第三节一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数机动 目录 上页 下页 返回 结束第十一章一,函数项级数的概念设为定义在区间 I 上的 函数项级数,
对 若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其 收敛域 ;
若常数项级数为定义在区间 I 上的函数,称收敛,
发散,所有
0x称 为其 收
0x称 为其 发散点,
),2,1()(nxu n
发散点的全体称为其 发散域,
机动 目录 上页 下页 返回 结束为级数的 和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前 n 项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 称它机动 目录 上页 下页 返回 结束例如,等比级数它的收敛域是
,1[]1,( ），及它的发散域是 或写作,1?x
又如,级数级数发散 ;
所以级数的收敛域仅为有和函数机动 目录 上页 下页 返回 结束二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为 幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数
1,1 1
0
xxx
n
n
为幂级数的 系数,
即是此种情形,
的情形,即称机动 目录 上页 下页 返回 结束
o x发 散发 散 收 敛 收敛 发散定理 1,( Abel定理 ) 若幂级数?
0n
n
n xa
则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛,
反之,若当的一切 x,该幂级数也发散,
时该幂级数发散,则对满足不等式证,设 收敛,则必有 于是存在常数 M > 0,使阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束当 时,0xx? 收敛,
故原幂级数绝对收敛,
也收敛,
反之,若当 0xx? 时该幂级数发散,下面用反证法证之,
假设有一点
1x 01
xx?
0x
满足不等式 0xx?
所以若当 0xx?
满足 且使级数收敛,
面的证明可知,级数在点故假设不真,
的 x,原幂级数也 发散,
时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,
n
n
n
n
n
n x
xxaxa
0
0?
n
n
n x
xxa
0
0
证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束幂级数在 (－ ∞,+∞) 收敛 ;
由 Abel 定理可以看出,?
0n
n
n xa
中心的区间,
用 ± R 表示幂级数收敛与发散的分界点,
的收敛域是以原点为则
R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;
R =? 时,
,0 R幂级数在 (－ R,R ) 收敛 ;
(－ R,R ) 加上收敛的端点称为 收敛域,
R 称为 收敛半径,
在 [－ R,R ]
可能收敛也可能发散,Rx外发散 ; 在
(－ R,R ) 称为 收敛区间,
o x发 散发 散 收 敛 收敛 发散机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
a
a
xa
xa
n
n
nnn
n
n
n
1
1
1 limlim
定理 2.若 的系数满足;1R;R
.0?R
证,
1) 若? ≠0,则根据比值审敛法可知,
当,1?x? 原级数收敛 ;
当,1?x? 原级数发散,
即?1?x 时,
1) 当? ≠0 时,
2) 当? ＝ 0 时,
3) 当? ＝ ∞时,
即 时,
则
1?x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2) 若,0 则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛,
3) 若, 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散,
.0?R
对任意 x 原级数因此因此的收敛半径为说明,据此定理
1
l i m
n
n
n a
aR
因此级数的收敛半径,
1
R
机动 目录 上页 下页 返回 结束对端点 x =－ 1,
1
l i m
n
n
n a
aR的收敛半径及收敛域,
解,
1
1
n
n
1
对端点 x = 1,级数为交错级数 收敛 ;
级数为 发散,
.]1,1(?故收敛域为例 1.求幂级数
l i m
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求下列幂级数的收敛域,
解,(1) limlim
1
nn
n
n a
aR? !1n
所以收敛域为,),(
(2)
limlim
1
nn
n
n a
aR? !n
!)1(?n 0?
所以级数仅在 x = 0 处收敛,
规定,0 ! = 1
!)1(
1
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,的收敛半径,
解,级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理 2,
比值审敛法求收敛半径,
lim)( )(lim 1
nn
n
n xu
xu2]!)1([ !])1(2[n n
2]![
!]2[
n
n
2
2)1(
)22()12(lim x
n
nn
n?
24 x?
14 2?x当 时级数收敛时级数发散故收敛半径为,2
1?R
14 2?x当
)1(2?nx
nx2
故直接由机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,的收敛域,
解,令 级数变为
nn
n
n a
aR limlim
1n
n2
1
)1(2
1
1 nn n
n
n
n
n 2
)1(2lim 1
2?
当 t = 2 时,级数为 此级数发散 ;
当 t = – 2 时,级数为 此级数条件收敛 ;
因此级数的收敛域为,22 t故原级数的收敛域为即,31 x
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、幂级数的运算定理 3,设幂级数 及 的收敛半径分别为
,,21 RR 令 )(
0
为常数 n
n
n xa?
1Rx?
,,m in 21 RRR?
n
n
n
n
n
n xbxa
00
,)(
0
n
n
nn xba?
Rx?
,
0
n
n
n xc?
Rx?
