常系数线性微分方程组机动 目录 上页 下页 返回 结束
*第十二节解法举例解方程组高阶方程求解消元 代入法算子法第十一章常系数线性微分方程组 解法步骤,
第一步 用消元法消去其他未知函数,得到只含一个函数的高阶方程 ;
第二步 求出此高阶方程的未知函数 ;
第三步 把求出的函数代入原方程组,
注意,一阶线性方程组的通解中,
任意常数的个数 = 未知函数个数一般通过 求导得其它未知函数,
如果通过积分求其它未知函数,则需要讨论任意常数的关系,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,解微分方程组
zyxy 23dd
zyxz 2dd
①
②
解,由②得zx
zy
d
d
2
1
③
代入①,化简得 0d
d2
d
d
2
2
zxz
x
z
特征方程,0122 rr
通解,xexCCz )( 21 ④
将④代入③,得
xexCCCy )22(
2
1
221 ⑤
机动 目录 上页 下页 返回 结束原方程通解,
xexCCz )( 21
xexCCCy )22(
2
1
221
注意,
是不独立的而它们与 21,CC
1) 不能由①式求 y,因为那将引入新的任意常数,
(它们受②式制约 ),
,的表达式中因此 y 不能用另一任意常数212 CC?
.,213 也不能去掉系数代替C
3) 若求方程组满足初始条件 0000,zzyy xx
的特解,只需代入通解确定 21,CC 即可,
2) 由通解表达式可见,其中任意常数间有确定的关系,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,解微分方程组
tex
t
y
t
x
d
d
d
d
2
2
0dd
d
d
2
2
ytx
t
y
解,,d
d
tD?记 则方程组可表为 teyDxD )1( 2
0)1( 2 yDxD
⑥
⑦
用代数方法消元自作根据解线性方程组的克莱姆法则,有
1
1
2
2
DD
DD
y 0
12
D
eD t?
机动 目录 上页 下页 返回 结束即 teyDD )1( 24
其特征方程,0124 rr
特征根,2
51
2,1
r
2
15
4,3
ir
记 记?i?
⑧
,teAy令 代入⑧可得 A＝ 1,故得⑧的通解,
⑨
求 x,⑦× D－⑥得 teyDx 3
teyDx 3
⑩
⑨,⑩ 联立即为原方程的通解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P226 (*习题 12-12)
1 (3),(6); 2 (2),(4)
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