第四节两类问题,在收敛域内和函数求 和展 开本节内容,
一、泰勒 ( Taylor ) 级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数机动 目录 上页 下页 返回 结束第十一章一、泰勒 ( Taylor ) 级数
)()( 0xfxf ))(( 00 xxxf 200 )(!2
)( xxxf
n
n
xxn xf )(! )( 00
)(
)( xR
n?
其中
)( xRn (?在 x 与 x0 之间 )
称为 拉格朗日余项,
1
0
)1(
)(!)1( )(?
n
n
xxnf?
则在若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数,
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式,
该邻域内有,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)( 0xf ))(( 00 xxxf
2
0
0 )(
!2
)( xxxf
n
n
xxn xf )(! )( 00
)(
为 f (x) 的 泰勒级数,
则称当 x0 = 0 时,泰勒级数又称为 麦克劳林级数,
1) 对此级数,它的收敛域是什么？
2) 在收敛域上,和函数是否为 f (x)?
待解决的问题,
若函数 的某邻域内具有任意阶导数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 1,
各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的 充要条件 是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足,,0)(li m xR nn
证明,
,)(! )()( 0
0
0
)(
n
n
n
xxn xfxf
令
)()()( 1 xRxSxf nn
)(l i m xR nn)()(lim 1 xSxf nn,0? )( 0xx
k
n
k
k
n xxk
xfxS )(
!
)()(
0
0
0
)(
1
)( 0xx
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2,若 f (x) 能展成 x 的幂级数,则这种展开式是唯一 的,且与它的麦克劳林级数相同,
证,设 f (x) 所展成的幂级数为则;2)( 121nn xnaxaaxf )0(1 fa;)1(!2)( 22nn xannaxf )0(!212 fa;!)()( nn anxf )0()(!1 nnn fa?
显然结论成立,
)0(0 fa?
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、函数展开成幂级数
1,直接展开法由泰勒级数理论可知,展开成幂级数的步函数 )( xf
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;
第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间 (－ R,R) 内 )(lim xR nn 是否为骤如下,
展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式间接展开法 — 利用已知其级数展开式
0,
的函数展开机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,将函数 展开成 x 的幂级数,
解,,)()( xn exf ),,1,0(1)0()( nf n
1
其收敛半径为对任何有限数 x,其余项满足
e
!)1(?n 1?nx xe?
故,!
1
!3
1
!2
11 32 nx x
nxxxe
nR lim!
1
n !)1(
1
n
n
(?在 0与 x 之间 )
x? 2!2
1 x? 3
!3
1 x nx
n !
1故得级数机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,将 展开成 x 的幂级数,
解,?)()( xf n?
)0()( nf
得级数,x
其收敛半径为,R 对任何有限数 x,其余项满足
))1(s in ( 2 n
!)1(?n 1?nx
12 kn ),2,1,0(k3
!31 x5!51 x 12!)12( 11)1( nnn x
xsin?
n
kn 2?
,)1( k?
,0
12!)12( 115!513!31 )1( nnn xxxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
nn xnxxx 2142 !)2( 1)1(!41!211c o s
类似可推出,
12153 !)12( 1)1(!51!31s i n nn xnxxxx
(P220 例 3)
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,将函数 展开成 x 的幂级数,其中 m
为任意常数,
解,易求出,1)0(?f,)0( mf,)1()0( mmf
,)1()2)(1()0()( nmmmmf n
于是得 级数 mx1
2
!2
)1( xmm
由于 1l i m n
n
n a
aR
nm
n
n?