则有,
n
n
n
n
n
n xbxa
00
其中 以上结论可用部分和的极限证明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多,例如,设
),2,1,0,1( 0 naa n
,3,2,0,1,1 10 nb bb
n
它们的收敛半径均为,R 但是
nxxx 21
其收敛半径只是,1?R
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 4 若幂级数 的收敛半径
(证明见第六节 )
n
n
n xaxS
0
)(,1
1
n
n
n xan ),( RRx
xxaxxS
n
x n
n
x dd)(
0 00
,1 1
0
n
n
n x
n
a
),( RRx
则其和函在收敛域上 连续,且在收敛区间内可 逐项求导 与逐项求积分,运算前后收敛半径相同,
注,逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变,
机动 目录 上页 下页 返回 结束解,由例 2可知级数的收敛半径 R＝ +∞.
例 5.
则?
1
1
!)1()( n
n
n
xxS
)(xS?
故有 0)( xSe x
xeCxS?)(
,)(1)0( xexSS 得由 故得的和函数,
因此得设机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,的和函数解,易求出幂级数的收敛半径为 1,x＝ ± 1 时级数发
1
)(
n
nxx
xxx 1
1n
nxx
散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,求级数 的和函数解,易求出幂级数的收敛半径为 1,
0 1
)(
n
n
n
xxS
x
n
n xx
x 0 0
d1?
x
x
xx 0
d
1
11
) 10( x及收敛,?
0
1
1
1
n
n
n
x
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)1,0()0,1[x
)(xS
因此由和函数的连续性得,
)(xS
而,1
)1(lnl i m
0
x
x
x
,)1l n (1 xx
,1 0?x
) 10( x及机动 目录 上页 下页 返回 结束例 8.
解,设
,
1
)(
2
2?
n
n
n
xxS
则
2
1
12 n
n
n
xx
2
1
12
1
n
n
n
x
x
12 n
n
n
xx
32
1
n
n
n
x
x
n
n
xnnxS?
1
1
1
1
2
1)(
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1n
n
n
x
1 0
1 d
n
x
n xx
而
x
x
n
n d
0 1
1
x
x
x
0 1
d
)1ln ( x
故
)2(21
2x
xx
21S?
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,求幂级数收敛域的方法
1) 对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性,
2) 对非标准型幂级数 (缺项或通项为复合式 )
求收敛半径时直接用 比值法 或 根值法,
2,幂级数的性质
1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过 换元 化为标准型再求,
乘法运算,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续 ;
3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分,
思考与练习
1,已知 处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?
答,根据 Abel 定理可知,级数在 收敛,
时发散,故收敛半径为机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,在幂级数 中,
n
n
a
a 1?
n
n
)1(2
)1(2
2
1 1
n 为奇数,23
n 为偶数,61
能否确定它的收敛半径不存在?
答,不能,因为
n n
n xu )(lim 2
)1(2l i m xn n
n
当 时级数收敛,时级数发散,
说明,可以证明比值判别法成立 根值判别法成立机动 目录 上页 下页 返回 结束
P215 1 (1),(3),(5),(7),(8)
2 (1),(3)
P257 7 (1),(4)
8 (1),(3)
作业第四节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 求极限 其中解,令作幂级数 设其和为易知其收敛半径为 1,
则机动 目录 上页 下页 返回 结束
对 若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其 收敛域 ;
若常数项级数为定义在区间 I 上的函数,称收敛,
发散,所有
0x称 为其 收
0x称 为其 发散点,
),2,1()(nxu n
发散点的全体称为其 发散域,
机动 目录 上页 下页 返回 结束为级数的 和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前 n 项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 称它机动 目录 上页 下页 返回 结束例如,等比级数它的收敛域是
,1[]1,( ），及它的发散域是 或写作,1?x
又如,级数级数发散 ;
所以级数的收敛域仅为有和函数机动 目录 上页 下页 返回 结束二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为 幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数
1,1 1
0
xxx
n
n
为幂级数的 系数,
即是此种情形,
的情形,即称机动 目录 上页 下页 返回 结束
o x发 散发 散 收 敛 收敛 发散定理 1,( Abel定理 ) 若幂级数?
0n
n
n xa
则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛,
反之,若当的一切 x,该幂级数也发散,
时该幂级数发散,则对满足不等式证,设 收敛,则必有 于是存在常数 M > 0,使阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束当 时,0xx? 收敛,
故原幂级数绝对收敛,
也收敛,
反之,若当 0xx? 时该幂级数发散,下面用反证法证之,
假设有一点
1x 01
xx?
0x
满足不等式 0xx?
所以若当 0xx?
满足 且使级数收敛,
面的证明可知,级数在点故假设不真,
的 x,原幂级数也 发散,
时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,
n
n
n
n
n
n x
xxaxa
0
0?
n
n
n x
xxa
0
0
证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束幂级数在 (－ ∞,+∞) 收敛 ;
由 Abel 定理可以看出,?
