*第九节一、二元函数泰勒公式二、极值充分条件的证明机动 目录 上页 下页 返回 结束二元函数的泰勒公式第八章一、二元函数的泰勒公式一元函数 )(xf 的泰勒公式, 20
000 !2
)()()()( hxfhxfxfhxf
n
n
hn xf ! )( 0
)(
)10(推广多元函数泰勒公式机动 目录 上页 下页 返回 结束记号 (设下面涉及的偏导数连续 ),
),()( 00 yxfykxh
),()( 002 yxfykxh
),()( 00 yxfykxh m
),(),( 0000 yxfkyxfh yx?表示
),(),(2),( 00200002 yxfkyxfkhyxfh yyyxxx
),(C 000 yxyx
fkh
pmp
m
pmp
m
p
p
m?

一般地,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
表示表示定理 1,),(),( 00 yxyxfz 在点设?的某一邻域内有直到 n + 1 阶连续偏导数,),( 00 kyhx为此邻域内任一点,则有
),(),( 0000 yxfkyhxf ),()( 00 yxfkh yx
),()( 002!21 yxfkh yx
),()( 00!1 yxfkh nyxn
),()( 001!)1( 1 kyhxfkhR nyxnn
)10(
nR?
其中
①
②
① 称为 f 在点 (x0,y0 )的 n 阶泰勒公式,② 称为其 拉格朗日型余项,
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,令 ),10(),()( 00 tktyhtxft?
则 ),()1(,),()0( 0000 kyhxfyxf
利用多元复合函数求导法则可得,
),(),()( 0000 tkythxfktkythxfht yx
),()()0( 00 yxfkh yx
),()( 002 tkythxfht xx
),(2 00 tkythxfkh yx
),( 002 tkythxfk yy
),()()0( 002 yxfkh yx
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),(C)( 000
)(
tkythxyx
fkht
pmp
m
pmp
m
p
p
m
m


一般地,
),()()0( 00)( yxfkh myxm
由 )(t? 的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式,
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),()( 001!)1( 1 kyhxfkhR nyxnn
说明,
(1) 余项估计式,因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界 M,则有 1)(
!)1(


n
n khn
MR
s i nc o skh
11 )s i nc o s(
!)1(


nn
n
M
)1(m a x 2]1,0[ xx利用
11)2(
!)1(


nn
n
M?
)( no
2?
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(2) 当 n = 0 时,得二元函数的拉格朗日中值公式,
),(),( 0000 yxfkyhxf
),( 00 kyhxfh x ),( 00 kyhxfk y )10(
(3) 若函数 ),( yxfz? 在区域 D 上的两个一阶偏导数恒为零,.),( 常数?yxf由中值公式可知在该区域上机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求函数 )0,0()1ln (),( 在点yxyxf
解,yxyxfyxf yx 1
1),(),(
的三阶泰勒公式,
2)1(
1),(),(),(
yx
yxfyxfyxf yyyxxx


33
3
)1(
!2
yxyx
f
pp
)3,2,1,0(?p
44
4
)1(
!3
yxyx
f
pp


)4,3,2,1,0(?p
因此,)0,0()( fkh yx )0,0()0,0( yx fkfh kh
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)0,0()( 2 fkh yx
)0,0()( 3 fkh yx
)0,0()0,0(2)0,0( 22 yyyxxx fkfkhfh
)0,0(C 3
3
3
3
0
3 pp
pp
p
p
yx
fkh

2)( kh
3)(2 kh
,0)0,0(?f又 代入三阶泰勒公式得将 ykxh,
)1ln( yxyx? 2)(21 yx 33)(31 Ryx
其中 ),()( 4
3 khfkhR yx 4
4
)1(
)(
4
1
yx
yx


yk xh )10(
机动 目录 上页 下页 返回 结束时,具有极值二、极值充分条件的证明的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则,1) 当
A < 0 时取极大值 ;
A > 0 时取极小值,
2) 当
3) 当时,没有极值,
时,不能确定,需另行讨论,
若函数 的在点 ),(),( 00 yxyxfz?
0),(,0),( 0000 yxfyxf yx
),(,),(,),( 000000 yxfCyxfByxfA yyyxxx
02 BAC
02 BAC
02 BAC
定理 2 (充分条件 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,由二元函数的泰勒公式,并注意
0),(,0),( 0000 yxfyxf yx
则有 ),(),( 0000 yxfkyhxfz
20021 ),([ hkyhxf xx
khkyhxf yx ),(2 00 ]),( 2
00 kkyhxf yy
,),(),( 00 连续的二阶偏导数在点由于 yxyxf所以
Akyhxf xx ),( 00
Bkyhxf yx ),( 00
Ckyhxf yy ),( 00
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]2[ 2221 kCkhBhA
其中?,?,? 是当 h →0,k →0 时的无穷小量,于是
z
),(21 khQ? )( 22 kh
,,很小时因此当 kh,),( 确定的正负号可由 khQz?
(1) 当 AC－ B2 ＞ 0 时,必有 A≠0,且 A 与 C 同号,
])()2[(),( 222221 kBACkBkhBAhAkhQ A
])())[( 2221 kBACkBhAA
可见,,0),(,0 khQA 时当 从而△ z＞ 0,因此 ),( yxf;),( 00 有极小值在点 yx
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( 2?o?
]2[ 2221 kkhh
,0),(,0 khQA 时当 从而 △ z＜ 0,在点因此 ),( yxf;),( 00 有极大值yx
(2) 当 AC－ B2 ＜ 0 时,若 A,C不全为零,无妨设 A≠0,
则 ]))[(),( 221 kkBhAkhQ A)( 2BAC?
),(0)()(),( 0000 yxyyBxxAyx 接近沿直线当
时,有,0 kBhA AkhQ 与故 )(异号 ;
),( yx当,),(0 000 时接近沿直线 yxyy,0?k有
AkhQ 与故 ),(同号,
可见 △ z 在 (x0,y0) 邻近有正有负,
在点因此 ),( yxf ;),( 00 无极值yx x
y
),( 00 yx
o
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+
+－
x
y
),( 00 yx
o
若 A＝ C＝ 0,则必有 B≠0,不妨设 B＞ 0,此时
22 2),( kCkhBhAkhQ
),( 00 kyhx对点
,,同号时当 kh,0),(?khQ
,,异号时当 kh,0),(?khQ
可见 △ z 在 (x0,y0) 邻近有正有负,
在点因此 ),( yxf ;),( 00 无极值yx
khB2?
,0 z从而
,0 z从而
(3) 当 AC－ B2 ＝ 0 时,
若 A≠0,则 21 )(),( kBhAkhQ A
若 A＝ 0,则 B＝ 0,2),( kCkhQ?
可能),( khQ
为零或非零机动 目录 上页 下页 返回 结束此时 )(),( 2
21?okhQz
因此作业
P67 1,3,4,5
第十节 目录 上页 下页 返回 结束
,)(,0),( 2 确定的正负号由时因为?ozkhQ
不能断定 (x0,y0) 是否为极值点,