1lim 1?
nxn nmmm ! )1()1(
级数在开区间 (－ 1,1) 内收敛,因此对任意常数 m,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
11,)( xxF 2
!2
)1( xmm
nxn nmmm ! )1()1(
1!)1( )1()1(1 11)( nxn nmmxmmxF
xmxF 1)(
)()1( xFx ),xmF?
mxxF )1()(
xx xxmxxF xF 00 d1d)( )(
)1ln()0(ln)(ln xmFxF
10(?F 推导则推导 目录 上页 下页 返回 结束为避免研究余项,设此级数的和函数为
2!2 )1( xmm
nxn nmmm ! )1()1(
xmx m 1)1(
称为 二项展开式,
说明：
(1) 在 x＝ ± 1 处的收敛性与 m 有关,
(2) 当 m 为正整数时,级数为 x 的 m 次多项式,上式就是代数学中的 二项式定理,
机动 目录 上页 下页 返回 结束由此得对应 1,,2121m 的二项展开式分别为
xx 2111 2421 x 3642 31 x
)11( x
48642 531 x
111 x 242 31 x 3642 531 x
)11( x
48642 7531 xx21?
11 1 x 2x? 3x? )11( x nn x)1(x?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)11(11 1 2 xxxxx n
2,间接展开法
x1 1
利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,
例 4,将函数 展开成 x 的幂级数,
解,因为
nn xxx )1(1 2 )11( x
把 x 换成 2x
21 1x nn xxx 242 )1(1
)11( x
,得将所给函数展开成 幂级数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,将函数 展开成 x 的幂级数,
解,xxf 1
1)( )11()1(
0
xx n
n
n
从 0 到 x 积分,得 xxx
x
n
n
n d)1()1l n (
00
,
1
)1(
0
1?
n
n
n
xn
定义且连续,
区间为利用此题可得
11 x 11?x
上式右端的幂级数在 x ＝ 1 收敛,有在而 1)1ln ( xx
所以展开式对 x ＝ 1 也是成立的,于是收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,将 展成解,)(s ins in 44 xx
)s in (c o s)c o s (s in 4444 xx
)s in ()c o s ( 4421 xx
32 )
4(!3
1)
4(!2
1)
4(12
1 xxx
的幂级数,
)4(x 3)4(!31 x 5)4(!51?x
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,将 展成 x－ 1 的幂级数,
解,)3)(1(
1
34
1
2 xxxx
21?x
2
1 x
2
2
2
)1( x
n
n
n x
2
)1()1(
8
1
nnn
n
n x )1(
2
1
2
1)1(
322
0
)31( x
)21(x41?x
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开
2,常用函数的幂级数展开式
xe? 1? ),(x
)1(ln x x?
]1,1(x
x? 2!2
1 x?,
!
1 nx
n
2
2
1x? 3
3
1 x 4
4
1 x 1
1
)1(?
nn x
n
式的函数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
!)12()1(
12
n
x nn
xsin? x? !3
3x
!5
5x
!7
7x
xcos? 1? !2
2x
!4
4x
!6
6x
!)2()1(
2
n
x nn
mx )1( 1? xm? 2!2
)1( xmm
nxn nmmm ! )1()1(
当 m = –1 时
x?1
1
,)1(1 32 nn xxxx
),(x
),(x
)1,1(x
)1,1(x
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,函数 处,有泰勒级数,与,能展成泰勒级数,有何不同?
提示,后者必需证明,0)(lim xR nn 前者无此要求,
2,如何求 的幂级数?
提示,xy 2c o s2
1
2
1
0 !)2(
1)1(
2
1
2
1
n
n
n
,!)2( 4)1(21 2
1
n
n
n
n x
n?
),(x
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P223 2 (2),(3),(5),(6) ;
3 (2) ; 4 ; 6
第五节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 1,将下列函数展开成 x 的幂级数解,,)1(0
2
n
nn x
)1,1(x
0 0
2 d)1(
n
x nn xx
0
12
12
)1(
n
n
n
xn
x＝ ± 1 时,此级数条件收敛,,4)0(
f
,
12
)1(
4
)(
0
12?
n
n
n
x
n
xf?]1,1[x因此机动 目录 上页 下页 返回 结束
)1(ln x x?