0n
n
n xa
中心的区间,
用 ± R 表示幂级数收敛与发散的分界点,
的收敛域是以原点为则
R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;
R =? 时,
,0 R幂级数在 (－ R,R ) 收敛 ;
(－ R,R ) 加上收敛的端点称为 收敛域,
R 称为 收敛半径,
在 [－ R,R ]
可能收敛也可能发散,Rx外发散 ; 在
(－ R,R ) 称为 收敛区间,
o x发 散发 散 收 敛 收敛 发散机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
a
a
xa
xa
n
n
nnn
n
n
n
1
1
1 limlim
定理 2.若 的系数满足;1R;R
.0?R
证,
1) 若? ≠0,则根据比值审敛法可知,
当,1?x? 原级数收敛 ;
当,1?x? 原级数发散,
即?1?x 时,
1) 当? ≠0 时,
2) 当? ＝ 0 时,
3) 当? ＝ ∞时,
即 时,
则
1?x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2) 若,0 则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛,
3) 若, 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散,
.0?R
对任意 x 原级数因此因此的收敛半径为说明,据此定理
1
l i m
n
n
n a
aR
因此级数的收敛半径,
1
R
机动 目录 上页 下页 返回 结束对端点 x =－ 1,
1
l i m
n
n
n a
aR的收敛半径及收敛域,
解,
1
1
n
n
1
对端点 x = 1,级数为交错级数 收敛 ;
级数为 发散,
.]1,1(?故收敛域为例 1.求幂级数
l i m
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求下列幂级数的收敛域,
解,(1) limlim
1
nn
n
n a
aR? !1n
所以收敛域为,),(
(2)
limlim
1
nn
n
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!)1(?n 0?
所以级数仅在 x = 0 处收敛,
规定,0 ! = 1
!)1(
1
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,的收敛半径,
解,级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理 2,
比值审敛法求收敛半径,
lim)( )(lim 1
nn
n
n xu
xu2]!)1([ !])1(2[n n
2]![
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n
n
2
2)1(
)22()12(lim x
n
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n?
24 x?
14 2?x当 时级数收敛时级数发散故收敛半径为,2
1?R
14 2?x当
)1(2?nx
nx2
故直接由机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,的收敛域,
解,令 级数变为
nn
n
n a
aR limlim
1n
n2
1
)1(2
1
1 nn n
n
n
n
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2?
当 t = 2 时,级数为 此级数发散 ;
当 t = – 2 时,级数为 此级数条件收敛 ;
因此级数的收敛域为,22 t故原级数的收敛域为即,31 x
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、幂级数的运算定理 3,设幂级数 及 的收敛半径分别为
,,21 RR 令 )(
0
为常数 n
n
n xa?
1Rx?
,,m in 21 RRR?
n
n
n
n
n
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00
,)(
0
n
n
nn xba?
Rx?
,
0
n
n
n xc?
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则有,
n
n
n
n
n
n xbxa
00
其中 以上结论可用部分和的极限证明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多,例如,设
),2,1,0,1( 0 naa n
,3,2,0,1,1 10 nb bb
n
它们的收敛半径均为,R 但是
nxxx 21
其收敛半径只是,1?R
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 4 若幂级数 的收敛半径
(证明见第六节 )
n
n
n xaxS
0
)(,1
1
n
n
n xan ),( RRx
xxaxxS
n
x n
n
x dd)(
0 00
,1 1
0
n
n
n x
n
a
),( RRx
则其和函在收敛域上 连续,且在收敛区间内可 逐项求导 与逐项求积分,运算前后收敛半径相同,
注,逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变,
机动 目录 上页 下页 返回 结束解,由例 2可知级数的收敛半径 R＝ +∞.
例 5.
则?
1
1
!)1()( n
n
n
xxS
)(xS?
故有 0)( xSe x
xeCxS?)(
,)(1)0( xexSS 得由 故得的和函数,
因此得设机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,的和函数解,易求出幂级数的收敛半径为 1,x＝ ± 1 时级数发
1
)(
n
nxx
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1n
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散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,求级数 的和函数解,易求出幂级数的收敛半径为 1,
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n
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
)1,0()0,1[x
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因此由和函数的连续性得,
)(xS
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0
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) 10( x及机动 目录 上页 下页 返回 结束例 8.
解,设
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1
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n
n
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
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n
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)1ln ( x
故
)2(21
2x
xx
21S?
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,求幂级数收敛域的方法
1) 对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性,
2) 对非标准型幂级数 (缺项或通项为复合式 )
求收敛半径时直接用 比值法 或 根值法,
2,幂级数的性质
1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过 换元 化为标准型再求,
乘法运算,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续 ;
3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分,
思考与练习
1,已知 处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?
答,根据 Abel 定理可知,级数在 收敛,
时发散,故收敛半径为机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,在幂级数 中,
n
n
a
a 1?
n
n
)1(2
)1(2
2
1 1
n 为奇数,23
n 为偶数,61
能否确定它的收敛半径不存在?
答,不能,因为
n n
n xu )(lim 2
)1(2l i m xn n
n
当 时级数收敛,时级数发散,
说明,可以证明比值判别法成立 根值判别法成立机动 目录 上页 下页 返回 结束
P215 1 (1),(3),(5),(7),(8)
2 (1),(3)
P257 7 (1),(4)
8 (1),(3)
作业第四节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 求极限 其中解,令作幂级数 设其和为易知其收敛半径为 1,
则机动 目录 上页 下页 返回 结束
