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第十节欧拉方程欧拉方程
)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn
)( 为常数kp
,tex?令常系数线性微分方程
xt ln?即第十二章欧拉方程的算子解法,
)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn
,tex?令 则
xydd xtty dddd tyx dd1?
2
2
d
d
x
y
x
t
t
y
xt d
d)
d
d1(
d
d
t
y
t
y
x d
d
d
d1
2
2
2
计算繁 !
t
yyx
d
d
t
y
t
yyx
d
d
d
d
2
2
2
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,ddtD?记 则由上述计算可知,
yDyx
yDyDyx 22
,),3,2(dd ktD k
k
k
yD )1(
用归纳法可证 ykDDDyx kk )1()1()(
于是欧拉方程
)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn
)(11 tnnn efybyDbyD
转化为常系数线性方程,
)(
d
d
d
d
1
1
1
t
nn
n
n
n
efyb
t
yb
t
y
即机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,
解,则原方程化为亦即其根则①对应的齐次方程的通解为特征方程
①
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① 的通解为换回原变量,得原方程通解 为设特解,CtBtAy 2
代入①确定系数,得机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2.
解,将方程化为 (欧拉方程 )
则方程化为即 ②
特征根,
设特解,,2 tetAy? 代入 ② 解得 A = 1,所求通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3.
解,由题设得定解问题
③
,tex?令,ddtD?记 则③化为
teyDDD 5]4)1([
teyD 5)4( 2
特征根,,2 ir 设特解,
④
,teAy
⑤
代入⑤得 A＝ 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束得通解为
tetCtCy 2s in2c o s 21
xxCxC
1)ln2s i n ()ln2c o s (
21
利用初始条件 ④ 得
2
1,1
21 CC
故所求特解为
xxxy
1)ln2s i n (
2
1)ln2c o s (
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考,如何解下述微分方程提示,原方程直接令作业 P319 2 ; 6; 8
第 11节 目录 上页 下页 返回 结束
tD d
d?记
)(])1([ 21 aefypDpDD t
tD d
d?记