]1,1(x
2
2
1x? 3
3
1 x? 4
4
1 x
1
1
)1( nn x
n
2,将 在 x = 0处展为幂级数,
解,
)1ln ( x )32)(1(
32 2
xx
xx
1n
n
n
x
)11( x
)1ln ( 23 x?
n
n
n
x
n
)( 23)1(
1
1
)( 3232 x
nn
n
x
n
])(1[12ln 23
1
)( 3232 x
因此 2ln)(?xf?
1n
n
n
x n
n
n
x
n
)()1( 23
1
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、泰勒 ( Taylor ) 级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数机动 目录 上页 下页 返回 结束第十一章一、泰勒 ( Taylor ) 级数
)()( 0xfxf ))(( 00 xxxf 200 )(!2
)( xxxf
n
n
xxn xf )(! )( 00
)(
)( xR
n?
其中
)( xRn (?在 x 与 x0 之间 )
称为 拉格朗日余项,
1
0
)1(
)(!)1( )(?
n
n
xxnf?
则在若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数,
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式,
该邻域内有,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)( 0xf ))(( 00 xxxf
2
0
0 )(
!2
)( xxxf
n
n
xxn xf )(! )( 00
)(
为 f (x) 的 泰勒级数,
则称当 x0 = 0 时,泰勒级数又称为 麦克劳林级数,
1) 对此级数,它的收敛域是什么？
2) 在收敛域上,和函数是否为 f (x)?
待解决的问题,
若函数 的某邻域内具有任意阶导数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 1,
各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的 充要条件 是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足,,0)(li m xR nn
证明,
,)(! )()( 0
0
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)(
n
n
n
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令
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1
)( 0xx
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2,若 f (x) 能展成 x 的幂级数,则这种展开式是唯一 的,且与它的麦克劳林级数相同,
证,设 f (x) 所展成的幂级数为则;2)( 121nn xnaxaaxf )0(1 fa;)1(!2)( 22nn xannaxf )0(!212 fa;!)()( nn anxf )0()(!1 nnn fa?
显然结论成立,
)0(0 fa?
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、函数展开成幂级数
1,直接展开法由泰勒级数理论可知,展开成幂级数的步函数 )( xf
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;
第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间 (－ R,R) 内 )(lim xR nn 是否为骤如下,
展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式间接展开法 — 利用已知其级数展开式
0,
的函数展开机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,将函数 展开成 x 的幂级数,
解,,)()( xn exf ),,1,0(1)0()( nf n
1
其收敛半径为对任何有限数 x,其余项满足
e
!)1(?n 1?nx xe?
故,!
1
!3
1
!2
11 32 nx x
nxxxe
nR lim!
1
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1
n
n
(?在 0与 x 之间 )
x? 2!2
1 x? 3
!3
1 x nx
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1故得级数机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,将 展开成 x 的幂级数,
解,?)()( xf n?
)0()( nf
得级数,x
其收敛半径为,R 对任何有限数 x,其余项满足
))1(s in ( 2 n
!)1(?n 1?nx
12 kn ),2,1,0(k3
!31 x5!51 x 12!)12( 11)1( nnn x
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,)1( k?
,0
12!)12( 115!513!31 )1( nnn xxxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
nn xnxxx 2142 !)2( 1)1(!41!211c o s
类似可推出,
12153 !)12( 1)1(!51!31s i n nn xnxxxx
(P220 例 3)
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,将函数 展开成 x 的幂级数,其中 m
为任意常数,
解,易求出,1)0(?f,)0( mf,)1()0( mmf
,)1()2)(1()0()( nmmmmf n
于是得 级数 mx1
2
!2
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由于 1l i m n
n
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nm
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1lim 1?
