要条件 ) 函数偏导数,
证,
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立,
0),(,0),( 0000 yxfyxf yx
取得极值,
取得极值取得极值但驻点不一定是极值点,
有驻点 ( 0,0 ),但在该点不取极值,
且在该点取得极值,则有存在故机动 目录 上页 下页 返回 结束时,具有极值定理 2 (充分条件 )
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则,1) 当
A<0 时取极大值 ;
A>0 时取极小值,
2) 当
3) 当证明见 第九节 (P65),
时,没有极值,
时,不能确定,需另行讨论,
若函数 的在点 ),(),( 00 yxyxfz?
0),(,0),( 0000 yxfyxf yx
),(,),(,),( 000000 yxfCyxfByxfA yyyxxx
02 BAC
02 BAC
02 BAC
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求函数解,第一步 求驻点,
得驻点,(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2),
第二步 判别,
在点 (1,0) 处为极小值 ;
解方程组
A
B
C
的极值,
求二阶偏导数
,66),( xyxf xx,0),(?yxf yx 66),( yyxf yy
,06122 BAC,0?A
机动 目录 上页 下页 返回 结束在点 (?3,0) 处不是极值 ;
在点 (?3,2) 处为极大值,
,66),( xyxf xx,0),(?yxf yx 66),( yyxf yy
,06122 BAC
,0)6(122 BAC,0?A
在点 (1,2) 处不是极值 ;,0)6(122 BAC
A B C
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2.讨论函数 及是否取得极值,
解,显然 (0,0) 都是它们的驻点,
在 (0,0)点邻域内的取值
,因此 z(0,0) 不是极值,
因此
,022 时当 yx 222 )( yxz 0)0,0( z
为极小值,
正负
0
在点 (0,0)
x y
z
o
并且在 (0,0) 都有可能为机动 目录 上页 下页 返回 结束二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值最值可疑点
驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且 只有一个 极值点 P 时,
)(Pf 为极小 值 )(Pf 为最小 值(大 ) (大 )
依据机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3.
解,设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为则水箱所用材料的面积为令 得驻点某厂要用铁板做一个体积为 2
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,
的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?
,m2yx
yxyx 222
0)(2 22 xx yA
0)(2 22 yy xA
因此可断定此唯一驻点就是最小值点,即当长、宽均为高为 时,水箱所用材料最省,
)2,2( 33
32
322 2 233
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,有一宽为 24cm 的长方形铁板,把它折起来做成解,设折起来的边长为 x cm,则断面面积
x
24
一个断面为等腰梯形的水槽,
倾角为?,
c o s2224 xx(21?sin) x?
s inc o ss in2s in24 22 xxx
x224?
x
积最大,
)0,120:( 2 xD
为问怎样折法才能使断面面机动 目录 上页 下页 返回 结束
co s24 x?c o s2 2x? 0)s in( c o s 222x令
xA?sin24?s in4 x? 0c o ss i n2x
A
解得,
由题意知,最大值在定义域 D 内达到,而在域 D 内只有一个驻点,故此点即为所求,
,0s in 0x
s inc o ss in2s in24 22 xxxA )0,120:(
2 xD
0c o s212xx
0)s in(c o sc o s2c o s24 22 xx
(c m )8,603 x
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、条件极值极值问题 无条件极值,
条 件 极 值,
条件极值的求法,
方法 1 代入法,
求一元函数 的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制例如,
转化
,0),( 下在条件?yx? 的极值求函数 ),( yxfz?
)(0),( xyyx 中解出从条件
))(,( xxfz
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,0),( 下在条件?yx?
方法 2 拉格朗日乘数法,
如方法 1 所述,
则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,
极值点必满足设记
.),( 的极值求函数 yxfz?
0),(?yx?,)( xy
))(( xxfz
例如,
故
0dddd xyffxz yx
,dd
y
x
x
y
因 0
y
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y
y
x
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故有
机动 目录 上页 下页 返回 结束引入辅助函数辅助函数 F称为拉格朗日 ( Lagrange )函数,利用拉格极值点必满足
0 xxf
0 yyf
0),(?yx?
则极值点满足,
朗日函数求极值的方法称为 拉格朗日乘数法,
),(),( yxyxfF
机动 目录 上页 下页 返回 结束推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形,
设解方程组可得到条件极值的可疑点,
例如,求函数下的极值,
在条件 ),,( zyxfu?,0),,(?zyx?
0),,(?zyx?
),,(),,(),,( 21 zyxzyxzyxfF
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,要设计一个容量为
0V
则问题为求 x,y,
令解方程组解,设 x,y,z 分别表示长、宽、高,
下水箱表面积最小,
z 使在条件
02 zyyz?
02 zxxz?
0)(2 yxyx?
00 Vzyx
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
的长方体开口水箱,试问
0Vzyx? yxzyzxS )(2
)()(2 0VzyxyxzyzxF
x y
z
机动 目录 上页 下页 返回 结束得唯一驻点,22 3 0Vzyx 3 02 4V
由题意可知合理的设计是存在的,
长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省,
因此,当高为,3 40V
x y
z
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考,
1) 当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?
提示,利用对称性可知,3 0Vzyx
2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?
提示,)()(2 0VzyxyxzyzxF2
长、宽、高尺寸相等,
内容小结
1,函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点,
即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点,
2,函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
,),( yxfz?
0),(
0),(
yxf
yxf
y
x如对二元函数
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法机动 目录 上页 下页 返回 结束设拉格朗日函数如求二元函数 下的极值,
解方程组第二步 判别
比较驻点及边界点上函数值的大小
根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数,确定定义域 ( 及约束条件 )
3,函数的最值问题在条件求驻点,
),( yxfz? 0),(?yx?
),(),( yxyxfF
机动 目录 上页 下页 返回 结束已知平面上两定点 A( 1,3 ),B( 4,2 ),
试在椭圆 圆周上求一点 C,使
△ ABC 面积 S△ 最大,
解答提示,
C
B
A
o
y
xE
D设 C 点坐标为 (x,y),
思考与练习
031
013
yx
kji
)103,0,0(21 yx
)0,0(149
22
yxyx
则
10321 yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束设拉格朗日函数解方程组得驻点 对应面积而 比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大,
)491()103(
22
2 yxyxF
092)103(2 xyx?
042)103(6 yyx?
0491
22
yx
646.1?S,5
4,
5
3 yx
,5.3,2 CD SS
点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P61 3,4,8,9,10
习题课 目录 上页 下页 返回 结束备用题 1,求半径为 R 的圆的内接三角形中面积最大者,
解,设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则,2 zyx
z
y
x
它们所对应的三个三角形面积分别为
zRS s in2213?
0,0,0 zyx
设拉氏函数 )2(s ins ins in zyxzyxF
解方程组
0c o sx
,得 3
2 zyx
故圆内接正三角形面积最大,最大面积为
3
2s in3
2
2
m ax
RS,
4
33 2R?
0c o sy 0c o sz
02zyx
机动 目录 上页 下页 返回 结束为边的面积最大的四边形,
试列出其目标函数和约束条件?
提示,
sin21sin21 dcbaS
)0,0(
目标函数,
c o s2c o s2 2222 dcdcbaba约束条件,
dcba,,,
a b
cd
答案,, 即四边形内接于圆时面积最大,
2,求平面上以机动 目录 上页 下页 返回 结束