nxn nmmm ! )1()1(
级数在开区间 (－ 1,1) 内收敛,因此对任意常数 m,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
11,)( xxF 2
!2
)1( xmm
nxn nmmm ! )1()1(
1!)1( )1()1(1 11)( nxn nmmxmmxF
xmxF 1)(
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xx xxmxxF xF 00 d1d)( )(
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10(?F 推导则推导 目录 上页 下页 返回 结束为避免研究余项,设此级数的和函数为
2!2 )1( xmm
nxn nmmm ! )1()1(
xmx m 1)1(
称为 二项展开式,
说明：
(1) 在 x＝ ± 1 处的收敛性与 m 有关,
(2) 当 m 为正整数时,级数为 x 的 m 次多项式,上式就是代数学中的 二项式定理,
机动 目录 上页 下页 返回 结束由此得对应 1,,2121m 的二项展开式分别为
xx 2111 2421 x 3642 31 x
)11( x
48642 531 x
111 x 242 31 x 3642 531 x
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48642 7531 xx21?
11 1 x 2x? 3x? )11( x nn x)1(x?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)11(11 1 2 xxxxx n
2,间接展开法
x1 1
利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,
例 4,将函数 展开成 x 的幂级数,
解,因为
nn xxx )1(1 2 )11( x
把 x 换成 2x
21 1x nn xxx 242 )1(1
)11( x
,得将所给函数展开成 幂级数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,将函数 展开成 x 的幂级数,
解,xxf 1
1)( )11()1(
0
xx n
n
n
从 0 到 x 积分,得 xxx
x
n
n
n d)1()1l n (
00
,
1
)1(
0
1?
n
n
n
xn
定义且连续,
区间为利用此题可得
11 x 11?x
上式右端的幂级数在 x ＝ 1 收敛,有在而 1)1ln ( xx
所以展开式对 x ＝ 1 也是成立的,于是收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,将 展成解,)(s ins in 44 xx
)s in (c o s)c o s (s in 4444 xx
)s in ()c o s ( 4421 xx
32 )
4(!3
1)
4(!2
1)
4(12
1 xxx
的幂级数,
)4(x 3)4(!31 x 5)4(!51?x
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,将 展成 x－ 1 的幂级数,
解,)3)(1(
1
34
1
2 xxxx
21?x
2
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2
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n
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8
1
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2
1
2
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322
0
)31( x
)21(x41?x
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开
2,常用函数的幂级数展开式
xe? 1? ),(x
)1(ln x x?
]1,1(x
x? 2!2
1 x?,
!
1 nx
n
2
2
1x? 3
3
1 x 4
4
1 x 1
1
)1(?
nn x
n
式的函数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
!)12()1(
12
n
x nn
xsin? x? !3
3x
!5
5x
!7
7x
xcos? 1? !2
2x
!4
4x
!6
6x
!)2()1(
2
n
x nn
mx )1( 1? xm? 2!2
)1( xmm
nxn nmmm ! )1()1(
当 m = –1 时
x?1
1
,)1(1 32 nn xxxx
),(x
),(x
)1,1(x
)1,1(x
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,函数 处,有泰勒级数,与,能展成泰勒级数,有何不同?
提示,后者必需证明,0)(lim xR nn 前者无此要求,
2,如何求 的幂级数?
提示,xy 2c o s2
1
2
1
0 !)2(
1)1(
2
1
2
1
n
n
n
,!)2( 4)1(21 2
1
n
n
n
n x
n?
),(x
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P223 2 (2),(3),(5),(6) ;
3 (2) ; 4 ; 6
第五节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 1,将下列函数展开成 x 的幂级数解,,)1(0
2
n
nn x
)1,1(x
0 0
2 d)1(
n
x nn xx
0
12
12
)1(
n
n
n
xn
x＝ ± 1 时,此级数条件收敛,,4)0(
f
,
12
)1(
4
)(
0
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n
n
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n
xf?]1,1[x因此机动 目录 上页 下页 返回 结束
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2
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1x? 3
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n
2,将 在 x = 0处展为幂级数,
解,
)1ln ( x )32)(1(
32 2
xx
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1n
n
n
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)11( x
)1ln ( 23 x?
n
n
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n
)( 23)1(
1
1
)( 3232 x
nn
n
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n
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1
)( 3232 x
因此 2ln)(?xf?
1n
n
n
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1
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
